特别提示：在不同坐标系中 u 、 A 、 A 的计算公式也不同。
场，则 (au1 bu2 ) au1 bu2
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
e x
y
e y
z
e z
u
u x
e x
u y
ey
u z ez
A
x
ex
y
ey
2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
直角坐标系中 柱坐标系中
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u
u
e
1 u
e
u z
ez
球坐标系中
u
u r
er
1 r
u
e
1 u
r sin
e
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式； 3. 设 a、b 为任意常数，函数u1 、u2 、u 为任意标量
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(1) 因为
R
R x
ex
R y
e y
R z
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R (y y)
y R
R (z z) z R
R (x x) e ( y y) e (z z) e R
Rx
Ry
R zR
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 RR R3ຫໍສະໝຸດ 证明：(1) 因为R
R x
ex
R y
e y
R z
y
ey
z
ez
2 A
2 x2
2 y2
2 z 2
Axex Ayey Az ez
2xxA2x2yA2 x
e2 A z2
x
2 Ay x2
2y A y2
y2 A z2
ey
2xzA2z2yA2 z ez2zA2
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
Ay
x
Ax e y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
5.拉普拉斯算子
x
ex
y
ey
z
e z
x
e x
y
ey
z
ez
2 2 2 2 x2 y2 z2
2u
2 x2
2 y2
2 z 2
u
2u x2
2u y2
2u z 2
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R ( y y) R (z z)
y
R z
R
R
(
x
R
x)
e x
(
y y) e
R
y
(z
z)e Rz
R R
R
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
e y
y
e z
z
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
gradu u
u
x
e
x
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(2) 因为
1 R
1 R2
R
1 R2
R R
R R3
1 R
1 R2
R
1 R2
R
R
R R3
1 R
本节要点
1. 哈密顿算子与不同物理量的作用关系； 2. 拉普拉斯算子与不同物理量的作用关系；
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
A
ex x
ey y
ez z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az
y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey