指数函数知识总结
（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：
一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *
． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。

③当n 是奇数时，a a n n =，
当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n
n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)
1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n
m )1,,,0(1
1)2(*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）r
a ·s
r r
a
a += ),,0(R s r a ∈>；
（2）rs
s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）
s
r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．
题型一、计算
1.44
等于（ ） A 、16a
B 、8a
C 、4a
D 、2
a
2.⑴ 33
)2(-= ⑵ 44
)2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2
22y xy x ++=
3.① 625625++- ② 335252-++
4.计算（1 + 2048
21）（1 +
1024
21）…（1 +
421）（1 + 2
21）（1 + 21
）.
5. 计算（0.0081）4
1-- [3×(87)0]1-·[8125
.0-+(38
3)31-]21
-.
题型二、化简
1.
3
2
13
2b a
b
a •-
÷3
2
11-
--⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛a b b a 2. 322a a a •（a ＞0）.
3.化简：
3
32
b a
a
b b a （a ＞0，b ＞0）.
题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2
1+ a
2
1-= 3，求下列各式的值：
⑴ a + a
1
- ⑵ a 2+ a
2
- ⑶
2
12
1232
3-
-
--a
a a a
2. 已知2a x
x
=+-2（常数），求8x
x -+8的值。

3. 已知x + y = 12, xy = 9，且x ＜y ，求
2
12
1
212
1y
x y x +-的值。

4.已知a 、b 是方程x 2
- 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求b
a b a +-的值。

（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念： 。

2、指数函数的图象和性质
指数函数·例题解析
题型一、求定义域与值域
【例1】求下列函数的定义域与值域：
(1)y 3
(2)y (3)y 12x
＝＝＝-+---21
3321x x
练习1：（1）41
2-=x y ；
（2）||
2()3
x y =； （3）12
41
++=+x x y ；
2.函数1
21
x
y =
-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞
题型二、多个指数函数底数的大小比较
【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]
A ．a ＜b ＜1＜c ＜d
B ．a ＜b ＜1＜d ＜c
C ． b ＜a ＜1＜d ＜c
D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 练习：指数函数① ②
满足不等式
,则它们的图象是
( ).
题型三、比较大小
例： （1）1.7
2.5
与 1.73
( 2 )0.1
0.8
-与0.2
0.8
-
( 3 ) 1.7
0.3
与 0.9
3.1
（４）
5
.31
.2和
7
.20
.2
题型四、定点问题 例 函数12
+=-x a
y 过定点 。

题型五、对指数函数性质的考查
1.函数(
)
2
()1x
f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A 、1>a
B 、2<a
C 、a <
、1a <<2. 函数2
2)
2
1
()(++-=x x x f 的减区间是 。

3. 已知函数225
13x x y ++⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，求其单调区间及值域。

4.函数21
21
x x y -=+是（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既奇又偶函数
D 、非奇非偶函数
【巩固练习】
1.函数2281
1(31)3x x y x --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
≤≤的值域是 。

2.已知01,1a b <<<-,则函数x
y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3.函数2
233x y -=的单调递减区间是 。

4.若21
(5)2x f x -=-，则(125)f =
5.已知[]3,2x ∈-，求11
()142
x
x f x =-+的最小值与最大值。

6.设a R ∈，22
()()21
x x a a f x x R ⋅+-=
∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数。

7.函数x
a x f +=3)(在[1,2]上的最大值与最小值的差是a/2,求a 的值。

8.函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(x x a
x a x f x
是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围 A. ）
，（∞+1 B. ）（8,1 C. ），（84 D. )8,4[ 21、若函数4323x
x
y =-+的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围。

22、已知函数1
()(1)1
x x
a f x a a -=>+ (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明()f x 是R 上的增函数。

23.（北京高考改编）函数f （x ）= a x
(a ＞0，且a≠1)对于任意的实数x 、y 都有（ ）
A. f （x ·y ）= f （x ）·f （y ）
B. f （xy ）= f （x ）+ f （y ）
C. f （x + y ）= f （x ）·f （y ）
D. f （x + y ）= f （x ）+ f （y ）。