定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：同一直线上的三个点不能作圆
►给我五个系数,我讲画出一头大象;给我六个系数,大象将会摇动尾巴。—— A·L·柯西 ►数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使 人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类 的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解 和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。— —克莱因《西方文化中的数学》 ►无限!再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特 ►整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——G·D·伯 克霍夫 ►数论是人类知识最古老的一个分支,然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的 真理是密切相连的。——史密斯
A
A
A
●O
●O
●O
B
┐
CB
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
新课讲解
要点归纳
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接 圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心 到三角形的三个顶点的距离相等.
新课讲解
例2 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为 原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于 点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
· ·
新课讲解
问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少 个圆？
作线段AB的垂直平分线，以其
上任意一点为圆心，以这点和
·
点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
A ·· B ·
新课讲解
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上.
F
经过B,C两点的圆的圆心在线段
3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），
则点P与⊙O的位置关系为
（B ）
A.在⊙O内
B.在⊙O上
C.在⊙O外
D.在⊙O上或⊙O外
随堂即练
4.判断：
（1）经过三点一定可以作圆
（× ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点
（√）
（3）三角形的外心到三边的距离相等
（ ×）
1
2cm · O
随堂即练
10.如图，已知 Rt△ABC 中 ，C 90
若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为
O，连结OC，则OA=OB=OC.
∴O是斜边AB 的中点.
B
∵∠C=900，AC=12cm，
C
O
A
BC=5cm. ∴AB=13cm，OA=6.5cm. 故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是 确定外接圆的直径(或半径)长度．
新课讲解
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心， BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC 的外接圆的半径．
D
解析：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB， 过点O作OD⊥BC，易得BD＝12cm.由此可求它 的外接圆的半径．
下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆
(√ )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形
( ×)
(3)经过三点一定可以确定一个圆
( ×)
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( √ )
新课讲解
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝 角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三 角形与它的外心的位置关系.
F 垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平
B
EO
MC
分线EF，交MN于点O； 3、以O为圆心，OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的圆.
新课讲解
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘
复原了吗？
方法: 1、在圆弧上任取三点A、
A B
B、C;
2、作线段AB、BC的垂
直平分线,其交点O即为 圆心;
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°.
新课讲解
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解：∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在直角△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝3 3 ， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
OP = 3 ，则点P在
（ D）
A.大圆内
B.小圆内
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
o
新课讲解
点和圆的位置关系
P
P
d
d Pd
r
r
r
P
r
R
点P在⊙O内
d<r
点P在⊙O外 d>r
数形结合：位置关系
点P在⊙O上 点P在圆环内
d=r r≤d≤R
数量关系
新课讲解
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
C O
3、以点O为圆心，OC长
为半径作圆.
⊙O即为所求.
针对训练
某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们 分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想 规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。 请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个 位置呢？
●A
C
B●
●
新课讲解
3 三角形的外接圆及外心 试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、
HS九(下) 教学课件
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
1.点和圆的位置关系
学习目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
新课引入
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的， 你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
C三点的圆.
A
O C
B
新课讲解
1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的_外__接__圆___， △ABC叫做⊙O的_内__接__三__角__形___. B
A
●O C
2.三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点. 性质：到三角形三个顶点的距离相等.
新课讲解
判一判：
新课讲解
解：连结OB，过点O作OD⊥BC. 则OD＝5cm，BD 1 BC 12cm.
2
在Rt△OBD中
OB OD2 BD2 13cm. 即△ABC的外接圆的半径为13cm.
随堂即练
1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
随堂即练
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A上 .
能力提升
一个8×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置, 这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个? 怎样安 装? 请说明理由.
课堂小结
点与圆的 位置关系
作圆
位置关系数量化
点在圆外
d>r
点在圆上
d=r
P
r R
点在圆内
d<r
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
点P在圆环内
r≤d≤R
一个三角形 的外接圆是 唯一的.
⊙A的位置关系如何？
解：AD=4=r，故D点在⊙A上 AB=3<r，故B点在⊙A内 AC=5>r，故C点在⊙A外
新课讲解
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少 有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的 半径r的取值范围？（直接写出答案）
3<r<5
A
D
B
C
新课讲解
变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1）， P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的 P有几个？求出点P的坐标.
A
BC的垂直平分线上.
B ●
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在
o
这两条垂直平分线的交点O的位置.
C

G
新课讲解
归纳总结 位置关系
定理：
F
不在同一直线上的三个点确定
一个圆.
A
有且只有
B
●
o
C
G
随堂即练
已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作：⊙O,使它经过点A、B、C.
A N
作法：1、连结AB，作线段AB的
三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是
（B）
A．点P C．点R
B．点Q D．点M
A
B
C
PQR M
随堂即练
8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片
如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明
带到商店去的一块玻璃碎片应该是（D ）
A．第①块
B．第④块
C．第③块
D．第②块
随堂即练
9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于 或等于3cm的点组成的图形.
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外