一、设),(y x d 为空间X 上的距离，试证：),(1),(),(~x y d x y d x y d +=也是X 上的距离。

证明：显然,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =⇔=⇔=0),(0),(~。

再者，),(~),(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；最后，由tt t +-=+1111的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 ),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++++=+++≤+=),(~),(~),(1),(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤。

二、设1p ≥，1()()(,,,)i n n p n x l ξξ=∈， ,2,1=n ，1(,,,)pi x l ξξ=∈，则n →∞时，1()1(,)0pp n n i i i d x x ξξ∞=⎛⎫=-→ ⎪⎝⎭∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,i =；)2(0ε∀>，存在0N >，使得()1pn i i N ξε∞=+<∑对任何自然数n 成立。

必要性证明：由1()1(,)0ppn n i i i d x x ξξ∞=⎛⎫=-→ ⎪⎝⎭∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =。

由1(,,,)pi x lξξ=∈可知，ε∀>，存在10N >，使得11()2ppi i N εξ∞=+<∑，并且1n N >时，()1()2p n p i i i εξξ∞=-<∑。

由此可得，11111()()111p p ppp pn n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞∞∞=+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪≤-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑对1n N >成立。

对于11,2,n N =，存在20N >，2()1pn pi i N ξε∞=+<∑。

取{}12max ,N N N =，则()1pn p ii N ξε∞=+<∑对任何自然数n 成立。

充分性证明：由条件可知，0ε∀>，存在0K >，使得()1()2p n pii K εξ∞=+<∑对任何自然数n 成立，并且1()2pp i i K εξ∞=+<∑。

由()n ii ξξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1Kpn p iii ξξε=-<∑，并且()()()111(,)Kppppn n n n i ii i i ii i i K d x x ξξξξξξ∞∞===+=-=-+-∑∑∑11()()111()()2pKpp p n n p p p i ii i i i K i K ξξξξε∞∞==+=+⎛⎫≤-++< ⎪⎝⎭∑∑∑。

三、在],[b a L p )1(≥p 上定义距离：()1(,)()()bppad x y x t y t dt=-⎰，则在此距离诱导的极限意义下，)(t x n 收敛于)(t x 的充要条件为)1()(t x n 依测度收敛于)(t x ；)2({})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。

必要性证明：由0),→x x n （ρ，可得0>∀σ，⎰⎰≥--≥-)()()(σx x E pn Epn n dt x x dt t x t x)((σσ≥-⋅≥x x E m n p ， ,2,1=n ，令∞→n ，可得0)((→≥-σx x E m n 。

即)(t x n 依测度收敛于)(t x 。

由)(t x 的积分绝对连续性可知，对任何0>ε，存在01>δ，使得E e ⊂，1δ<me 时，⎰<eppdt t x 2))((1ε。

对上述>ε，存在0>N ，使得N n >时，⎰<-Eppn dt t x t x 2)()(1ε）（，从而ε<+-≤+-≤⎰⎰⎰⎰⎰peppEpn pep pep n pe p ndt x dt x x dt x dt x x dt t x11111)()()()())(，即ε<⎰pepndt t x1))(，对,1,+=N N n ，成立。

对于N n ,,2,1 =，易知存在02>δ，使E e ⊂，2δ<me 时，（⎰<epn dt t x ε)(）。

取),m in(21δδδ=，则E e ⊂，δ<me 时，ε<⎰pepn dt t x 1))(，对每个自然数n 成立。

即{})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。

充分性证明：对任何>ε，令)()(εε≥-=x x E E n n ，则0)(→εn mE 。

由此可知，对任何0>δ，存在0>N ，使得N n >时，δε<)(n mE 。

令)()(εε<-=x x E F n n ，则⎰⎰-+-=nnE F pn pn n p dt x x dt x x x x ),(ρ。

此时，pE pp E p E p n p n n n n dt x dt x dt x x ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+≤-11)()(，p F pn a b dt x x nε⋅-<-⎰)(。

由积分的等度绝对连续性可知，对任何>ε，存在>δ，使得E e ⊂，δ<me 时，2))(1ε<⎰pepn dt t x ，2))(1ε<⎰pepdt t x 。

对上述>δ，存在0>N ，使得N n >时，δε<)(n mE ，此时pE pn ndt x x ⎰≤-ε）（。

于是对任何>ε，存在0>N ，使得N n >时，1(,)(1)pn d x x b a ε≤+-⋅，即)(t x n 收敛于)(t x 。

四、F是距离空间X 中闭集的充分必要条件为对任何F 中点列{}n x ，n x x X →∈，必有x F ∈。

必要性证明：对于F中点列{}n x ，n x x X→∈，若x F ∉，则cx F ∈，即x为开集c F 的点，从而存在0>δ，使得(,)c O x F δ⊂。

由n x x →可知，存在0>N ，使得(,)c N x O x F δ∈⊂，这与N x F ∈矛盾。

因而有x F ∈。

充分性证明：对于F 中互异点列{}n x ，若n x x X →∈，则x F ∈，即F 的聚点在F 中。

因此，对于任意c x F ∈，x 必不是F 的聚点，从而存在0>δ，使得(,)c O x F δ⊂，因而 c F 为开集，即F 为闭集。

五、设B是度量空间X 中闭集，试证必有一列开集 ,21n O O O ，，，包含B ，并且 ∞==1n n O B 。

证明：任取 ,2,1,1==n n n δ，令 B x n n x O ∈=)(δ，则n O B ⊂，并且n O 为开集),2,1( =n 。

任取 ∞=∈1n n O x ，则存在B x n ∈，使得n x x d n 1),(<),2,1( =n ，从而x x n →。

由于B 为闭集，因而B x ∈，即有 ∞==1n n O B 。

六、设X为距离空间，21F F ，为X 中不相交的闭集，试证：存在开集21G G ，，使得Φ=21G G ，11F G ⊃，22F G ⊃。

证明：由Φ=21F F ，得0),(2111>∈∀F x d F x ，，0),(,1222>∈∀F x d F x 。

令2),(,2),(122211F x d F x d ==δδ， 2211)(,)(222111F x F x xG x G ∈∈==δδ,则21G G ，分别为包含21F F ，的开集。

假设210G G x ∈，则211220110,,),(,),(F x F x x x d x x d ∈∈<<δδ，但是),(2),(2),(),(),(),(211221200121x x d F x d F x d x x d x x d x x d ≤+<+≤是一个错误，故而Φ=21G G 。

七、试证：∞l 是不可分的距离空间。

证明：设(){},1,0,,,,21=∈=∞n n l M ξξξξ ，则对于任何{}{}M y x n n ∈==ηξ,，当yx ≠时，,)sup 1n n d x y ξη=-=（。

显然，M 与二进制小数一一对应，因而是不可数的。

假设∞l 是可分的，则存在可数稠密子集{}n y ，使得任何∞⊂∈l M x 的邻域)31,(x U 中至少包含一个n y 。

对于任何两个不同的邻域)31,(x U 、)31,(y U ，My x ∈,，必有Φ=)31,()31,(y U x U ，从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈M x x U )31,(是一族互不相交的球，其总数是不可数的。

因此{}n y 至少也有不可数个，这与{}n y 是可数的相矛盾。

（或：由Ml y U n ⊃⊃∞）（31, 以及M是不可数的，可知存在一个)31,(n y U 包含M中的两个不同点y x ,。

但,)1d x y =（，并且2,),)(,)3n n d x y d x y d y y ≤+<（（，显然这是相互矛盾的。

） 八、设X为距离空间，A 为X 中的子集，令),(inf )(y x d x f Ay ∈=，X x ∈，试证：)(x f 是X 上的连续函数。

证明：任取Xx ∈0，对于X x ∈，有),(),(),(),(inf )(00x y d x x d y x d y x d x f Ay +≤≤=∈,对一切A y ∈成立。

从而)(),()(00x f x x d x f +≤，同理可得)(),()(00x f x x d x f +≤即有),()()(00x x d x f x f ≤-，从而)(x f 在0x 处连续。

因此)(x f 是X 上的连续函数。

九、试证：T 是距离空间X 到距离空间Y 中的连续映射的充要条件为Y 中任何闭集F 的原像F T 1-是X 中的闭集。

必要性证明：设F 为Y 中的闭集，任取{}1n x T F -⊂，n x x →，X x ∈，则n Tx F ∈。

由T 的连续性可知，n Tx Tx →，从而Tx F ∈，即1x T F -∈。