相似三角形应用专题（二）
动态几何中的相似三角形
例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点
M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段
CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）
． （1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．
变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。
（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当
3
1
=
∆∆ABC
BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，
求出AP 的长；若不能，请说明理由。
N
C
M
B
变式练习1-2：如图，已知直线l 的函数表达式为4
83
y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，
动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒． （1）求出点A B ，的坐标；
（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？
（3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式． O
P
A
Q B
y
x
O
P
A
Q B
y x
图-2
A
D O B
C 2 1
M
N
图-1
A
D B
M N
1 2 图-3
A
D O B
C 2
1
M
N O
例题讲解二：在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图3，求AC
BD
的值．
变式练习2-1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90 当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN＝3PM．（不需证明）
当PC＝2P A，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．
变式练习2-2：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边
BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.
（3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2. （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2
＋CE 2
=DE 2
是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
G
y x
图2
O
F
E D
C
B
A
G
图1
F E D
C
B
A
G
图1
F
E D
C
B
A
G
y x
图2
O
F
E D
C
B
A
例题讲解三：如图１，PMN Rt △中，90P ∠=，PM PN =，8MN =cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令PMN Rt △不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图２）
，直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与PMN △重叠部分的面积为y 2
cm ．求y 与x 之间的函数关系式．
A
B D
P
N
２ ２
图２
图１
A B D
P
N
２ ２
图２
图１
变式练习3-1：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，45A =∠，10cm AB =，4cm CD =．等腰直角三角形PMN 的斜边10cm MN =，A 点与N 点重合，MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形
ABCD 不动，等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重
合为止．
（1）等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状 由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN 移动(s)x 时，等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为2
(cm )y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当4(s)x =时，求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积． A （N ）
M
P
D
C
A
N
M
P
D
C
B
A （N ）
M
P
D
C
A N
M P
D
C
B
例题讲解四：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度
是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
变式练习4-1：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？ （2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使2
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PEQ BCD S S =△△？ A
E D
Q
P
B
F
A
E
D
Q
P
B
F
变式练习4-2：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．
A
C
B
P
Q
E
D
A
C
B P
Q
E
D
A
C B
P
Q
E
D。