试解 n Aeitnaq —— 格波方程
m2 Aeitnaq Aeitnaqiaq Aeitnaqiaq 2Aeitnaq
m2 eiaq eiaq 2 2 cosaq 1
解得 2 sin 1 aq —— 色散关系
m2
二、格波的简约性质、简约区
2 sin 1 aq
ur i
Aje
j ur
i e
j
q
r r ur
q
t
q
Rl
r
t j
q
t
ur
A
i je
j
ur r
i qq
e ur
ur ur ur
q tqRl ur Rl
上式对于任意时刻t和任意的格矢Rl 都成立，有：
ur r
i e
j
q
j
q
t
C
1
ur r ur
i q q Rl
e
C 1
j qur j qr ur r ur
当q0时， 0, 原胞内两种原子的振动位相完全相同。
q0时
2
M
Mm
m
1
1
4 M
Mm m
2
sin
2
1 2
aq
M m
1
Mm
1
4Mm
M m2
1 2
aq2
2
M
Mm
m
2Mm
M m2
1 2
aq 2
2
M m
1 2
aq 2
1 2
a
2 q q
M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致。
当q0时
简约区： q
a
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中
找到唯一一个q，使之满足：
q q
2
a
l
Gl
Gl 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n n
A
ei
1 2
aq
B
2
cos
1 2
aq
ei
1 2
aq
2 M2
M
2m
cos
Ⅱ2
Ⅱ2
1
3
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第 一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b 。
正格子 格常数 倒格子 格常数
简约区
sc
a
sc
2
a
4
bcc
a
fcc
a
由6个{100}面 围成的立方体
由12个{110}面 围成的正12面体
fcc
a
bcc
4
由8个{111}面和6个
a {100}面围成的14面体
t
n
1 2
aq
n
(设M > m)
{ 代入方程:
2
M
2
A
2
cos
1 2
aq
B
0
2
cos
1 2
aq
A
2
m
2
B
0
2 M2
久期方程：
2
cos
1 2
aq
0
2 cos
1 2
aq
2 m 2
2
Mm
M
m
M
2
m2
2Mmcosaq
＝
M Mm
m
1
1
4Mm
M m2
sin2
1 2
aq
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
体心立方晶格的倒格子与简约区
面心立方晶格的倒格子与简约区
三、周期性边界条件
设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。 那么，晶体的总原胞数为：N＝ N1 N2 N3
周期性边界条件：
ur ur ur ur
r
第j支格波： j Rl
j
R
l
N a
＝1, 2, 3
ur i
Aje
1 2
n
n n1 2
频率为j的特解： nj Ajeijtnaqj
方程的一般解： n Ajeijtnaqj
j
1
Q q,t einaq
q
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
1
N
einaqq q,q
n
H
1 2
Q&* q
q, t Q& q, t
2
qQ*
q,tQ q,t
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原 子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的 坐标，称为简正坐标。
n
n
q0
m M
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这
种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近
(q) =c0q
似），电磁波只与波数相同的格 +(0) 波相互作用。如果它们具有相同
+
的频率，就会发生共振。
q 0
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
2. 声学波（acoustic branch）
n n
M
m
2m
cos
1 2
aqei
12aq
M 2 m2 2Mm cosaq
i 1 aq
M
2
2m
cos
1 2
aq
e
2
m2 2Mm cosaq
M
m
Rei
1 aq
2
即：
2 2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型
物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。
格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则
晶格振动状态不同。
若
q q 2 l
a
则 q与 q描述同一晶格振动状态
例：
1 4a
2
4 5
a
2
q1
1
2a
q2
2 2
n n
q0
1
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振
幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称
为声学波或声学支。
光学波原子 振动模型
声学波原子 振动模型
2
1 M
1 m
2
m
2 M
π a
q0
0
2
1 M
1 m
0 0
π a
q
a
a
2
m
a
2
M
三、周期性边界条件
单元交换能量。
• 声子具有能量 h j ，也具有准动量
r hq
，但它不能
脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一
种准粒子。
• 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
• 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
E
N j=1
n
j
1 2
h
j
• 声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子 与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声
m2
(q)
—— 色散关系
q —— 简约区
a
a
q
- - 2 0 2
aa
aa
格 波：
Aei t naq
连续介质弹性波： Aeitxq
➢ 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动
➢ 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相
q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。
将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界
面上周期对应的两点间应满足关系：
ur Gn
ur
r
q
q
ur
0
Gn
ur r ur r q q Gn q
r ur 2 r 2
q Gn q r ur ur 2 2q Gn Gn 0
r q
ur Gur n
1
ur Gn
—— 布里渊区边界面方程
Gn 2
布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。
布里渊区的几何作图法： ❖ 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一
个倒格点为原点； ❖ 由近到远作各倒格矢的垂直平分面； ❖ 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积，
即为简约区或第一布里渊区。
简约区就是倒易空间中的Wigner－Seitz原胞。
3
l Ae
带入运动方程得：
m2 A 0 ，＝1，2，3
其中
r ur ur
＝
iq Rl Rl
C l l e
l
久期方程
m 2 11 21 31
12
m 2 22 32
13
0 23
m 2 33
可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方 向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。
5
2a
2
q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n