限时练(五)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知集合A ＝{x | lg(x ＋1)≤0}，集合B ＝{x |2x ≤1}，则A ∩B ＝( )． A ．{x |－1＜x ≤1} B ．{x |x ≤0} C ．{x |－1＜x ≤0}
D ．{x |x ≤1}
解析 集合A ＝{x | lg(x ＋1)≤0}＝(－1,0]，集合B ＝{x |2x ≤1}＝(－∞，0]，则A ∩B ＝(－1,0]． 答案 C 2．已知复数z ＝2i
1＋i
，则z ·z ＝( )． A ．1－i B ．2 C ．1＋i
D ．0
解析 z ＝2i
1＋i ＝1＋i ，则z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2.
答案 B
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2，a 5是方程2x 2－3x －2＝0的两个根，S 6
＝( )． A.92 B ．5 C ．－92
D ．－5
解析 由根与系数的关系可知a 2＋a 5＝3
2，由等差数列的性质知a 2＋a 5＝a 1＋a 6，根据等差数列的求和公式得S 6＝6(a 1＋a 6)2＝92.
答案 A
4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )．
A．3 B．4
C．5 D．6
解析按照程序框图中的赋值语句要求将几次循环结果计算得出，通过判断语句，知每次运算依次为1×1＋1＝2,2×2＋1＝5,3×5＋1＝16,4×16＋1＝65，当i＝4时，计算结果为a＝65＞50，此时输出i＝4.
答案 B
5．下列选项中，说法正确的是()．
A．“∃x0∈R，x20－x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2－x＞0”
B．若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角
C．若am2≤bm2，则a≤b
D．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件
解析特称命题的否定是全称命题，选项A中“存在x0”的否定应该是“任意的x0”，所以A错误；当两向量共线反向时，数量积也是负值，所以B错误；
C选项忽略了m＝0的情况，错误；命题“p∨q为真”分为三种情况，p真q 假；q真p假；p和q都真；而p∧q为真是p和q都真，所以显而易见选项D 正确．
答案 D
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2、2、1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1、1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V ＝2×2×1＋1
2×1×1×2＝5. 答案 B
7．已知平面向量a ＝(1,2)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝53，则|b |＝( )． A ．5 2 B ．25 C ．3 2
D ．2 5
解析 |a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝5 3.解得|b |＝5 2. 答案 A
8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(其中|φ|＜π
2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin ωx 的图象，则只要将f (x )的图象( )．
A ．向左平移π
6个单位长度 B ．向右平移π
6个单位长度 C ．向左平移π
3个单位长度 D ．向右平移π
3个单位长度
解析 根据函数图象先确定参数值，由图象知函数周期为π，故ω＝2，图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，0，则2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，故φ＝π3.根据图象平移的规律，可知f (x )的图象向右平移π
6可得到g (x )的图象． 答案 B
9．设a＝log2.83.1，b＝logπe，c＝log eπ，则()．
A．a＜c＜b B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析易知0＜b＜1,1＜a＝log2.83.1＜log2.8π，又1＞logπ2.8＞logπe＞0，∴1＜log2.8π＜log eπ＝c，
∴1＜a＜c，∴b＜a＜c.
答案 C
10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1－2x，则y＝f(x)的图象大致为()．
解析f(x)＝x2＋2x＋1－2x＝(x＋1)2－2x，令g(x)＝(x＋1)2，h(x)＝2x，则f(x)＝g(x)－h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x1，x2，x3，在区间(－∞，x1)上有g(x)＞h(x)，即f(x)＞0；在区间(x1，x2)上有g(x)＜h(x)，即f(x)＜0；在区间(x2，x3)上有g(x)＞h(x)，即f(x)＞0；在区间(x3，＋∞)上有g(x)＜h(x)，即f(x)＜0.
答案 A
11．已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直
径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()．
A.x2
9－
y2
16＝1 B．
x2
4－
y2
3＝1
C.x2
16－
y2
9＝1 D．
x2
3－
y2
4＝1
解析如图所示PF1⊥PF2，故圆的半径为5，|F1F2|＝10，又b
a＝
4
3，∴a＝3，b
＝4.
答案 A
12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋1
a ＋2
的取值范围是
( )．
A ．(5
2，＋∞)
B ．(－∞，14)∪(5
2，＋∞)
C ．(0，1
4) D ．(14，52)
解析 根据导函数图象可知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (2a ＋b )＜1＝
f (4)，所以依题意可得到⎩⎨⎧
2a ＋b ＜4，
a ＞0，
b ＞0，
画出a ，b 的可行域，则所求
b ＋1
a ＋2
可看作点(a ，b )与(－2，－1)连线斜率，画图易知选D.
答案 D
二、填空题
13．在△ABC 中，若2sin A ＝sin C ，a ＝b ，则角A ＝________.
解析 根据正弦定理，可将条件化为c ＝2a ，又b ＝a ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，A ＝
π4. 答案 π4
14．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线相切，则a ＝______. 解析 抛物线的准线方程为y ＝－
14a
，圆的方程可转化为(x －3)2＋y 2＝16，圆与准线相切，可得到14a ＝4，解得a ＝1
16. 答案 1
16
15．已知变量x ，y 的值如表所示：如果y 与x 线性相关且回归直线方程为y ^＝b ^
x ＋7
2，则b ^＝________.
x 2 3 4 y
5
4
6
解析 根据所给的三对数据，得到x ＝
2＋3＋43＝3，y ＝5＋4＋6
3
＝5，∴这组数据的样本中心点是(3,5)，∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5＝3b ^
＋7
2，∴b ^＝12. 答案 12
16．在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2
＋π有零点的概率为______．
解析 依题意知，要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则Δ＝4a 2－4(π－b 2)≥0，整理可得a 2＋b 2≥π，因为总的事件的范围是以π为边长的正方形区域，
故所求概率为P ＝
π2－1
4π(π)2
π
2
＝34.
3答案
4。