1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N ＋，n >1)时，第一步应验证( ) A ．1＋12
<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14
<3 解析：∵n >1，且n ∈N ＋，∴n 的第一个取值n 0＝2.
此时12n －1＝13
. 答案：B
2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )
A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确
B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确
C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确
D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)
解析：因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．
答案： B
3．已知数列{a n }的前n 项之和为S n 且S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)，若已经算出a 1＝1，a 2＝32
，则猜想a n ＝( )
A.2n －1n
B.n ＋1n
C.2n －12n －1
D.2n －12
n －1 解析：∵a 1＝1，a 2＝32
， 又S 3＝1＋32
＋a 3＝6－a 3， ∴a 3＝74
. 同理，可求a 4＝158，观察1，32，74，158
，…，
容易猜想出a n ＝2n －12n －1⎝
⎛⎭⎪⎫或a n ＝2－12n －1. 答案：D
4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324
的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )
A ．增加
12(k ＋1) B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)
C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1
D ．增加
12(k ＋1)，减少1k ＋1 解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k
，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝
⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1
. 答案：C
5．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：凸k ＋1边形在凸k 边形的基础上增加了一条边，同时内角和增加了一个三角形的内角和即π.
答案：π
6．用数学归纳法证明
1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下：
①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n ＝k 时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，
则当n ＝k ＋1时，
1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋
11－2＝2k ＋1－1，
所以，当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________．
解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是[] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1， 即一定用上第二步中的假设．
答案：没有用上归纳假设进行递推
7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝
a n 1＋a n (n ∈N ＋)． (1)计算a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．
解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12
， a 3＝a 21＋a 2＝13，a 4＝a 31＋a 3＝14
. (2)由(1)的计算猜想知a n ＝1n .
下面用数学归纳法进行证明． ①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．
②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝1k
， 那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k
＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
根据①②可知，对任意n ∈N ＋都有a n ＝1n .
8．已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1＝1，a n ＋1＝12
a n (4－a n )，n ∈N ＋.证明a n <a n ＋1<2(n ∈N ＋)．
证明：①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝12a 1(4－a 1)＝32
， ∴a 1<a 2<2，命题正确．
②假设n ＝k 时，有a k <a k ＋1<2，则n ＝k ＋1时，
a k＋1－a k＋2＝1
2a k(4－a k)－
1
2a k＋1(4－a k＋1)
＝2(a k－a k＋1)－1
2(a k－a k＋1)·(a k＋a k＋1)
＝1
2(a k－a k＋1)(4－a k－a k＋1)．
而a k－a k＋1<0,4－a k－a k＋1>0，
∴a k＋1－a k＋2<0.
又a k＋2＝1
2a k＋1(4－a k＋1)＝1
2[4－(a k＋1－2)
2]<2，
∴n＝k＋1时命题正确．
由①②知，对一切n∈N＋有a k<a k＋1<2.。