一元一次方程的应用1、列方程解应用题的基本步骤和方法：注意：（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上．（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可．（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题．2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：（1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；（2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．（3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题．模块一：数字问题（1）多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a 、b ，（其中a 、b 均为整数，19a ≤≤，09b ≤≤）则这个两位数可以表示为10a b +．一个三位数的百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，（其中均为整数，且19a ≤≤，09b ≤≤，09c ≤≤）则这个三位数表示为：10010a b c ++．（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k ，奇数可表示为21k +（其中k 表示整数）．（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a ，则这三个相邻的整数可表示为1,,1a a a -+．【例1】 一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少?【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量．设正确答案的十位数字为x ，则个位数字为2x ， 依题意，得(102)(102)36x x x x ⨯+-+=，解之得4x =． 于是28x =．所以正确答案应为48．【答案】48【例2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6，求这个年份．【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x ，则这个四位数字可以表示为21000x ⨯+，根据题意可列方程：()1022210006x x +=⨯+-，解得499x =【答案】2499年【例3】 有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个四位数．【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x ，则这个四位数可以表示为108x +，则调换后的新数可以表示为8000x +，根据题意可列方程1088000117x x +=+-，解得875x =，所以这个四位数为8758【答案】8758【例4】 五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息．你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？【解析】设小明在7:00时看到的两位数的十位数字是x ，则个位数字是7x -，根据题意可列方程：()()()()10071071071007x x x x x x x x +---+=-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得1x =，所以76x -=．【答案】小明在7:00时看到的两位数是16．模块二：日历问题（1）、在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．（2）、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数． （3）、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的．【例5】 下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，（1）若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？ （2）框出的4个数的和可能是26吗？为什么？【解析】（1）设第一个数是x ，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为1x +，6x +，7x +．根据题意可列方程：()()()16774x x x x ++++++=，解得15x =； 所以它分别是：15，16，21，22；（2）设第一个数为x ，则41426x +=，3x =，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数， 得出结论：无法构成平行四边形．【答案】（1）15，16，21，22；（2）无法构成平行四边形．【例6】 如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68，这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49？若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由．【解析】（1）设四个数字是a ，1a +，7a +，8a +，根据题意可列方程：17868a a a a ++++++=，解得13a =．则平移后的四个数是13、14、20、21．（2）设四个数字是x ，1x +，7x +，8x +，则41649x +=，334x =．不合题意，舍去． 【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形．【例7】 把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表．（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x ，则另三个数用含x 的式子表示出来，从小到大依次是________________．（2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x 的值；若不能，则说明理由．【解析】（1）∵记左上角的一个数为x ，∴另三个数用含x 的式子表示为：8x +，16x +，24x +．（2）不能．假设能够框住这样的4个数，则：()()()81624244x x x x ++++++=，解得49x =． ∵49是第七行最后一个数，∴不可以用如图方式框住．【答案】（1）8x +，16x +，24x +；（2）不能．模块三：和差倍分问题和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．（1）当较大量是较小量的几倍多几时，=⨯较大量较小量倍数+多余量； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，=⨯较大量较小量倍数-所少量．【例8】 一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的23；第二天耕了剩下部分的13，还剩下42公顷没耕完，则这片地共有多少公顷？【解析】设这片地共有x 公顷，第一天耕了这片地的23，则耕地23x 公顷，第二天耕了剩下部分的13，则第二天耕地1211339x x ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭（公顷），根据题意可列方程：214239x x x --=，解得189x =．【答案】189．【例9】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解析】设这群羊共有x 只，根据题意可列方程：112110024x x x +++=，解得36x =. 【答案】36【例10】 有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？【解析】设停电时间为x 小时，粗蜡烛长l 米，则细蜡烛长2l 米，那么细蜡烛每小时点燃2l 米，粗蜡烛没小时点燃2l 米，根据题意可列方程：222l l l x l x -⋅=-，解得23x =【答案】停电时间为23小时【例11】 2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的1.5倍、18倍】，且2010年此项资金比2009年增加1.69亿元．（1）2009年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元？（2）2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？ （3）如果按2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？【解析】（1）3.61 1.69 1.91-=（亿元）．（2）设市级投入x 亿元，则县级投入23x 亿元，省级投入118x 亿元，由题意得：212.98 3.6318x x ++=，解得0.36x =．所以20.243x =（亿元），10.0218x =（亿元）．（3） 1.693.61 6.81.91⎛⎫⨯+≈ ⎪⎝⎭（亿元）． 【答案】（1）1.91亿元；（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3）6.8亿元．模块四：行程问题一、 行程问题路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间二、 流水行船问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度－水流速度水流速度=12×（顺流速度－逆流速度） 三、 火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长．【例12】 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长．【解析】设甲、乙相遇时间为t 分钟，则甲、丙相遇时间为()3t +分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程()()383634036t -=⨯+【答案】8892米【例13】 某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时，根据题意可列方程：151530()18()6060x x -=+，解得1x =，此人打算在火车开车前10分钟到达，骑摩托车的速度应为1530(1)602710160⨯-=-（千米/时） 【答案】27【例14】 甲、乙两车同时从A ，B 两地出发，相向而行，在A ，B 两地之间不断往返行驶．甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A ，B 两地相距多少千米？【解析】设A 、B 两地相距x 千米，根据题意可列方程：228828824060x x -+-=，解得420x = 【答案】420千米【例15】 某人骑自行车从A 地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B 地，共用了55分钟．回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B 地到A 地共用112小时，问A 、B 两地相距多少千米？【解析】间接设未知数，设从A 地到B 地共用x 小时，根据题意可列方程：5531293438602t t t t ⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14t =，所以A 、B 两地相距55129960t t ⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（千米）【答案】9千米【例16】 一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样10天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设a 是第一次第一天走的路程，b 是第二天起每天多走的路程，x 是所求的天数．则根据题意可列方程：1523456789a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++++++++++++++++++（）（）（）（）（）（）（）（）（）， 解得9a b =．又()159a x a b =+，解得7.5x =．【答案】7.5天【例17】 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为a ，原来的水速为b ，则2()3(2)a b a b -=-，解得4a b =，故所求时间为2()1(2)a b a b -=+（小时）.【答案】1【例18】 一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏，终于在离桥1500米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？【解析】因为向上游了10分钟，所以返回追赶也要10分钟（流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无关），即水流20分钟的路程为1500米，水流速度为11.5 4.53÷=（千米∕时）．【答案】水流速度为4.5千米/时【例19】 一小船由A 港到B 港顺流需行6小时，由B 港到A 港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A 港出发顺流行至B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈．问： （1）若小船按水流速度由A 港漂流到B 港需多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的？【解析】（1）设小船在静水中的速度为a ，水流速度为b ，则6()8()a b a b +=-，解得7a b =，故小船按水流速度由A 港漂流到B 港所需时间为6()48a b b+=（小时）； （2）设小船行驶x 小时后，救生圈掉入水中，则(61)()1(6)()x b a b x a b -++-⨯=-+，将7a b =代入上式，得到5x =，故救生圈是上午11点掉入水中的【答案】48；5模块五：工程问题工作总量=工作时间×工作效率 各部分工作量之和=1【例20】 有甲、乙、丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3小时注满一池水．现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满．问三管齐开了多少小时？【解析】由题意知，甲管注水效率为15，甲、乙两管的注水效率之和为12，甲、丙两管的注水效率之和为13，设三管齐开了x 小时，根据题意可列方程：()1112215235x x ⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭，解得419x =【答案】419小时【例21】 检修一住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天．前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？【解析】设乙中途离开了x 天，根据题意可列方程()1111772114181812x ⎛⎫⨯+-+⨯+= ⎪⎝⎭，解得3x = 【答案】乙中途离开了3天【例22】 某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． （1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱为什么？【解析】（1）设该中学库存x 套桌凳，根据题意可列方程：201624x x-=，解得960x =． （2）方案①所需费用：()9608010540016⨯+=（元）； 方案②所需费用：()96012010520024⨯+=（元）； 方案③所需费用：()960801201050401624⨯++=+（元）． 综上，方案③最省钱．【答案】（1）960套；（2）方案③最省钱．模块六：商品销售问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：()=1+⨯标价进价利润率利润=售价－进价 =100%⨯利润利润率进价利润=进价×利润率实际售价=标价×打折率【例23】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.【解析】设经销这种商品原来的利润率为x ，原进价为a ，根据题意可列方程：(1)(1 6.4%)(18%)a x a x +=-++，解得17%x =．【答案】17%【例24】 某商品月末的进货价为比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10%，问月初的利润率是多少？【解析】设月初进货价为a 元，月初利润率为x ，则月初的销售价为()1a x +元，月末进货价为()18%a -元，销售价为()()18%110%a x -++⎡⎤⎣⎦元，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：()()()118%110%a x a x +=-++⎡⎤⎣⎦，解得0.15x =．【答案】15%【例25】 某公司生产一种饮料是由A ，B 两种原料液按一定比例配制而成，其中A 原料液的成本价为15元/千克，B 原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A 原料液上涨20%，B 原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？【解析】原料液A 的成本价为15元/千克，原料液B 的成本价为10元/千克，涨价后，原A 价格上涨20%，变为18元；B 上涨10%，变为11元，总成本上涨12%， 设每100千克成品中，二原料比例A 占x 千克，B 占（100-x ）千克，则涨价前每100千克成本为()1510100x x +-，涨价后每100千克成本为()1811100x x +-， 根据题意可列方程：()()()18111001510100112%x x x x +-=+-⨯+⎡⎤⎣⎦，解得1007x =，所以6001007x -=即二者的比例是：:1:6A B =，则涨价前每千克的成本为156075777+=（元），销售价为127.57元，利润为7.5元．原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%为3元，保证利润为7.5元， 则利润率为：()7.512350%÷+=．【答案】50%．模块七：方案决策问题在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案．【例26】 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：=100%⨯投资收益投资收益率实际投资额）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？【解析】（1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买，则获投资收益()120%110%50.7x x x -+⋅⨯=，投资收益率为0.7100%70%x x⨯= 按方案二购买，则获投资收益()()120%0.8510%110%30.62x x x -+⋅⨯-⨯=， 投资收益率为0.62100%72.9%0.85x x⨯≈． 所以投资者选择方案二获得的投资收益率高．（2）由题意得，0.70.625x x -=，解得62.5x =，所以甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元【答案】略【例27】 有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后，还需7分钟到达学校．（1）若绕道而行，要15分钟到达学校。