• 目标3：将投资资金控制在5500万美元以内
• 三个目标在重要性上的排序：目标1，目标2的前半部分避免减少 员工，目标3，目标2的后半部分避免增加员工
• 惩罚权重：总利润 5（低于目标每100万美元），员工水平 4（ 低于目标每100名员工）2（高于目标每100名员工）3（超过目标 每100万美元）
j 1
s.t.
f j (x)
y
j
y
j
fˆ j
j 1,2,, n
y
j
y
j
0
Ax b
x 0,
y
j
0,
y
j
0,
j 1,2,, n
对于许多实际问题,决策者对不同目标的要求不同，
为了反映这种情况，我们对yj 和yj 分别加权wj 和wj
如果
wj wj 1
希望
y
j
尽可能小
wj wj 1
线性目标规划
• 两类“权”系数 － “抢先优先权”：表达一种“质”的度量 － 普通权：表示“量”的差别
按抢先优先权，我们可以把n个目标f1 fn划分 成一定个数的优先类。Pl 表示第l级抢先优先权，有
Pl 1 Pl Pl 1 从而目标规划可以改写成：
Min
L
Pi
wj
y
j
wj
y j
i1 jJi
我们用某一范数d p定义方案间的偏差:
1
d p ( f (x), fˆ )
n
wj
f j (x) fˆj
p
p
j1
其中: fˆj , j 1,2,, n, 为理想点
从而, 多目标决策问题转化为:
1
Min
xX
d
p
(
f
(x),
fˆ )
n
wj
j 1
f j (x)
fˆj
p
p
线性目标规划
线性多目标问题：
Max xX
V
f1 ( x)
fn (x)
V (.)为一标量函数
多目标决策问题转化为在X中找一x*使V达到最大
这个解称为最佳调和解
然而，多目标决策问题的效用函数通常极难得到。
处理方法：
重点在如何获取和利用决策者的偏好信息
目标规划法
决策者通常很难说清楚自己的偏好，但在他心里会有一个理想的目 标(可能很模糊)。因此，我们取与决策者的理想目标最接近的方案 为“最优方案”。
s.t. 同前
线性目标规划
求解算法：
• 令K=1，求线性规划问题，使第一优先级中的各目标得以优
化
Z1
wj yj
wj
y
j
jJ1
• 如果K=L，或最优解是唯一解，则停止，否则下一步
• 令K=K＋1，在满足第K－1优先级及以前各类目标要求
的前提下，求线性规划问题，使第K优先级中所有目标
得以优化
因此，我们可以设 wj 0，wj 1，即
n
Min
w j
y
j
j 1
s.t. 同前
这两模型称为单侧目标规划。
求解线性目标规划
• 例题 某公司需要确定三种产品P1,P2,P3的产量，在做出决策
前，管理层希望达到如下的目标：
• 目标1：总利润不少于1.25亿美元
• 目标2：保持现有的4000人的员工水平
n
Min wj fˆj f j (x) j 1
s.t. Ax b, x 0
线性目标规划
设
y
j
1 2
fˆj f j (x) fˆj f j (x)
y
j
1 2
fˆj f j (x) fˆj f j (x)
显然，当
fˆj f j (x)，有
y
j
f j (x)－fˆj
希望
y
j
尽可能小
线性目标规划
考虑两种极端情况:
1) f j 为成本型目标(随f j 增加偏好降低)
显然，决策者不
希望出现y
j
f j (x)
fˆj
0
因此，我们可以设 wj 1，wj 0，即
n
Min
w j
y
j
j 1
s.t. 同前
2) f j 为效益型目标(随f j 增加偏好增加) 显然，与情况1）正相反
ZK
wj
y
j
wj
y
j
jJ K
s.t. (增加) Zi Zi* i 1,2,, K 1
最多需要求解L个线性规划问题。
Excel求解优先目标规划
• 续前例 公司再次明确了目标重要度差异较大，存在
不同的优先级，如下： • 优先级1 总利润不得少于 1.25亿美元 • 优先级2 避免员工人数少于4000人 • 优先级3 投资资金控制在5500万美元以内 • 优先级4 避免员工人数超过4000人
xX
其中：x [x1 xm ] 决策变量
fi (x),i 1,2,, n(n 2) 目标函数
X为决策变量的可行域
理想情况：找到一xs X，使每个fi (xs )，i 1,2,, n均达到最大，
即
fi
( xs
)
Max
xX
fi (x),
i 1,2,, n
无限方案多目标决策问题
引入效用函数后，问题可以改写为：
m
m
Max Min
f (x) f1(x)
c1 j x j
j 1
fn (x) cnj x j
j1
m
s.t. gi (x) aij x j bi i 1,2,, N
j 1
即：X x | Ax b, x Rm, x 0
其中：A aij , b bj
如采用绝对值表示方案间的偏差，则
案例讨论计算之古巴的良方
• 案例关键点
–b) c)说明了对于加权目标规划的影响因素，是目 标的偏离权重，以及资源的分配
–d)说明了在一定情况下，目标与约束条件的转换
• 产品的单位贡献
P1
P2
P3
利润
12
9
15
员工
5
3
4
资金
5
7
8
线性目标规划
人们通常对目标的要求可能有“数量级”的差别，如 ：〖船厂建设问题〗通常要考虑如下指标
–首要条件
－ 岸线 － 水文 － 地质 － 水域
–主要条件
－ 陆域 － 交通 － 生产服务 。。。。
–一般条件
。。。。
•可见决策者对不同的指标的要求有时会有“质”的 差别
0
且
y
j
0
当
fˆj f j (x)，有
y
j
fˆ j
f j (x) 0
且
y
j
0
因此，称
y
为
j
过偏差，y
为欠偏差
j
进一步，有
y
j
y
j
fˆj f j (x)
y
j
y
j
f j (x)
fˆj
y
j
y
j
0,
y

j
0,
y
j
0
线性目标规划
多目标决策问题表示为:
n
Min
wj
y
j
y
j
多目标决策分析(II)
内容提要
• 无限方案多目标决策问题
– 目标规划法 – 逐步求解法 – DIDASS – Geoffrion法 – 极小化极大法
• 不精确不完全判断
– 两两比较的典型类型 – 一种处理和分析方法
无限方案多目标决策问题
无限方案多目标决策问题，一般可以表示为：
Max Min
f (x) [ f1(x),, fn (x)]