解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
由 a dv kv
得
v ddvt
t
k dt
ln vv由0 v0vvktdd,xtvvv00e0ektkt
得
x
dx
x0
t 0
v0e
kt
dt
x
x0
v0 k
1 ekt
§ 5-3 自然法
1、 弧坐标 s f (t)
2、自然轴系
切向单位矢量 主法线单位矢量 n
vy y 8sin 4t, ay y 32cos 4t
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。 运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cost
y AM sin (l a)sin t
消去t, 得轨迹
(l
x
2
a）2
(l
y2 a)2
则
a
dv
dt
v2
n
at
ann
at
dv dt
d2s dt 2
—
切向加速度
an
v2
1
ds 2 dt
—
法向加速度
a at2 an2
曲线匀速运动
at 0, v v0 常数, s s0 v0t
曲线匀变速运动
at
常数,
v
v0
att
,
ss0v0t源自1 2att
2
例5-4 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀 加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到 达54km/h。求列车起点和未点的加速度。
a ax2 ay2 l a2 4 cos2 t (l a）2 4 sin 2 t
2 l2 a2 2al cos 2t
cos(a, i ) ax (l a) cost
a
l2 a2 2al cos 2t
cos(a, j) ay (l a)sin t
a
l2 a2 2al cos 2t
d2 x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
例 5-1 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动， 其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺 A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：① M 点的运动方程； ② 轨迹； ③ 速度； ④ 加速度。
cos(v, i ) vx (l a)sint
v
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, j) vy (l a) cost v l2 a2 2al cos 2t
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
加速度
ax vx x l a 2 cost ay vy y l a2 sin t
r (t) x t i y(t) j z(t)k
速度
v
dr dt
dx i dt
dy dt
j
dz k dt
vxi
vy
j
vzk
dx vx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
加速度
a dv dt
dvx i dt
dvy dt
j dvz dt
k
axi
ay j azk
ax
dvx dt
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。 运动方程
xA b r sin b r sin(t )
xB r sin r sin( t )
已知：OM r, t , 常数, AB b。
求：① A，B点运动方程； ② B点速度、加速度。
B点的速度和加速度
vB xB r cost
副法线单位矢量 b n
自然坐标轴的几何性质
因为 d d d d 1 方向同 n ds d ds ds
所以 n d
ds
3、速度
v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
4、加速度 a dv dv v d
dt dt dt
代入
d d ds v n
dt ds dt
第五章 点的运动学
§5-1 矢量法
运动方程 r r t
速度
dr v r
dt
单位 m/s
加速度
dv d2 r
a
v r
dt dt 2
单位 m/s2
矢端曲线
速度方向为： 矢径矢端曲线切线
加速度方向为： 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t) y y(t) z z(t)
直角坐标与矢径坐标之间的关系
aB xB r2 sin t 2xB
周期运动
x(t T ) xt
f 1 频率 T
例5-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在
套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 a kv
（v 为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为 v0 。求
活塞的运动规律。
已知：a kv, v t0 v0 。求：x t 。
例5-2 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O
轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。已知动杆上A，B两
点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加 速度。
已知：OM r, t , 常数, AB b。
求：① A，B点运动方程； ② B点速度、加速度。
1
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
速度
vx x l a sin t
vy y (l a) cost v vx2 vy2 (l a)2 2 sin2 t (l a)2 2 cos2 t
l2 a2 2al cos 2t
② t 2min 120s
an
v2 R
(15m s)2 800m
=
0.281m
s2
a at2 an2 0.308m s2
例5-5 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，
y=2cos 4t m，z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：由点M的运动方程，得
vx x 8cos 4t, ax x 32sin 4t
已知：R=800m=常数， at 常数, v t0 v0 0
v
t 2 min
54km
h。求：a
t0 ,
a
。
t 2 min
解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。
由 at 常数, v0 0 有 v att
at
v t
15m s 120s
=
0.125m
s2
① t 0, an 0 a at 0.125m s2