Aβ在V A OC中，OC=a,O A=a,AC=a,..二面角的几种求法河北省武安市第一中学李春杰056300摘要：在立体几何学习中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。

在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点不太熟练，不知从何入手，更不能站在一个高度去求二面角。

因而我们将一些求角的方法加以归纳、总结，从而更好更准确地解决问题。

关键词：二面角平面角三垂线定理空间向量在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理，方法和基本图形比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。

我们将有关二面角大小的方法加以归纳，为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧、方法，以便得心应手地面对各种有关的题型。

一：二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。

二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。

而二面角的平面角是指在二面角α-l-β的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO⊥l,BO⊥l，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角。

αA B l二：二面角的通常求法：OOB1.利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。

例1、如图,空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，对角线AC=a,BD=2a.求二面角A-BD-C的大小。

解:取BD的中点为O，分别连接AO、COQ AB=AD,BC=CD∴AO⊥BD,C O⊥BD∴∠A OC为二面角A-BD-C的平面角Q AB=AD=a,BD=2aA∴AO=22a Q BC=CD=a,BD=2a 2∴OC=a2B OD2222OA2+OC2=AC2∴∠A OC=900即二面角A-BD-C为900的二面角C又tan ABD=AD=，tan BAC==3．由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=P A g EC=．在Rt△EFD中，tan EFD=DE=，∴∠EFD=arctan．..2.三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。

例2．如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD//BC，∠ABC=90︒,P A⊥平面ABC，P A=4,AD=2,AB=23,BC=6。

(Ⅰ)求证：BD⊥平面P AC；(Ⅱ)求二面角P-BD-D P的大小；解：（Ⅰ）Q P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．∴BD⊥P A．A F D3BC AB3AB BEC∴∠ABD=30o，∠BAC=60o，∴∠AEB=90o，即BD⊥AC．又P A I AC=A．∴B D⊥平面PAC．（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．Q DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．又∠DAC=90o-∠BAC=30o，∴DE=AD sin DAC=1，AE=AB sin ABE=3，又AC=43，∴EC=33，PC=8．33PC22323EF99∴二面角A-PC-D的大小为arctan 23 9．3.平移或延长（展）线（面）法将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。

例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，Sin∠BAE=BE ：AB= 5 ，即平面 ABC 与α所成角的正弦值为 。

HM设正方体的棱长 a ，则 S ∆ BCD = 1a 2 ，BD = 3 a2a ，S ∆ BMD1= a 2求平面 ABC 与α所成的角的正弦值。

解：设 E 、F 分别为 B 、C 的射影，连 EF 并延长交 BC 延长线于 D ，连 AD ；AE∵E 、F 是 B 、C 射影∴BE 丄α；∵CF 丄α ∴BE∥CF 又 CF ：BE= 1，B2∴C 是 BD 的中点 ∴BC=DC ，C∵ΔABC 是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，又∠ACB+∠ACD=180° ，E F D∴∠ACD=120°又 AC=DC ，A∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD ，∴∠BAD=90°，∴BA 丄 AD ，又∵AE 是 AB 在平面α上的射影，∴AE⊥AD 又 BA⊥AD ，平面 ABC∩平面α=A ，∴∠BAE 是平面 ABC 与α所成的角，∴BE⊥平面α，∴ BE⊥AE ， ∴ΔABC 是 RtΔ2254、射影公式由公式 S 射影 =S 斜面 cosθ，作出二面角的平面角直接求出。

运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

例 4、如图，设 M 为正方体 ABCD-A B C D 的棱 CC 的中点，求 1 1 1 11A 1D 1C 1B 1平面 BMD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小。

DC解：∵D D⊥面 ABCD ，C C⊥面 ABCD ，∴ ∆ BMD 在底面上的111射影为∆ BDC ，1所以∴MH=26 24AB由 S ∆ BDC =S ∆ BMD1cosθ得θ=arccos 635、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

例 5、如图，已知 PA 与正方形 ABCD 所在平面垂直，且 AB ＝PA ，求平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小。

解:∵PA⊥平面 ABCD ，∴PA⊥CD ．又 CD⊥AD ，故 CD⊥平面 PAD ． P而 CD 平面 PCD ，AD所以 平面 PCD⊥平面 PAD ．同理可证 平面 PAB⊥平面 PAD ．B C因为 平面 PCD∩平面 PAD ＝PD ，平面 PAB∩平面 PAD ＝PA ，所以 PA 、PD 与所求二面角的棱均垂直，即∠APD 为所求二面角的平面角，且∠APD ＝45°．6、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角例 6、在长方体 ABCD －A B C D 中，点 E 、F 分别在 BB 、DD 上，且 AE⊥A B ，AF⊥A D ．1 1 1 11111(1) 求证:A C⊥平面 AEF ；1若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等．”试根据上述定理，在 AB ＝4，AD ＝3，AA ＝5 时，D 11C 1求平面 AEF 与平面 D B BD 所成角的大小(用反三B 1 11 A 1角函数值表示)．FE解：(1)∵A B⊥BC 即 A B 是 A C 的射影DC11 1又∵A B⊥AE ∴A C⊥AEAGB11同理 A C⊥AF1∴A C⊥平面 AEF1(2) 的解法如下：过 C 作 BD 的垂线交 AB 于 G ．3Cos∠BCG ＝ 4，GC ＝ BG= ，AG=25 DE = (0，，， = (2，， ，E2 0) 2 0) 2 1) 0 4)AB C y2 - ， 0 4) 又 D D⊥CG ，故 CG⊥平面 BB D D ．11 1而 A C⊥平面 AEF((1)已证)，设 CG 与 A C 所成的角为α，则α即为平面 BB D D 与平面 AEF 所11 1 1成的角．Sin∠BCG ＝Sin∠ABD ＝ ，5155 49 7 4 4A G 2=A A 2+AG 2 =1 1 44916A C 2 =AB 2 +AD 2 +AA 2 =5011在 A CG 中，由余弦定理得1Cos∠A CG= 12 21由上述定理知平面 BB D D 与平面 AEF 所成的角大小为 arccos1 17.空间向量法12 225例 7.如图，正四棱柱 ABCD - A B C D 中， A A = 2 AB = 4 ，点 E 在 CC 上且1 1 1 1 11C E = 3EC ．1 A 1D 1B 1C 1（Ⅰ）证明： A C ⊥ 平面 BED ；1E（Ⅱ）求二面角 A - DE - B 的大小．1解在：以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 D - xyz ．A 1z D 1D AC 1B 1BC依题设， B(2，，， C (0，，， E (0，，，A (2，， ． 1uuur uuur2 1) DB 2 0)uuur uuuurAC = (-2，， 4) DA = (2，， ．11uuur uuur uuur uuur（Ⅰ）因为 AC g DB = 0 ， AC g DE = 0 ，1 1故 A C ⊥ BD ， A C ⊥ DE ．1 1又 DB I DE = D ，x D1 - ， n A C所以 A C ⊥ 平面 DBE ．1（Ⅱ）设向量 n = ( x ，y ，z) 是平面 DA E 的法向量，则1uuur uuuurn ⊥ DE ， n ⊥ DA ．1故 2 y + z = 0 ， 2x + 4z = 0 ．uuur令 y = 1 ，则 z = -2 ， x = 4 ， n = (4，， 2) ． n AC等于二面角 A - DE - B 的平面角， 11cos n , A C = n A 1C= 14 ．4211所以二面角 A - DE - B 的大小为 arccos11442．参考资料：《5 年高考三年模拟》首都师范大学出版社《优化探究》黄河出版社..下载可编辑..。