(4) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足
f (z) M , 则

C
f ( z )dz f ( z ) ds ML.
C
19
估值不等式
事实上,
f (
k 1
n k 1
n
k
)zk f ( k ) zk
k 1
n
n
f ( k ) sk M sk ML,
C C
10
定 理 2 设光滑曲线C由参数方程给出： C : z z ( t ) x( t ) iy( t ) ( t ),
z ( ) 是起点, z ( ) 是终点，f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在包含C的区域D内连续，则

C
f ( z )dz

C
f ( z )dz 存在，
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
8
证 设 ζ ξ iη k k k 明
，则
zk zk zk 1 ( xk iyk ) ( xk 1 iyk 1 ) ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 ) x k i y k
β α
12
i v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y ( t )dt .


f z ( t ) z ( t )dt
如果C是由C1, C2, …, Cn年等光滑曲线段依 次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义
o
3 2
x
27
§3 基本定理的推广—复合闭路定理
28
闭路变形原理 解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在其 解析区域内作连续变形而改变它的值.
29
在函数f (z)的解析区域D内考虑两条简单闭曲线 C、C′，其中C′包含在C的内部，D1为两条曲 线所围的区域,并且两条曲线都取正向
C
D1
D
C C
k 1
C
C
n
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy .
u,v9连续
取极限
积分公式从形式上可以看成
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
0 0
k 1 n
存在, 则称该极限值为函数 f ( z ) 沿曲线C的积分, 并记作 C f ( z )dz , 即
f ( z )dz lim f ( k )zk lim f ( k )zk .
0
k 1 n k 1 n n

C
如果C是闭曲线，经常记作
当C是实轴上的区间 a , b , 方向从a到b, 并且
f ( z )为实值函数，那么这个积分就是定积分.
7
C
f ( z )dz
2 积分存在的条件及计算方法
定 理 1 设C是光滑(或可求长)的有向曲线， 如果 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在包含C的 区域D内连续，则 并且
3
积分的性质
2
1 积分的定义
曲线的方向 设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑） 曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为 正方向（或正向），那么就把C理解为带有方向 的曲线，称为有向曲线。 B 设曲线C的两个端点为A与B，
若把从A到B的方向作为C的正向 那么B到A的方向就是C的负向， 记作Cˉ
第三章 复变函数的积分
§2.1 复变函数积分的概念 §2.2 Cauchy-Goursat基本定理 §2.3 基本定理的推广-复合闭路定理 §2.4 原函数与不定积分 §2.5 柯西积分公式 §2.6 解析函数的高阶导数 §2.7 解析函数与调和函数的关系
1
念
积分的定义 积分存在条件及计算方法
y
zk ,
, zn1 , zn B,
A z z1 z2
0
C z znD n 1
zk 1 zk
B
把曲线C分割为n个小段.
o
x
5
在每个小弧段 zk 1 zk k 1,2, 一点 k ( k 1,2,
n
, n 上任取
, n), 做和数
S n f ( k )zk ,
n
f (
k 1
n
k
) z k u( k ,k ) iv( k ,k ) ( x k i y k )
[u( k ,k )xk v ( k , k )yk ]
k 1 n
定义
k 1
u,v连续 取极限
i [v ( k , k )xk u( k , k )yk ]
15
当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i; 当 n 0 时,
y
z
0 z
o

r
x
C
i 2π 1 n (cos n i sin n )d 0. n 1 dz ( z z0 ) r 0
2i , 1 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
16 重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.
例 3 计算积分C zdz , 其中C为 (1) 从原点到 1+i 的直线段； (2) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线. (3) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；
y
i
1 i
yx
2
o
1
x
17
k 1
其中， zk zk zk 1
k 1,2,
, n .
y
记sk为弧zk 1 zk的长度
令 maxsk .
1 k n
z0
1 2
k z k
zk 1
C z zn n 1
Z
z1 z2
o
x
6
如果分点的个数无限增多，并且极限
lim S n lim f ( k )zk
F
f ( z )dz f ( z )dz
F
BB

f ( z )dz 0
31
f ( z )dz
E
BB
f ( z )dz f ( z )dz
E
AA
A
3
简单闭曲线的方向
简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向 沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P 点的左方。与之相反的方向就是曲线的负方向。
4
定义 设 f ( z ) 是定义在区域D内的复变函数. C是区域D内以A为起点, B为终点的一条光滑的 有向曲线， 在C上依次取分点
A z0 , z1 , , zk 1 ,
定理中B是单连通区域的假设不可缺少. 参见例2
26
C
f ( z )dz 0
补 例 计算积分
1 dz 2z 3 z 1
3 在 z 2 上解析,
解 因为函数 1 f (z) 2z 3
y
所以根据Cauchy-Goursat 基本定理, 有 1 dz 0. 2z 3 z 1
z2
积分值可能与积分路径有关, 所以记 C f ( z )dz .18
3 积分的性质
(1) (2) ( 3)

C
f ( z )dz
C
f ( z )dz;
kf ( z )dz k f ( z )dz (k是复常数); C C
C [ f ( z ) g( z )]dz C f ( z )dz C g( z )dz;
β
11
证明
C f ( z )dz C udx vdy i



C
vdx udy .
u[ x(t ), y(t )]x(t ) v[ x(t ), y(t )] y(t )dt
u[ x( t ), y( t )] iv[ x( t ), y( t )] x ( t ) iy ( t ) dt
其中C 取正向 u . v u v 0, 并且 0. y x x y 由Green公式
Q f ( P z u( x , y ) iv ( x , y ) 在包含C Pdx Qdy ( ) )dxdy 如果 因为f (z)解析 , 所以u(D x,y )x 和v (x y ,y)在B内可微, 且 C 区域D内连续，则 C f ( z )dz 存在，
30
F
C
F
D1
D
A
A E
C1 C
B
B
E
AEB BE A A

f ( z )dz 0
=
f ( z )dz f ( z )dz
E AA
AAF BBFA
f ( z )dz 0
=
f ( z )dz
E
BB
AA

f ( z )dz

f ( z )dz
u[ x( t ), y( t )] x( t ) v[ x( t ), y(t )] y(t ) dt
v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y( t )dt .


i
α
f z ( t ) z( t )dt