道工序是否有用，从所生产的产品中随机抽取7件产品，
首先测得其参数值，然后通过增加的工序加工后再次测
定其参数值，结果如下表。试问在 0.05
水平
上能否认为该道工序对提高参数值有用？
序号 加工前 加工后
1 25.6 28.7
2 20.8 30.6
3 19.4 25.5
4 26.2 24.8
5 24.7 19.5
t

sw
x y 1 n
1 m
在n 8, m 7, 0.05 t0.975(13) 2.160时4 ，
从而拒绝域x为19.925, y 20.143, sw2 0.2425, sw 0.4924
现| t |由 2样.16本04 求
0.05
得
{| t | 2.16，04}
• 3.基本实现思路
设两总体X ,Y 分别服从正态分布，为实现我们的目
的，最好的方法是去考察成对数据的di xi yi ,i 1,2,, n
差
。由于di ~两N测(,量 2值)
之差可认为服从正态分布，故
H0 : 0, H，1 : 检验0
两样本差异转化为检验如下假设：
这是 单个正态总体均值是否为0的检验问题。
两独立样本t检验与 两配对样本t检验的异同
一、两独立样本t检验
• 1.什么是两独立样本t检验？ ——根据样本数据对两个样本来自的两个
独立总体的均值是否有显著差异进行判断。 • 2.前提： ①两样本应该是相互独立的； ②样本来自的两个总体应该服从正态分布。
• 3.基本实现思路
设总体X1
服从正态分N布1
y

~m22N，2，m22

1 2
在 12

2 2
时
s
2 X
,
sY2
当
l

(
s
2 X

n与
sY2 m
)
2
/(
n2
(s分nX41别) 用m2其(smY4无1)偏) 估计
取
l
t*
t* ~ tl
，
x y ~ N (0,1)

2 1


2 2
nm
t x， 故y
6 18.1 25.9
7 22.9 27.8
解：数据之差为：-3.1 -9.8 -6.1 1.4 5.2 -7.8 -4.9
均值与标准差分别为 检验统计量
d 3.586, sd 5.271
d 3.586
t

1.80
sd
5.271
n
7
• 拒绝域为
t t0.9756 2.4469
相同均值的正态总体。即检验假设 H0 : d 0
，
实质就是检验差值的均值和零均值之间的显著性。
sX2 sY2
nm
代替后，记
若 的t非分整布数，W时即取最t* 接 近t1的2 l整数，则
近似服从自由度是
SUCCESS
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2019/7/26
• 例：甲、乙两台机床分别加工某种轴承，轴的直径分别服
从正态分布N1, 2 N2,与 2
，为检验两台机床加

2 1
和
2 2
常用各自的样本无偏方s x2 差
s
2 y
和去估计：
s
2 x

1 n 1
n i 1
xi

x
2
,
s
2 y

1 m 1
m i 1
2
yi y
由于其差 sx2 sy2 的分布F 可由
分布的提分供布，很即难获得，而其sx2 /商sy2
sx2
s
2 y
/

2 1
sY2
合并起来估计同一方差
sw2

n
1sx2 m 1sY2
nm2
采用如下统计量
t x y
sw
1 1 nm
拒绝与形式为
W1
t


t1 2
n

m

2

b. 1 与 2 未知的一般场合
• n与m不太大
是且x 这两y者~x ~独NN立1，1，n从12 2， 而n12
,
2 1

体
N服从2,正22 态分布
两x1个1, x总12,体x中1n1 抽取x样21,本x22 , x2n2
X 2 ，总 ，分别从这
1
2
和
，且两样本相互独立。
要求检验 和 是否有显著差异。
建立假设：H 0
:

2 1


2 2
H1
:

2 1
， 22
两个正态方差
t 0.8554
，
则
，由
于 ，故在
水平上，不能拒绝原假
设，因而认为两台机床加工的轴的平均直径一致。
二、两配对样本t检验
• 1、什么是两配对样本t检验？ ——根据样本数据对样本来自两配对总体的均
值是否有显著性差异进行判断。具体分为两种： ①用于同一研究对象分别给予两种不同处理结果； ②对同一研究对象处理结果前后进行比较。 • 2、前提： ①两个样本应是配对的； ②样本来自的两个总体应服从正态分布。
由t 于 d 未知，因此对此问题用t检验，检验统计连变
成 sd / n
，
d, sd
d1, d2 ,, dn
其 中0.，05
分别为
与样本标准差。在
{| t | t1水 2 平(n 上1)拒} 绝域为样本均值
• 例：某企业员工在开展质量管理活动中，为提高产品的
一个关键参数，有人提出需要增加一道工序。为验证这
工的轴的平均直径是否 一0.0致5 （取
），从各自加
工的轴中分别抽取若干根轴测直径，结果如下：
总体 X（甲） Y（乙）
样本容量 8 7
直径 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9 20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
解： H0 : 1 2 ， H1 : 1 2 由于两总体方差一致但未知，故用统计量
/

2 2
~
Fn 1, m 1
即可选用F 拒绝域为 W
统计量
F

sx2
s
2 y
{F F /2 (n 1, m 1)}
作为检验统计量。 或 {F F1 /2 (n 1, m 1)}
a.
2 1


2 2
但未知时的t检验
当两个正态方差相等时，可把两个样本方
差
s
2 x
与
样本未落入拒绝域中，所以在 0.05
水平上还不能认为该道工序对提高参数值有用
三、两种t检验的对比
• 独立样本的t检验过程用于检验两个独立样本是否来
自具有相同均值的总体，相当于两个正态分布总体的
均值是否相等，即检验假设H0 : 1 2
是否
成立，此检验以t分布为理论基础。
• 配对样本检验用于检验两个相关的样本是否来自具有