因此：
dt
xo
(t)
d dt
xo1(t)
2et
tet
6、 二阶系统的性能指标
➢ 控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的 定量指标，是定量分析的基础。
系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶 跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调 量Mp、振荡次数N。
例题 ➢ 例1
单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo (t) 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
G(s)
X o (s) Xi (s)
X o (s)
L[xo (t)]
L[7
5e6t ]
7 5 2s 42 s s 6 s(s 6)
➢ 例2
已知系统传递函数：
四、二阶系统的时间响应
1、二阶系统
G(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2ns
n2
其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期，
为阻尼比；
n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
二阶系统的特征方程：
s2 2ns n2 0
极点（特征根）： p1,2 n n 2 1
➢ 临界阻尼二阶系统： ＝1 具有两个相等的负实数极点：
但响应愈快；
= 0时，出现等幅振荡。
工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指 示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且 阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快 速性同时又不至于产生过 大的振荡。
一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越
迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应
的快速性越好。
G(s)
2s 1 (s 1)2
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解：1）单位阶跃输入时
Xo (s) G(s)Xi (s)
2s 1 s(s 1)2
1 s
(s
1 1)2
1 s 1
从而： xo (t) L[Xo (s)] 1 tet et
2）单位脉冲输入时，由于 (t) d [1(t)]
xo(t) 1
1
e( 2 1)nt， t 0
2(1 2 1 2 )
特点
✓ 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长
0
t ✓ xo () = 1，无稳态
误差。
➢
X
无阻尼（=0）状态
o
(s)
G(s) X i
(s)
s(s2
2 n
2 n s
2 n
)
xo (t) 1 cosnt, t 0
xo(t) 2 特点
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 ✓ xo() = 1，无稳态误差； ✓ 瞬态分量为振幅等于 e nt 1 2 的阻尼
正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。
阻尼振荡频率 d n 1 2 ；
✓ 振荡幅值随减小而加大。
xo (t) 1
e nt
1 2
sin(dt ),
t0
X o (s)
系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：
e(n jd )t ente jdt
其中， d n 1 2 称为阻尼振荡频率。
p1,2 n n 2 1
➢ 零阻尼二阶系统： ＝0
p1,2 n n 2 1
具有一对共轭虚极点：
p1,2 jn
系统时域响应含有复指数振荡项：
e jnt
➢ 负阻尼二阶系统： < 0 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
p1,2 n n 2 1
2、二阶系统的单位脉冲响应
G(s)
s2
n2 2n s
n2
xo (t) L1
G(s)
L1
(s wn )2
wn 2 (wn
1 2 )2
➢ 0<<1：
xo (t)
Байду номын сангаас
n 1 2
ent
sin dt,
t0
➢ = 0：
xo (t)
n 1 2
ent
sin dt,
G(s)Xi (s)
s(s2
2 n
2 n s
2 n
)
➢ 临界阻尼（=1）状态
xo(t) 1 (1nt)ent , t 0
xo(t)
特点
1 ✓ 单调上升，无
振荡、无超调；
✓ xo () = 1，无
0
t 稳态误差。
➢ 过阻尼（>1）状态
xo (t) 1
2(1
1
e( 2 1) nt
2 12)
✓ 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态 值的2%或5%）内所需的时间。
评价系统平稳性的性能指标
✓ 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用 百分数表示：
➢ 欠阻尼（0<<1）状态
xo (t) 1
e nt
1 2
s in(d t
),
t0
其中，d n 1 2
arctg 1 2 arccos
2
1.8 1.6 1.4 1.2 1
=0.2 =0.4 =0.6 =0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5 t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
xo(t)
Mp 1 0.9
允许误差 =0.05或0.02
0.1
0
tr tp
ts
t
控制系统的时域性能指标
评价系统快速性的性能指标
✓ 上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需 时间。对无超调系统，上升时间一般定义为 响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需 的时间。
✓ 峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。
p1,2 n
系统包含两类瞬态衰减分量：
ent , tent
➢ 过阻尼二阶系统： > 1
具有两个不相等的负实数极点：
p1,2 n n 2 1
系统包含两类瞬态衰减分量：
p1,2 n n 2 1
exp n n
2
1
t
➢ 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1 具有一对共轭复数极点：
p1,2 n jn 1 2 n jd
频率为n的等
1
幅振荡。
0
t
➢ 负阻尼（<0）状态 -1<<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。 < -1：输出表达式与过阻尼状态相同。
xo(t)
xo(t)
0
t
-1<<0 特点：振荡发散
0
t <-1
特点：单调发散
➢ 几点结论
二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： < 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长； 0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，
t0
xo (t) n sin nt, t 0
➢ = 1： xo(t) n2tent , t 0
➢ > 1：
xo (t) 2
n
e
2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
3、二阶系统的单位阶跃响应
Xi
(s)
1 s
X o (s)
G(s) X i
(s)
s(s2
2 n
2 n s
n2 )