自适应Simpson积分算法（MATLAB及C++实现代码）
(计算数学课用)
在CSDN论坛中找到了却要金币，无奈之下自己写了一份。

对于类似问题，改一下积分函数和区间即可。

针对问题：数学上已经证明了
∫
4
1+x2
dx=π
1
成立，所以可以通过数值积分来求π的近似值。

试利用自适应Simpson算法计算积分近似值。

C++版：(直接复制粘贴在VC++6.0即可运行)
/*用自适应Simpson积分方法计算积分值*/
#include<iostream>
#include<cmath>
int n=0; //设置全局变量n,用来记录最高迭代次数，避免递归一直进行下去。

double pi=3.141592653589793238462643 ; //设置近似精确值，用以比较
double e1=0.00001 ; //设置误差容限为10^-5
double f(double); //要积分的函数
double Simpson (double,double,double,double); // 迭代函数
using namespace std;
//主函数
int main()
{
double a=0,b=1,t,h,S;//积分区间
h=(b-a)/2;
S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2)); //第一次Simpson公式积分值
t=Simpson(a,b,e1,S);
cout<<"积分值为："<<t<<endl;
cout<<"最大迭代次数为："<<n<<endl;
cout<<"设置误差容限为"<<e1<<"\n误差为:"<<pi-t<<endl;
return 0;
}
//子函数1（积分函数）
double f(double x)
{return 4/(1+x*x);}
//子函数2（迭代函数）
double Simpson (double A,double B,double e,double S)
{double h,S1,S2;
h=(B-A)/2;
n++; //统计迭代次数
if(n>500) {cout<<"方法有误，跳出递归"<<endl; return 0;}
S1=h/6*(f(A)+f(A+h)+4*f(A+h/2)); // 在[A,(A+B)/2] 区间上计算Simpson积分值S2=h/6*(f(A+h)+f(B)+4*f(A+3/2*h)); // 在[(A+B)/2，B] 区间上计算Simpson积分值if(fabs(S-S1-S2)<15*e)
return S1+S2; //如果满足误差容限要求，就以S1+S2作为此时对应区间上的函数的近似值
else
return Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2); //递归调用
}
MATLAB版：（两个函数文件加一个脚本文件）
1.编写积分函数文件：
function y =f(x)
y=4./(1+x.^2);
end
2.编写Simpson 迭代函数文件
function y = Simpson( A,B,e,S )
h=(B-A)/2;
S1=h/6*(f(A)+f(A+h/2)+4*f(A+h/2));
S2=h/6*(f(A+h)+4*af(A+3/2*h)+f(B));
if abs(S-S1-S2)<10*e y= S1+S2;
else y=Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2);
end
end
3.编写脚本调用文件
tic
clear;
a=0; b=1; %积分区间
e=0.0000001; %误差容限
h=(b-a)/2;
S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f(1/2*(a+b))); %第一次Simpson积分值
t=Simpson(a,b,e,S) %最终自适应方法积分值
abs(pi-t) %实际误差
e %设置的误差容限
toc %返回所用时间
亲测可用。

这两个代码本质上是一样的。

我先用C++语言写好，然后又换用成MATLAB语言。

MATLAB好像可以把误差容限调到10^-7以下，而C++ 则只能到10^-5左右。

原因不甚了解，猜测可能是由于C++计算时字节长度不够，导致精度不够，要递归调用很多次才能达到所需精度。