2( z )
2 0
1
z 20
2
2 0
1
z2
z
2 0
E(x, y, z) (x, y, z)e ikz
R(z)
z
1
20 z
2
z
1
z
2 0
z2
(z)
tan
1
z 20
tan
1
z z0
E0
0 (z)
exp
i
kz
(
z)
i
kr 2 2q(z)
•上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。
•为什么是这个解？还有其他解吗？
均匀介质中的高斯光束
高斯分布：
在统计学中更多的被称为正态分 布，它指的是服从以下概率密度 函数的分布：
f (x; , )
1
2
x 2
exp
2 2
E
E
0
0 (z)
exp
r2 2(z)
S' S
2
S
"S
(S S2
')2
0
得出 S " 0该微分方程的解为 S az ，ba、b为复常数
则 1 a q(z) az b
q
z
b a
z
q0
由p与q的关系得到 p ' i i q z q0
p
i
ln
1
z q0
C1
C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。
均匀介质中的高斯光束
高斯光束学习笔记
类透镜介质中的波动方程
从麦克斯韦方程组出发，推导出各向同性、无电荷分布介质中的波动
方程为：
u
2
v E
2
v E
t 2
若假设其解为修正平面波，且将类透镜介质折射率表达式带入其中可
以得到： 2 2ik ' kk 2r2 0
其中 (x, y, z为)修正因子，若假设其形式为：
E0
均匀介质中的高斯光束
远场发散角
从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利
长度之外，高斯光束迅速发散，定义当 z 时高斯光束振幅减小到最
大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：
lim (z) z z 0 z0
包含在全远场发散角内的光束功率占 高斯光束总功率的86.5%
kz k x2 y2 ; z R 2R
可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球面， 球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的表达式可知：
z=0时，R(z) ,此时的等相位面是平面；
z 时， R(z) z ，
此时等相位面也是平面；
z z0时， R(z) 2z，0
曲线，在z=0时有最小值 0 ，这个位置
1/ e
被称为高斯光束的束腰位置。
Z
Z
均匀介质中的高斯光束
等相位面特性
从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：
(x,
y,
z)
kz
(z)
kr 2 2R(z)
k
z
r2 2R(z)
tan
1
z
2 0
将上式同标准球面波的总相移表达式比较：
exp
ln
1
i
z 20
1
(
1
z / 20)2
exp
i
tan
1
z 20
exp
kr 2 2(q0
z
)
exp
2 0
1
r 2
(z /
20
)2
2
z
1
ikr 2
(z /
20
)2
均匀介质中的高斯光束
人为定义以下参数：
将上述参数带入到光场的表达式，
整理可以得到光场的表达式：
将上述结果代入到 的表达式中有：
E0 exp
i
i
ln 1
z q0
K 2(q0
z)
r
2
(1)
满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以 得到有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：
q0
i
2 0
,
2
k
将q0的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为：
此时的等相位面半径最小；
均匀介质中的高斯光束
瑞利长度
当光束从束腰传播到z z处0 时，光束半径 (z) ，2即0
光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，
从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记
作 。f
在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围
内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。
E0
0 (z)
exp
i
kz
(
z)
r
2
1 2(z)
ik 2R(
z)
z 0
20
E0
0 (z)
exp
r2
(z)
kr2 2R(z)
•该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖
关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。
均匀介质中的高斯光束
高斯光束基本特性
振幅分布特性 由高斯光束的表达式可以得到：
E
E0
0 (z)
exp
r2 2(z)
在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。
将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离 r (定z)
义为该处的光斑半径。
1
由 (z) 的定义可以得到：2(z) z2 1 即光束半径随传输距离的变化规20律为z双20
exp
i
p(z)
k 2q(z)
r2
可得到简化的波动方程：
1 q(z)
2
1 q(z)
'
k2 k
0
p
'(
z)
i q(z)
均匀介质中的高斯光束
均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此 时简化波动方程为：
1 q2
1 q
'
0
引入一中间函数S，使 1 S '(z代) 入上式得到 q(z) S(z)
从瑞利长度表达式
z0
2 0
/可 以得出结论，高斯光束
的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。
均匀介质中的高斯光束
高斯光束的孔径
从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：
则其光强分布为：
I
(r
)
I
0
exp
2r 2
2
A(r)
A0
exp
r2
2
考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一
高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中 曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴 线及其附近，且等相位面保持球面。
半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计
算可以得到不同孔径的功率透过率。
2
T P
P
0
0 2
I (r)2 rdrd I (r)2 rdrd
1
exp
2 2 2
0 0
孔径半径a ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只 要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透 过。