《抛物线》典型例题 12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) X 2=4y(2) X =ay 2(a H 0)分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 P,再写出焦点 坐标和准线方程.（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 P 及 焦点坐标与准线方程.解：（1）寫P =2,.••焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：y = -1（2）原抛物线方程为：y 2 a 1 ，二2P = — a ①当2时，牛右，抛物线开口向右, 二焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x = 4a 4a ②当a <0时，牛-右，抛物线开口向左, 1 1 •••焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x =-' 4a 4a 综合上述，当a H0时，抛物线x=ay 2的焦点坐标为（丄,0），准线方程是：x = - 1 4a 4a 典型例题 例2若直线y =kx-2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2, 求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直线 斜率及弦中点坐标有关，故也可利用 作差法”求k. 解法一：设 A （x 1, y 1）、y = kx — 2B( x 2, y 2)，则由：｛ 2 可得：k 2x 2-(4k+8)x + 4 = 0 . 2 C l y =8x•••直线与抛物线相交,” k H 0 且 i >0，贝U kA —1 .••• AB 中点横坐标为:解得：k=2或k=—12 （舍去）.k 2 =2，故所求直线方程为：y =2x—2 .解法二：设AX，%）、B（X2，y2），则有 y12 =8x1 y/ = 8x2两式作差解：（％-y2）（y1 +丫2）=8（x1 -X2），即*72X1 —X2 y1 + y2打x^i +X2 = 4 二yt + 丫2 =kx1—2 +kx2 —2 = “X t + x?）— 4 = 4k 一4，8/. k=----- 故 k=2或k=—1 （舍去）.4k 一4则所求直线方程为：y =2x-2 .典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为寸=2px（ p>0）.如图所示，只须证明则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明：作AA丄I于A i, BB i丄丨于B i . M为AB中点，作MM i丄丨于M i，则由抛物线的定义可知:在直角梯形BB i A i A 中:MM, AB2=MM ,1=2（AA +BB1）=?（|AF|+|BF|）= 2ABAB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4 （1）设抛物线y2 =4x被直线y=2x+k截得的弦长为3^5，求k值.（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离22求p 点坐标.解: (1)由卩 "x 得：4x 2+(4k —4)x + k 2=0 l y =2x+kk设直线与抛物线交于A （x 1, y 1）与B （x 2, y 2）两点.则有：治+ x ? = 1 -k,为凶=一 4 二 AB | = J (1 +22)(X 1 -X 2)2 = j 5(x 1 +X 2)2 -4x 1X 2 ] = 751(1-k)2-k 2】= j 5(1-2k)/. AB|J5(1-2k) =3^5，即 k = —4•••点P 在x 轴上，.••设P 点坐标是（X 0,O ）二X o = -1或X o =5，即所求P 点坐标是（—1, 0）或（5, 0）.典型例题五例5已知定直线I 及定点A （A 不在I 上），n 为过A 且垂直于I 的直线，设N 为 I 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B,点B 关于AN 的对称点为P,求证P 的 轨迹为抛物线.分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明 P 点的轨迹符合抛物线 的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，I 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA = PN 且PN 丄丨 即可.寫AB 丄I.二PN 丄丨.则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线.2天9 675⑵，S A =9，底边长为矗，•三角形高h y 5则点P 到直线y=2x-4的距离就等于h,即2x 0 — 0 — 4 6yl5证明：如图所示, 连结 PA PN 、NB.由已知条件可知: PB 垂直平分NA,且B 关于AN 的对称点为P. ••• AN 也垂直平分P B.则四边形PABN 为菱形.即有PA=PN .21 2典型例题六例6若线段P 1P 2为抛物线C: y2 * 4=2px （p >0）的一条分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的.我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物 线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：寫F （号,0），若过F 的直线即线段PP 2所在 直线斜率不存在时, 则有 RF =P2F =P ，二… . PF| P 2F设 P （X i , yj, P 2（X 2, y 2）.焦点弦，F 为C 的焦点，求证：12RF P 2F根据抛物线定义有: RF =X i十卫 +卫 ,P 2F =X 1 +升.P 1P 2=X i + X2 + P则丄+丄=I RF I+R F L X i +x2 + P RF| |F2F RFlpFl （X i 垮）（X 2埠）X 1X 2请将①②代入并化简得：1+ R F | IP 2F若线段PP 2所在直线斜率存在时，设为k ， 则此直线为: y = k （x-^）（kH0），且y =k （X-号） 由｛ 2得: y =k （x —夕）I 2k 2X 2 -P （k 2 +2）x + k P2-=04 P （k 2+2）/. % +X 2 =2k又 ％丫2 =tana(x i —X 2)典型例题七例7设抛物线方程为y 2=2px(p >0)，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为a ，求证: 焦点弦长为AB 二一2^ .sin Ct 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题. 证法一：抛物线y 2 = 2 px(p >0)的焦点为 导0)，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：y =tanad-^) 由方程组厂tag(x专)消去y 得:2l y =2 px222224x tan o-4p(tan ^)+ p tan a =02设 A(X i ，y i ),B(x 2，y 2)，则｛ 2 tan ° [x i 2 十证法二：如图所示，设R 、P 2、F 点在C 的准线I 上的射影分别是P 、F 2、且不妨设|P 2F 21= ncm=|PP|，又设P ?点在FF由抛物线定义知, F 2F =n. RF =m, FF i = p 又' F 2AF s i P 2BP 1，二 即m = m-n m+n ”p(m + n) =2mn 1 1 2——+ —=— ■ m n p故原命题成立.AF BR L ，2% +X 2 = P(t an ： +2)= p(1+2cot2a )”AB| = ^(VH tan %t )(x ^x 2)2 =蟲 I 2 「2 2 p 21 =(1+tan a ) I P (1 +cot a ) —4 — IV L 4JIQQnQ=J sec a 4p cot a (1 +cot a ) =J 4 p 2*亠 V sin a2psin 2 a 即 ABsin a证法二：如图所示，分别作AA i 、BB i 垂直于准线I .由抛物线定义有: AF = AA = AF co 少 + PBF = BB 1二 AB = AF + BF=P + P1—cosa 1+ coset —2p21 —cos a _ 2p2sin a故原命题成立.典型例题八例8已知圆锥曲线C 经过定点P(3,2^3)，它的一个焦点为F (1, 0),对应于该 焦点的准线为x = -1，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB,若弦AB 的长度不超过8, 且直线AB 与椭圆3x 2 +2y 2 =2相交于不同的两点，求 (1) AB 的倾斜角日的取值范围.+ tan 2a )(为 +X 2)2-4皿2 】 于是可得出: AF =—P — 1 -COSaBF| =—P — 1 + cosa=P - BF COSay\4 3 3 4(2)设 CD 中点 M(x,y)、C(X 3，y 3)、 D(X 4，y 4)又0<0<:兀，•所求9的取值范围是:兀 V. 兀 2応 3花（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其 斜率为k,弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得e 的 取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简 即可. 解：（1）由已知得|PF | =4 .故P 到x = —1的距离d =4，从而|P F |=d •••曲线C 是抛物线，其方程为y 2=4x 设直线AB 的斜率为k,若k 不存在，则直线AB 与3x 2+2y 2=2无交点.••• k 存在.设AB 的方程为y = k （x_1）-4x可得：ky 2-4y_4k=0= k(x-1)4B 坐标分别为（X i ，y i ）、（X 2，y 2），贝U: % + y ? =— % 也=*k二 AB | = Jo + k2)(y1 -y2)2、'1 +k 2 匚一；一—=—:—』(％中丫2)-4%丫2 k4(1 +k 2)2•••弦AB 的长度不超过8，.罟兰8即宀由 得：(2k2+3)x 2-4k—••• AB 与椭圆相交于不同的两点，二k 2<3由 k 2>1 和 k^3 可得：1 <^73 或一J 3<k <-1 故 1 <tan 9 < J 3或一 J 3 e tan 9 < -1设A 、k 2由仃::二得：（2k2+3）x—=04k 22（k 2-1）/. X3 +x 4 =—2——,X | M =2k 2+32… X 3 +X 42k -X = ----------- = ------ 2 ----22k 2+3gl-^3—2k +32寫 1 <k 2 v 32.•.5<2k +3v 9 2 1 则2兰1-—5 2k2. 2k 2…X = -- 2 --2k 2 +322亠 （X-1）2化简得：3x 2+2y 2-3x=0 •••所求轨迹方程为：3x2+2y2-3x =o 0x <|）典型例题九例9定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动，求AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标.分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题，因此只要研究 A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F 是y 2=x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ，22亠+3（X-1）222k +3C、D和N是垂足，则4 3 3 4 (2)设 CD 中点 M(x,y)、C(X3，y3)、D(X4，y4)等式成立的条件是AB 过点F .5 1当 x =—时，y 讨2 = -p2 =—，故4 4, 、2 2 2 C C 1 C (%+丫2)=* +y 2 +2%丫2 =2x-2 =2，厂运yi+y 2占2，“±牙 所以M(5, ±〈2)，此时M 到y 轴的距离的最小值为54 24说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例10过抛物线y=2px 的焦点F 作倾斜角为日的直线，交抛物线于A 、B 两点, 求AB的最小值.分析：本题可分e = 2和° ’2两种情况讨论.g I 时先写出I AB 的表达式, 再求范围.解: (1)若日=2，此时 I AB =2p. (2)若Th I ，因有两交点，所以£工0 . AB ： y = tan 日(x-#)，即 x = 代入抛物线方程，有y 2- Cytan 。