a1 双曲线（一支): y a2 x 指数曲线： y a1e a2 x
例如
f ( x ) a1 x m a2e x a3 sin( x )
1, x , x 2 ,L x m
多项式拟合 指数函数拟合 三角函数拟合
e
1 x
,Le
m x
sin( x ), cos( x ), sin( 2 x ), cos(2 x ),Lsin( mx ), cos(mx )
仿真结果表明： 线性模型在短 期内基本上能 比较准确地反 映人口自然增 长的规律，但 长期预测误差 较大。
三、人口预测的Malthus模型
英国统计学家Malthus于1798年提出了一种关于 生物种群繁殖的指数增长模型：假设种群数量的增 长率与该时刻种群的个体数量成正比。 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t 的人口, t=0时人口数为x0 dx rx , rt x ( t ) x e dt 指数增长模型 0 x ( 0 ) x0 实际中，常用
2 2 [ f ( x ) y ] i i i i 1 i 1 n n
达到最小。
最小二乘准则
数据插值
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点( xi , yi ) ，
y f ( x) i 1,2, L, n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）
使f ( x )在观察点x1 ,L, xn 处满足f ( xi ) yi , i 1,L, n,
计算得
a -27.9047, b 0.0176
从而得到人口数与年份的函数关系为
ye
27.9047 0.0176* x
指数预测模型
并预测2000,2005,2010年的人口
年份 预测（百万） 真实值（百万） 2000 1363.6 1295.33 2005 1488.8 1306.28 2010 1625.4 1370.5
xt e a bt ln x t a bt
解：
设
x t e
a bt
ln( x ) a bt
问题转化为求参数 a, b 使得
J (a , b) (a bti ln xi )2
10 i 1
取得最小值.其中, t i 表示年份,xi x t i 表示人口数量。
数学实验
Experiments in Mathematics Laboratory Mathematics
阮小娥博士 赵小艳
办公地址：理科楼214
实验13 人口预测与数据拟合
实验目的
1、学会用MATLAB软件进行数 据拟合。 2、了解利用最小二乘法进行 数据拟合的基本思想，掌握 用数据拟合法寻找最佳拟合 曲线的方法。 3、了解多元函数的极值在 数据拟合法中的应用。
或者调用M函数
function f=nihe(a,x) f=a(1)+a(2)*x; 保存成nihe.m,在新窗口编写程序 x=1949:5:1994; y=[541.67,602.66,672.09,704.99,806.71, 908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.7 4]; a0=[10 10]; [a,resnorm]=lsqcurvefit(@nihe,a0,x,y)
也可以用inline命令定义函数
x=0:0.1:1; y=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.1 7]; f=inline('a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3','a','x'); a0=[0 0 0]; [a,resnorm]=lsqcurvefit(f,a0,x,y) plot(x,y,'*') hold on g=a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3; plot(x,g,'r-')
(2) polyfit命令---多项式曲线拟合 a = polyfit(xdata,ydata,n) 其中n表示多项式的最高阶数 xdata，ydata 为要拟合的数据，它是用向 量的方式输入。 输出参数a为拟合多项式 y = anxn + … + a1x + a0的系数a = [an, …, a1, a0]。 多项式在x处的值y可用下面程序计算。 y = polyval (a, x)
注意：该命令与初值有关系。
也可以直接编写程序如下：
clc;clf; x=1949:5:1994; y=[541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106. 76,1176.74]; plot(x,y,'r*','linewidth',2) grid a11=10;a12=sum(x); a21=a12;a22=sum(x.^2); d1=sum(y);d2=sum(x.*y); A=[a11,a12;a21,a22]; D=[d1;d2]; ab=inv(A)*D plot(x,g,'b-','linewidth',2) t=1949:5:2010; g=ab(1)+ab(2)*t; hold on plot(t,g,'b-','linewidth',2) y2000=ab(1)+ab(2)*2000 y2005=ab(1)+ab(2)*2005 y2010=ab(1)+ab(2)*2010 axis([1945 2012 500 1450]) plot(2000,1295.3,'g*','linewidth',2) plot(2005,1306.28,'g*','linewidth',2) plot(2010,1370.5,'g*','linewidth',2)
4、通过对实际问题进行分 析研究，初步掌握建立数 据拟合数学模型的方法。
实验问题
据人口统计年鉴，知我国从1949 年至1994年人口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
1954 1959 1964 1969 602.66 672.09 704.99 806.71 1979 1984 1989 1994 975.42 1034.75 1106.76 1176.74
仿真结果表明： 人口增加的指 数模型在较短 期内基本上能 比较准确地反 映人口自然增 长的规律，但 长期预测误差 很大。
四、人口预测的Logistic模型
如果人口的增长符合Malthus模型，则当 t , x( t ) 即最终导致地球上人口爆炸，这与实际是不相符的。
1838年，荷兰生物学家Verhulst对Malthus模型作 了进一步分析后指出：导致上述不符合实际情况的 主要原因是未能考虑“密度制约”因素。
年份 人口数 年份 人口数
1949 541.67 1974 908.59
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。 （2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年 的人口数。
y ax b
线性模型
如何确定a,b?
一、曲线拟合
1 曲线拟合问题的提法:
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点( xi , yi ) ， 使 f ( x) 在观测点x处所取得值f(x)分别与观察值y在某种 准则下最为接近，即曲线拟合得最好，如图
数据插值
２. 用什么样的曲线拟合已知数据?
１）画图观察 ２）理论分析
f ( x ) a1 r1 ( x ) a 2 r2 ( x ) L a m rm ( x )
常用的曲线函数系ri(x)类型：
直线： 多项式：
y a1 x a0
y am x m L a1 x a0
10 1 J 10 10a t i b ln xi 0 2 a i 1 i 1 解方程组: 10 10 10 1 J t i a t i2 b ln xi t i 0 i 1 2 b i 1 i 1 即得参数a, b 的值.
y
y f ( x) i 1,2, L, n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线） ，
+ ( xi , yi ) i + + +
+
0
y f ( x)
+
+
+
x
从几何上讲，并不要求曲线严格通过已知点，但 要求曲线在各数据点和已知数据点之间的总体误 差最小，通常称为数据拟合。
而我们经常是确定f(x)使得偏差平方和Fra bibliotek计算得
a 15, b 27754
y 15 x 27754
从而得到人口数与年份的函数关系为 线性预测模型
并预测2000,2005,2010年的人口
年份 预测（百万） 真实值（百万） 2000 1266.6 1295.33 2005 1339.1 1306.28 2010 1411.7 1370.5
例
首先编写函数文件 function y=f(a,x) f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3
保存为f.m，其次调用该函数
x=0:0.1:1; y=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17]; a0=[0 0 0]; [x,resnorm]=lsqcurvefit(@f,a0,x,y)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数