圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用
北京一零一中学数学组 何效员 圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证。

利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。

但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。

如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x =的距离之比为常数e 的点的轨迹讨论如下：
① 当1e =时，点的轨迹方程为1,(1)y x =≠，
直线去掉一点；
② 当1e >时，点的轨迹方程为211(1),y e x -=±--
(1)x ≠，两条直线去掉一点；
③ 当1e <时，点的轨迹不存在。

下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。

例1 已知椭圆22
143
x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使 ||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。

分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ，
则2222
||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+，
求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M 点到右准线的距离d ，
||1
2
MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样 ||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线2
4a x c
== M
P
F M
x = 4
O
y
x
的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26
(
,1)3
-. 例2 已知椭圆方程为22
221(0)y x a b a b
+=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得
它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。

分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标，
继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时 的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双 曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。

设所求双曲线方程为
22
2
21(,0)y x m n m n
-=>，其中 22222c a b m n =-=+，设两曲线在第一象限内的交点111(,)P x y ，12,l l 分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P 作11PQ l ⊥于Q ，1
2PR l ⊥于R ， 22
1211111||||||||||c a c m PF e PQ e PR y y a c m c
===
-=-， 2211()()a m m y a y c c ∴-=-，解得 1am
y c
=，代入椭圆方程22221y x a b +=，得
1bn
x c
=
，利用双曲线与椭圆的对称性知 22
1122
4422abmn m n S x y ab ab c c +==≤⋅=，等号当且仅当22m n c ==时取得，故所求双曲线方程为22
2
2
2
a b y x --=，相应的四个顶点坐标为22(,)b a ±±. 例3 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，过点
2,0a E c ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线与椭圆相交于,A B 两点，且1212//,2F A F B F A F B = （1）求椭圆的离心率； （2）求直线AB 的斜率。

分析：本题是2009年天津卷文科第22题的前两问，参考答案是用常规方法，即设直线AB
的方程与椭圆方程联立，利用B 为AE 之中点求解，方法虽易理解，但计算繁杂，极易出错，而利用椭圆的第二定义，求解过程简洁，极富数学美感。

为对比，先将两种解法列出。

解法一 （1） 由1212//,2F A F B F A F B =，得2211||||1||||2EF F B EF F A ==，从而2
212
a c
c a c c
-=+， 整理得2
2
3a c =，故离心率33
c e a =
=. （2）解：由（1）知，22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可以写为2
2
2
236x y c +=， 设直线AB 的方程为2
()a y k x c
=-即(3)y k x c =-，
由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组2
2
2
(3)236y k x c x y c
=-⎧⎨
+=⎩，
消去y 整理，得2
2
2
22
2
(23)182760k x k cx k c c +-+-=
依题意， 22
3348(13)0,33
c k k ∆=->-
<<， 而2222
12122
2
18276,2323k k c c x x x x k k -+==++，由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以1232x c x +=
联立三式，解得2222
1222
9292,2323k c c k c c x x k k -+==++，将结果代入韦达定理中解得
2
3
k =±
.
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解法二 （2） 设椭圆方程为 2
2
2
236x y c +=，
过E 作l x ⊥轴，知l 为椭圆的右准线， 过,A B 分别作'AA l ⊥于'A ，'BB l ⊥ 于'B ，知'//'AA BB ，
22||||
|'||'|
AF BF e AA BB ==，即22|||'||||'|AF AA BF BB =，在'EAA ∆中，根据相似三角形对应 线段成比例，
|'|||2|'|||
AA AE BB BE ==，221||2||||AF BF AF ∴==， 则点A 在短轴顶点，所以(0,2),A c ± 直线AB 的斜率为2233
AB c k c =±
=±。

利用圆锥曲线的第二定义，我们在极坐标系中可以很方便地得到圆锥曲线的统一方程：
1cos ep
e ρθ
=
-，（其中e 为离心率，p 为焦准距）。

利用这个方程，我们很容易得到下面这
个结论：
过双曲线22
221x y a b
-=的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当弦与x 轴垂直时，取
得最小长度2
2b a
.
以双曲线右焦点F 为极点，对称轴为极轴， 如图所示建立极坐标系，易知双曲线右支的方程 为
2
,(,)1cos ep c b e p e a c
ρθ===-，
设,A B 两点的坐标分别是12(,),(,)ρθρπθ+，
212222221cos 1cos()1cos ep ep ep b ep e e e a ρρθθπθ+=+=≥=--+-，当且仅当2
πθ=时，
等号成立.
利用这个结论，我们可以很轻松地证明1997年全国高中数学联赛一试第8题。

y
O
x
A '
B 'F 1
F 2
E
B
A
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例4证明：过双曲线
2
21
2
y
x-=的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得
||
ABλ
=的直线恰好有3条，则4
λ=.
圆锥曲线第二定义在解题中的妙用不可胜数，本文只是稍加举例，更多的应用还有待我们去探索体会.。