菱形证明专题训练————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：绝密★启用前乐学教育菱形证明专题训练1.已知:如图，在四边形ABCD中,AＢ∥CD，E,Ｆ为对角线AC上两点,且AＥ＝CF，DF∥BE,AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形．ﻫ【答案】∵AＢ∥ＣＤ，∴∠BＡＥ=∠ＤCF.ﻫ∵DＦ∥ＢE,∴∠BEF＝∠ＤFE，ﻫ∴∠AEＢ＝∠CFD.又∵AE=ＣF,ﻫ∴△AEＢ≌∠CFD,∴AB=CD．ﻫ∵ＡB∥CＤ，ﻫ∴四边形ABＣD是平行四边形.∵ＡＣ平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAF.ﻫ又∠BAE=∠DＣＦ,∴∠DAＦ=∠ＤCF,ﻫ∴ＡD=ＣD，∴四边形ABCD是菱形.2．如图，矩形AＢCD中，点O为AＣ的中点，过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F，连接BF交AC于点M,连接DＥ，ＢＯ.若∠ＣOB=６0°,FO=FC.求证:(１)四边形EＢＦD是菱形;【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCＤ的对角线AC的中点，∴B,D, O三点共线且BD＝DO=CＯ=ＡO．在矩形AＢCD中,ＡB∥ＤC,AB=DC，∴∠FCO＝∠EAＯ.在△ＣFO和△AEＯ中,ﻫ∴△CFＯ≌△AEO,∴ＦO=EＯ.ﻫ又∵BO=DO,∴四边形BＥFD是平行四边形.∵BＯ=CＯ,∠ＣOB=６0°，ﻫ∴△COB是等边三角形.∴∠OCＢ=6０°.ﻫ∴∠FＣＯ=∠DCB-∠ＯCＢ=30°.ﻫ∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.ﻫ∴∠FOB=∠FOＣ+∠ＣOB＝90°.∴EF⊥BD．∴平行四边形EＢFＤ是菱形.（2)MB∶OE=3∶2.【答案】∵BＯ=ＢC,∴点Ｂ在线段ＯＣ的垂直平分线上．∵FO=FC,∴点Ｆ在线段OC的垂直平分线上．∴BF是线段OC的垂直平分线.ﻫ∴∠FＭO=∠OＭＢ=90°．ﻫ∴∠OBＭ=30°.∴OＦ=ＢF．ﻫ∵∠FOC=30°，∴ＦM=ＯF.ﻫﻫﻫ∴BM=BＦ-MＦ＝２OＦ-OＦ=OF．ﻫﻫ即FO=EO,∴ＢM∶OＥ=3∶2．３.如图,在△ABＣ中,∠AＢC＝９0°,BD为ＡC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E，过点A作ＢＤ的平行线,交CＥ的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BＤ，连接BＧ,DＦ.求证:四边形ＢGFＤ是菱形．ﻫ【答案】∵FＧ∥BD,BＤ=ＦＧ，∴四边形BGFD是平行四边形.∵CＦ⊥BD,AG∥ＢＤ,∴ＣF⊥ＡG．又∵∠AＢＣ=90°,点D是AＣ的中点,∴BD＝ＤF＝ＡC，ﻫﻫﻫ∴平行四边形BGFD是菱形.４. 如图,点O是菱形ＡBCD对角线的交点，ＤE∥AC,CＥ∥BＤ，连接OＥ.ﻫ求证：OE=ＢＣ.【答案】∵DE∥AC,ＣＥ∥BD，ﻫ∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCＤ是菱形,∴ＡＣ⊥ＢD,ＯB＝ＯＤ,∴∠BOＣ=∠COＤ=90°,∴四边形OCED是矩形,∴∠OＤE=９0°，∵OB＝OD，∠ＢOC=∠ODE=90°,ﻫ∴ＢＣ＝，OE=,ﻫﻫ∵ＤE＝OC．ﻫ∴OE=ＢＣ．5.［２0１5·兰州中考,25] （９分)如图,四边形ABＣD中，AＢ∥CD，ＡB≠CＤ,ＢＤ=AC.(１）求证:AD=BＣ;【答案】作BＭ∥AC,ＢＭ交DC的延长线于点M,则∠AＣD=∠BＭD．1分ﻫ∵AＢ∥CD，BM∥AC,ﻫ∴四边形ABMC为平行四边形．２分ﻫ∴ＡC=BM.ﻫ∵BＤ=ＡC，∴ＢM=ＢD.ﻫ∴∠ＢＤM=∠BMD.∴∠BDＣ=∠AＣD．在△BDC和△ＡCＤ中，ﻫ∴△ＢDC≌△ACD.4分∴BＣ=AD.5分(2）若Ｅ,F,G,H分别是AＢ,CD,AC,BD的中点．求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接ＥG,GF,ＦH，HE.6分∵E,H为AB,BD的中点，∴ＥH=AＤ．同理FG=ＡＤ，EG＝BC，ＦH=BC.ﻫ∵BC=AD,∴ＥG=FG=FH＝EH.8分ﻫ∴四边形EGＦH为菱形,ﻫ∴EF与ＧH互相垂直平分.９分6.[201５·长春中考,１8] （7分)如图,CE是△ABC外角∠ACＤ的平分线,ＡＦ∥CＤ交CE于点F，FG∥ＡC交CＤ于点G,求证:四边形ACGF是菱形.ﻫ【答案】因为ＡF∥CD,ＦＧ∥AC，所以四边形ＡCＧF是平行四边形①,ﻫ又因为∠ACE=∠ＥCG,∠ECG=∠AＦC，ﻫ所以∠ACE=∠AＦＣ,所以ＡC＝AF②，由①②得四边形ACＧF是菱形.7.[2010·上海中考，2３]已知梯形ＡBCD中,ＡD∥BＣ，AB=ＡD（如图所示），∠ＢAD的平分线ＡE交ＢＣ于点E，连结ＤＥ．ﻫ(１)在图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹,不写作法)，并证明四边形ＡBED是菱形;【答案】ﻫ∵∠BAＥ=∠ＤAE，∠DAＥ=∠BEA，ﻫ∴∠BAE=∠BＥA，AB=BE＝AD,AD∥BE，∴四边形ＡBED的平行四边形，又AB=ＡD,∴四边形ABED为菱形（2)∠ABＣ=６0°,EＣ＝２BＥ，求证：EＤ⊥DC.【答案】过Ｄ作ＤF∥AＥ，则ＤF=CF=1，ﻫ∴∠Ｃ＝3０°,而∠DＥC＝60°,∴∠EDＣ＝90°,∴ED⊥ＤC.8.[2０1０·沈阳中考,19]如图,菱形ＡBCD的对角线ＡC与BD相交于O，点E,Ｆ分别为边ＡB,ＡD的中点，连接ＥF,OE，OF,求证：四边形ＡEOF是菱形.【答案】∵点E,F分别为ＡB，AＤ的中点∴AE＝AB，AF＝AD（2分)ﻫﻫﻫ又∵四边形ABCD是菱形∴AＢ=AＤ∴AE＝AＦ(4分)又∵菱形AＢCD的对角线AC与BＤ相交于点Oﻫ∴O为BD的中点∴OＥ,OＦ是△ＡBD的中位线(６分）ﻫ∴ＯＥ∥AＤ,OF∥AB∴四边形AEOF是平行四边形（８分)∵ＡE＝AF∴四边形AEOＦ是菱形(10分)9. ［2010·安徽中考,2０]如图，ＡD∥FＥ,点Ｂ,C在AD上，∠1=∠2,BF＝BＣ.ﻫ(1)求证：四边形ＢCEＦ是菱形;【答案】∵ＡD∥FＥ,∴∠FEＢ=∠2.ﻫ2,∴∠FEＢ=∠１．=∠1∵∠∴BF=EF∵ＢＦ=BC，∴ＢC＝EF.∴四边形BCEF是平行四边形ﻫ∵BF＝BC,ﻫ∴四边形BＣEF是菱形(5分）（2)若AB=BC＝CD,求证：△ACF≌△BDE．【答案】∵EF＝BC,AＢ＝ＢC＝CＤ,ＡD∥ＦE，∴四边形ABＥF、四边形CDEF均为平行四边形,∴AF=BＥ，ＦC=EＤ.（8分)又∵AＣ=2BＣ＝BＤ，（9分）ﻫ∴△ＡCF≌△BDE．(10分)10．[20１3·长沙中考，２４］如图,在▱ABCＤ中,Ｍ,Ｎ分别是AＤ，BC的中点，∠AＮD=90°,连接CＭ交ＤN于点O.（1）求证:△ＡBN≌△CDM；【答案】∵∠ABN＝∠ＣＤM，ＡB=CD,BN＝BC=AD＝DＭ,ﻫ∴△ABN≌△ＣDM(SAS).（2)过点C作CE⊥ＭN于点E,交ＤＮ于点P,若PE＝1,∠1=∠2，求ＡN的长.【答案】∵M，O分别为ＡＤ，ND的中点，∴AN∥MO且ＡN=2MO，ﻫ∴∠MOＤ＝∠ＡND＝９0°，即平行四边形CDMＮ是菱形,ﻫ在Ｒt△MＯD与Ｒt△ＮEC中,∵∠1＝∠2，ＭＤ＝NＣ,∴Rt△MOＤ≌Rt△NEC,∴MＯ=ＮE.ﻫ根据菱形的性质可知,∠MNＤ＝∠CＮD，∠１＝∠CND,所以∠MNＤ＝∠CND＝∠2=3０°，所以在Rt△ＥＮP中ＮＥ=ＰＥ÷tan30°=，ﻫ即AN=2．１１.如图,在△ＡBC中,∠A＝90°，AH⊥BＣ于点H,∠B的平分线交AC于点Ｄ,交AH于点Ｅ,DF⊥BC于点F,求证:四边形ＡEFＤ是菱形.ﻫ【答案】∵∠ABD＝∠ＦBD,BＤ=BD,∠BAD＝∠DＦB=90°,∴△AＢＤ≌△FBD,∴ＡD=DＦ,AＢ=FＢ.ﻫ又∠ＡBＥ＝∠FＢＥ,ＢE=BE,∴△ABE≌△ＦBE．∴∠BＡE=∠BFＥ.ﻫ又∠ＢAE=90°-∠ABＣ=∠Ｃ，∴∠BFE=∠C,∴ＥＦ∥AD．ﻫ∵DF⊥BＣ,ＡＨ⊥BC,∴AＥ∥DF.∴四边形ＡEFＤ是平行四边形.ﻫ又ＡD=DF,∴四边形AEFD是菱形.1２. [20１2·南宁中考，2５]如图,已知矩形纸片ABCD,ＡD＝２,AB=４,将纸片折叠，使顶点A 与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AＢ,CD交于点G，F,AE与FG交于点Ｏ.图1图2(1)如图1，求证：Ａ,G，E,F四点围成的四边形是菱形；【答案】证法一：ﻫﻫ证明:在矩形ABＣD中，CＤ∥AB∴∠１＝∠3（1分）ﻫ由折叠可知：AG＝EG，∠1=∠2∴∠2=∠3ﻫ∴ＥF=ＥG(2分)ﻫ∴ＥＦ＝ＡG∴四边形ＡＧEF是菱形(３分)证法二：ﻫ证明:连接AＦ,由折叠可知OA＝ＯE,AＧ=EG（１分)ﻫ在矩形ＡＢCＤ中,ＡＢ∥CD∴∠AEF=∠EAＧ∵∠AOG＝∠ＥOFﻫ∴△AOG≌△EOＦ(ＡSA）（2分）∴AＧ＝EF∴四边形ＡＧEF是菱形（3分)(２)如图2,当△ＡＥD的外接圆与BC相切于点Ｎ时,求证,点N是线段BC的中点；【答案】证明：连接ON,O是Ｒｔ△ＡDＥ外接圆圆心.ﻫﻫ∵⊙O与ＢＣ相切于点Ｎ∴ON⊥ＢC（４分)ﻫ在矩形ＡBCD中,DＣ⊥ＢC,AB⊥BC∴ＣD∥ON∥AB∴＝(5分)ﻫ∵OA＝ＯE∴CＮ=ＮBﻫ即N为BC的中点（6分)(３）如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.【答案】解法一：ﻫ过点O作OM⊥AB于点Ｍ,则四边形OMBN是矩形ﻫﻫ设⊙O半径为x,则OA＝OE=ＯN=x(7分)ﻫ∵ＡB=4，ＡD=２∴ＡM=4-xﻫ由第2问得,NB=OM＝１在Rｔ△AＯM中,OA2=AM2+ＯＭ2ﻫ∴x2=（4-x)2＋１2∴x=(8分)ﻫＡＭ=4-=∵∠FEＯ=∠ＯAMﻫ又∵∠FOE=∠OＭＡ＝90°∴Ｒt△EFＯ∽Rt△AＯMﻫ∴＝∴＝(9分)ﻫﻫﻫ∴ＯF= ∴FG=2OF=（1０分）ﻫﻫ解法二：延长NO交AＤ于点Mﻫ∴四边形ＡＢNM是矩形ﻫ∴AＭ=BＮ＝AD＝１ﻫﻫ∵Ｏ为Rt△ADE外接圆圆心ﻫ∴ＯA＝OＥ=OＮ设ＯＮ为ｘ，则OＭ=４－x(7分)ﻫ在Ｒt△AMＯ中,AM2+OM2＝OA2ﻫ即12＋(4-x）2＝x２ﻫx=(8分)ﻫ∴OＭ=４－＝∵FG⊥AE,MN∥ＤＣ∴∠ＦEO=∠MOＡ∠ＡＭO=∠ＥOF=9０°∴△EOF∽△OMA∴= ∴=(9分）ﻫﻫ∴OＦ＝FＧ＝２ＯF=(10分)13．[20１3·葫芦岛中考，2０] （本小题满分８分)如图，四边形ＡBCD中,AD∥BC,BA⊥ＡD，ＢC＝DC，BＥ⊥ＣD于点E.ﻫ(1）求证:△ABＤ≌△ＥBD;【答案】如图,ﻫﻫ∵AD∥BＣ,ﻫ∴∠1=∠ＤBＣ．ﻫ∵BC＝ＤC,∠2=∠DBC.∴∠1=∠2.2分又∵∠BAＤ=∠ＢEＤ=90°，ＢＤ=BＤ,∴△ABＤ≌△EＢD. 4分(２）过点E作ＥF∥DA,交ＢＤ于点F，连接ＡF.求证:四边形AFＥD是菱形.【答案】由第1问得,ＡD＝ＥＤ,∠１＝∠2.ﻫ∵EF∥DA,∴∠1=∠３,∴∠2＝∠３.∴EF＝ED．5分ﻫ∴EF=AD. 6分∴四边形AFＥD是平行四边形.又∵ＡＤ=ＥD.∴四边形AFED是菱形.8分１4. [2013·贵阳中考,20]ﻫ已知：如图，在菱形ABＣD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接ＥC.(1)求证：ＡE=EC；【答案】ﻫ证明:连接AC.ﻫ∵BD是菱形AＢCＤ的对角线,∴BD垂直平分AＣ．ﻫ∴AＥ＝ＥC.（2)当∠ABC＝６0°，∠CEF=6０°时，点F在线段BＣ上的什么位置?说明理由.【答案】点F是线段ＢC的中点.理由：∵菱形ABＣD中,ＡB＝BＣ，又∵∠ＡBC＝６0°.ﻫ∴△AＢC是等边三角形,∠ＢＡＣ＝6０°．ﻫ∵AＥ=EＣ，∠CEF=６0°，∴∠EＡC=3０°.∴AＦ是△ABC的角平分线.∵ＡF交ＢC于点Ｆ,ﻫ∴AF是△ＡBC的ＢC边上的中线.∴点F是线段BＣ的中点.１5. [２012·上海中考,２3]已知:如图,在菱形ＡBCD中,点E,Ｆ分别在边ＢC,CD上,∠ＢAF＝∠DAE,AE与ＢD交于点G.（１)求证：ＢＥ＝DF；【答案】∵四边形ABCD为菱形,ﻫ∴AB=AD＝BC=ＣD,ﻫ∠ABＤ＝∠AＤB=∠CＢD=∠CDB, ∠AＢE＝∠ADF∵∠ＢAF＝∠DＡＥ,且∠BAF=∠BAE+∠EAF,ﻫ∠DAE=∠DAF＋∠EＡF∴∠ＢＡE=∠DAF.∴△ＡBE≌△ADＦ(ASＡ).∴BE=DF.(２)当＝时,求证：四边形BEFG是平行四边形.【答案】在菱形ＡBCD中,ADＢC，∴∠DAE=∠ＢＥA，∠ADB＝∠ＥBD．ﻫ∴△ＡGD∽△EGB.∴=.ﻫ又∵＝,BE=DF,ﻫ∴＝＝＝ﻫ∴ＧF∥BE．∴∠DGＦ＝∠DＢＣ.∵∠ＤBＣ=∠CＤB,ﻫ∴∠DGＦ＝∠GDF,ﻫ∴GＦ=DF,ﻫ∴ＢＥ=GF.ﻫ∴BＥGF，ﻫ∴四边形ＢEFG是平行四边形.16.[2０１3·乌鲁木齐中考，1９］如图,在△AＢC中，∠ＡCB=90°,CD⊥AＢ于D，ＡE平分∠BＡC,分别与BC,CD交于Ｅ,Ｆ,EH⊥ＡＢ于Ｈ,连接FH.求证：四边形ＣＦＨE是菱形.ﻫ【答案】∵AＥ平分∠BＡＣ，∴∠CＡE=∠ＥAＨ，而∠ACB＝9０°，ＣD⊥ＡＢ,ﻫ∴∠CEA+∠CAＥ＝∠ＡFＤ＋∠ＥＡH＝９０°,又∠APＤ＝∠CFＥ，ﻫ∴∠CFE＝∠CＥF，∴CＦ＝ＣE.又∵AE平分∠BAC,∠ACB=9０°.EＨ⊥AB,∴CＥ=ＥH，ﻫ∴CF＝EH＝CＥ,∵CD⊥ＡB，EH⊥ＡB,∴CF∥EH,∴四边形ＣFHE是菱形.17．如图所示,在菱形ABCD中,CＥ⊥AＢ于点E，ＣF⊥AＤ于点Ｆ,求证:ＡE=AＦ.ﻫ【答案】证法1:如图所示，连接ＡC，ﻫﻫ∵四边形ＡＢCD是菱形,ﻫ∴ＡＣ平分∠BAD，即∠BAC=∠DＡC.ﻫ在△ＡＣE和△ACF中,∠AEC=∠AFC=９０°,∠BAC=∠ＤAC,AC=AＣ,∴△AＣE≌△ACF(ＡAS),∴AE=AF.ﻫ证法２：∵四边形ABＣD是菱形,ﻫ∴BＣ=ＤC=AD=ＡＢ,∠B=∠D.又∵在△ＢＣE和△ＤCＦ中，∠BEＣ=∠ＤFＣ=90°，∴△BCE≌△DCF(AＡS),∴ＢE=DF,∴ＡＥ＝AF.18.[2013·南宁中考,23]如图，在菱形ABＣD中，AC是对角线，点E,F分别是边ＢC,AD的中点.ﻫ(１)求证:△ABE≌△ＣDF;【答案】在菱形ABCD中,AB=BC＝CD=DA（或AB＝ＣD，ＢC＝DA)．ﻫ∠B＝∠Ｄ.ﻫ∵点E，Ｆ分别是边ＢC,ＡD的中点，∴BＥ=DＦ.∴△ＡＢE≌△CDF.(2)若∠Ｂ=60°，AB＝４,求线段AE的长.【答案】解法一：∵AB＝BC,∠B=6０°，∴△ABC是等边三角形.ﻫ∵点Ｅ是BＣ边的中点.ﻫ∴AＥ⊥BC.在Ｒｔ△ＡBE中,sinＢ=.ﻫﻫﻫ∴AE＝ＡB·ｓin B＝4×=.ﻫﻫ解法二:∵AB=BC,∠Ｂ＝60°，∴△ABC是等边三角形.ﻫ∵点Ｅ是BC边的中点，∴AE⊥BC.∴∠BAＥ＝３0°.在Ｒt△ABＥ中，BＥ=AＢ=2.ﻫﻫ∴AＥ==＝.19.[2012·温州中考,1９](本题8分)ﻫ如图,△ABＣ中，∠B＝90°,ＡB=6cｍ,BC＝8cｍ,将△ABC沿射线BC方向平移10cｍ,得到△DEF,A，Ｂ,Ｃ的对应点分别是Ｄ,E，F,连接ＡD.求证：四边形AＣFＤ是菱形．ﻫ【答案】法一:∵∠B＝９０°,AB=6cm,BC=8ｃm．∴ＡC=１０cm.ﻫ由平移变换的性质得CＦ=AD＝10cm,DF＝AC,∴AD=CF=ＡC=DF，∴四边形AＣFD是菱形.法二：由平移变换的性质得AD∥ＣＦ,AD＝CF＝10cm，∴四边形ACFＤ是平行四边形，ﻫ∵∠B=90°,AB＝6cm，BC＝8cm,ﻫ∴ＡC=1０cｍ，ﻫ∴AC=CF,ﻫ∴▱ACＦD是菱形.2０．[2011•兰州中考,27］(本小题满分12分)已知:如图17所示的一张矩形纸片ABCＤ(AD＞ＡB)，将纸片折叠一次,使点Ａ与点C重合，再展开，折痕ＥF交AD边于点Ｅ,交ＢＣ边于点Ｆ.分别连接AF和CE.ﻫ（1）求证：四边形ＡFCE是菱形；【答案】由题意可知OＡ=OＣ,EＦ⊥AO.∵AD∥ＢC,∴∠ＡEＯ=∠CＦO,∠EAO=∠ＦＣO,ﻫ∴△AOＥ≌△CＯＦ,∴AE=CＦ，又AE∥CF，∴四边形ＡECF是平行四边形（２分)ﻫ∵ＡC⊥EＦ,∴四边形AＥCF是菱形.(４分)（2）若AE＝10 cm，△ABF的面积为24 ｃｍ2，求△ABF的周长;【答案】∵四边形ＡＥCF是菱形,ﻫ∴AF＝AＥ=1０ｃｍ.设ＡＢ=a,ＢＦ＝b,∵△ABF的面积为24 cｍ2, ａ２+b２=10０,ab＝48(6分)(a＋b)2=1９６，ａ+ｂ=14或a+b＝-14（不合题意,舍去）(7分）ﻫ△ABＦ的周长为a＋b＋１0=24 cm(８分)（3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2＝AC AP?若存在,请说明点P的位置，并予以证明;若不存在,请说明理由.【答案】存在,过点E作AD的垂线,交AC于点P,点P就是符合条件的点（９分) 证明:∵∠AEP=∠AOE＝90°,∠EAO＝∠EAP，∴△AOE∽△AEＰ,∴=，∴AE2＝AOＡP(1１分)∵四边形AEＣF是菱形,∴AO＝AC，∴AE2＝AC AＰ,ﻫﻫ∴2AE2=AC AＰ.(12分）21. [2013·营口中考，19]如图 ,△ABC中，AB=AC,ＡD是△ABＣ一个外角的平分线,且∠ＢＡC=∠ACＤ.(1)求证:△ABC≌△CDＡ;【答案】∵AB＝ＡＣ,∴∠Ｂ＝∠ＡCＢﻫ又∵∠FAC是△ABC的一个外角，ﻫ∴∠FAC=∠B+∠ACBﻫ∴∠ＦＡC=2∠AＣB2分又∵AD是∠FAC的角平分线，∴∠ＦAＣ=2∠ＣAD,ﻫ∴∠ACＢ＝∠CAＤ３分又∵AC=CＡ，∠ＢAＣ=∠DCA∴△ABＣ≌△CDA４分（2）若∠ACB=6０°，求证:四边形ABCD是菱形．【答案】∵∠BＡC=∠AＣD∴ＡＢ∥CＤ5分又∵∠ＡCB=∠CAＤ,∴AＤ∥BC.ﻫ∴四边形ABCＤ是平行四边形. 6分∵AB=AＣ,∠AＣB=６0°,ﻫ∴等腰三角形ABC是等边三角形. 7分∴AB=BC.ﻫ∴四边形ABCＤ是菱形.８分22. [2011•宁波中考,23］(本小题满分8分)如图13,在ABCＤ中,E,F分别为边AB，CＤ的中点,BD是对角线,过A点作AG∥ＤＢ交ＣB的延长线于点G.ﻫﻫ(１)求证:DE∥BF；【答案】在ABCＤ中,AＢ∥CＤ,AB=CDﻫ∵E,F分别为边AB,CD的中点ﻫ∴ＤＦ＝DC,BＥ＝ABﻫ∴DF∥ＢE,ＤＦ=BＥ(２分)∴四边形DＥBF为平行四边形（３分)∴DＥ∥BＦ(4分）(２)若∠G=90°,求证：四边形DＥBF是菱形.【答案】∵AG∥BＤ∴∠Ｇ=∠DBＣ=90°ﻫ∴△ＤBＣ为直角三角形（5分)又∵F为边ＣD的中点ﻫ∴BF＝ＤC＝DＦ.（7分)ﻫ又∵四边形DEBＦ为平行四边形ﻫ∴四边形DEBＦ是菱形(8分)２3. [2013·黄冈中考,17]如图，四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠ＤCO．ﻫ【答案】四边形ABCD是菱形，ﻫ∴OD＝ＯB,∠COＤ=９0°,∵ＤH⊥ＡB于Ｈ,∴∠DHB＝9０°，∴∠OHB＝∠OBH,又∵AB∥CD.∴∠ＯＢＨ=∠ODC，∴∠OHB＝∠OＤC.ﻫ在Ｒt△ＣOD中,∠ODC+∠OＣＤ=９0°,在Ｒt△ＤHB中，∠ＤHＯ+∠OHB=９0°,ﻫ∴∠DHO=∠ＤＣＯ．24．[20１3·锦州中考，20］如图,点O是菱形AＢCD对角线的交点,ＤE∥AC，CE∥BD,连接OＥ.ﻫ求证:OＥ=BC.ﻫ【答案】∵DE∥AC,ＣE∥BD∴四边形ＯCＥＤ是平行四边形2分又∵AC，BD是菱形AＢCＤ的对角线ﻫ∴AC⊥ＢD,即∠COD=90°4分∴平行四边形OCED是矩形 6分ﻫ∴OE=CD 8分ﻫ又∵BC=CＤ9分ﻫ∴OE=BＣ 1０分ﻫ (学生用其他方法证明,请参照评分标准酌情给分)。