G 称 为 2021/2/22
G* {S1*,S2*;E}
的混合扩充。
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矩阵对策基本定理
定理 3 对于给定的矩阵对策 G {S1, S2; A}，G* {S1*, S2*; E} 为
其混合扩充。设 X * S1* ，Y * S2* ，则 X*，Y * 为 G 的最优解的充 要条件是下列三个条件中的任一个成立：
根据实际问题建立支付矩阵(建模);
根据最小最大原则、最大最小原则、优超原则等， 利用图解法和线性规划法求出矩阵对策的最优策 略和对策值.
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第一节 矩阵对策及其解法
本节的主要内容
• 对策现象的三要素及其分类 • 矩阵对策的数学模型 • 最优纯策略 • 混合策略和混合扩充 • 矩阵对策基本定理 • 矩阵对策的求解
对于一个矩阵对策，当其3个基本要素确定后，这 个对策的数学模型也就给定了。如果给定了局中人Ⅰ、 Ⅱ的纯策略集合分别为S1、S2，局中人的支付矩阵为A， 则把这个矩阵对策的数学模型记为
G ={Ⅰ，Ⅱ；S1；S2；A }或G = {S1，S2；A }
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【例11-2】（“石头、剪刀、布”游戏）每个人都 可能玩过这种游戏。石头击败剪刀，剪刀战胜布， 而布又胜过石头。这里也是两个局中人：局中人Ⅰ、 Ⅱ，双方各有3个策略，策略1代表出石头，策略2代 表出剪刀，策略3代表出布。假定胜者得1分，负者 得-1分。策略一样，就算“平局”，双方都不得分。 取S1={石头、剪刀、布}，S2={石头、剪刀、布}，则 局中人Ⅰ的支付矩阵A为
1m jinnai*j m 1iaxmaij*
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定理2：
若 ( i , j ) 和( k , t ) 都是矩阵对策G的鞍点， 则 ( i , t ) 和 ( k , j ) 也都是G的鞍点（称为鞍点的可 交换性），且在鞍点处的值都相等（称为鞍点的 无差别性）。
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•混合扩充——给定一个矩阵对策 G{S1,S2;A}。设
S*1是S1上一切混合策略的集合，S*2是S2上一切混合
策略的集合： S1* (x1,x2,
m
, xm | xi 1且xi 0,i 1,2,
,m,
i1
S2*
(y1,
y2,
n
, yn | yj 1且yj 0, j 1,2,
,n,
j1
E E(X,Y)| X S1*,YS2* ,
则称 ( i* , j* ) 为对策G的鞍点，也称它是对策G在纯 策略中的解，此时 i * 与 j * 分别为局中人Ⅰ和局中人 Ⅱ的最优纯策略。
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【例11-3】对于一个矩阵对策G ={Ⅰ，Ⅱ；S1，
S2；A}，其中 S 1 { 1 ,2 ,3 ,4 } ,S 2 { 1 ,2 ,3 }
0 1 1
A
1
0
1

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1 1 0
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最优纯策略
对策的值——一个矩阵对策G，如果其支付矩阵A 的元素满足：
m 1ia m xm 1ji n naij m 1ji n nm 1ia m xaij
则称这个值V为矩阵对策G的值。
矩阵对策G的鞍点——如果纯局势 使 ( i* , j* ) ai* j* G 的值V
（1）对任 X S1* ，Y S2* ，有 E(X ,Y *) E(X *,Y *) E( X *,Y ) ；
（2）对任 i 1, 2, , m ， j 1, 2, , n ，有
n
m
aij y*j E( X *,Y * ) aij xi*
j 1
策” ；根据局中人的策略集中的策略个数可分为
“有限对策”和“无限对策” ；根据局中人的支
付函数的代数和是否为零可分为“零和对策”和
“非零和对策”等。
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矩阵对策的数学模型
矩阵对策就是有限两人零和对策。即参加对策的
局中人只有两个，双方的利益是完全对抗的；每个局 中人都有有限个可供选择的策略；且在任一局势（在 对策论中，从每个局中人的策略集中各取一个策略组 成的策略组）中，一个局中人的所得即为另一个局中 人的所失，两个局中人的得失之和总等于零。
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对策现象的三要素及其分类
对策现象三个基本要素：局中人(players) 、
策略集(strategies)和支付函数（赢得函数）
(payoff function)。
对策现象的分类：根据局中人的数量分为
“两人对策”和“多人对策”；根据局中人之间
是否允许合作分为“合作对策”和“非合作对
第十一章物流运筹学对策论
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第十一章 对策论
➢矩阵对策及其解法 ➢其他类型对策问题 ➢对策论在物流企业竞争策略分析中的应用
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知识目标
了解对策论模型的三要素，掌握矩阵对策的模型、 基本定理及解法;
了解其他类型对策，能够用所学对策论知识解决 一些简单的实际问题.
技能目标
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【例11-6】某单位采购员在秋天时要决定冬季取暖 用煤的采购量。已知在正常气温条件下需要煤15吨， 在较暖和较冷气温条件下分别需要煤10吨和20吨。 假定冬季的煤价随天气寒冷程度而变化，在较暖、 正常、较冷气温条件下，每吨煤的价格分别为500元、 750元和1000元。又设秋季时每吨煤的价格为500元， 在没有关于当年冬季气温情况准确预报的条件下， 秋季时应采购多少吨煤能使总支出最少？
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混合策略和混合扩充
•混合策略——对于矩阵对策 G{S1,S2;A}
m
， X(x1,x2,
,xm)
是 S1上的一个概率分布 (xi 0, xi 1) ，局中人Ⅰ分别以
概率 x1, x2, , xm 采用策略1,i12, ,m，则称X(x1,x2, ,xm)
是局中人Ⅰ的一个混合策略。
5 1 7
A
3
2
5
1 6 1 9
4
0
4
求双方的最优策略。
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定理1：
( i* , j* ) 为对策G的鞍点的充要条件是对于任意的 i，j，有aij* ai*j* ai*j ，即鞍点 ( i* , )j* 具有这样的 性质：a i* j *是第j*列的最大元素，是第i*行的最小元 素。也就是说，对于纯局势( i* , j* ) ，有下式成立：