百度文库- 让每个人平等地提升自我圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率 k tan , [0, ) k y2 y1 x2 x1②点 P(x0 , y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离Ax0 By0 C dB2A2l1 : y k1x b1 夹角为，k2 k1 ③夹角公式：直线则 tanl2 : y k2 x b2 1 k2 k1 （ 3）弦长公式直线 y kx b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离① AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2② AB 1 k2 x x (1 k 2 )[( x x ) 2 4x x ]1 2 1 2 1 2③ AB 1 1y1 y2 k 2（ 4）两条直线的位置关系（Ⅰ） l1 : y k1x b1l2 : y k2 x b2① l1 l2 k1k2=-1 ② l1 // l2k1 k2且 b1 b2l1 : A1 x B1 y C1 0（Ⅱ）l2 : A2 x B2 y C2① l1 l2A1 A2 B1B2 0② l1 / /l 2 A1B2 - A2 B1 =0且AC1 2 - A2C1 0或 A1 B1 C1 者（ A2 B2C2 0 ）两平行线距离公式l 1 : y kx b 1| b 1 b 2 | l 2 : y kx b 2距离 dk 21 l 1 : Ax By C 10 |C 1 C 2 |l 2 : Ax By C 2距离 dB 2A 22、圆锥曲线方程及性质1. 圆锥曲线的两定义 ：第一定义 中要重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点F 1 ，F 2 的距离的和等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要大于 F 1 F 2 ，当常数等于 F 1 F 2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ， 当常数小于 F 1F 2 时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a ＜ |F 1 F 2 | 不可忽视 。

若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射线，若 2a ﹥ |F 1 F 2 | ，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程 ( x 6)2 y 2( x 6)2 y 28 表示的曲线是 _____（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（ 1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时x 2y 2y 轴上时 y 2x 222 1 （ a b 0 ），焦点在 22 ＝ 1ab ab（ a b 0 ）。

方程22表示椭圆的充要条件是什么？（≠ ，且A ，B ，CAxBy CABC 0同号， A ≠B ）。

椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：x 2 y 2 1(m 0, n 0且 m n)mn距离式方程： (x c)2 y 2( x c) 2 y 22a参数方程： xa cos , ybsin若 x, y R ，且 3x 2 2 y 2 6 ，则 x y 的最大值是 ____，x 2 y 2 的最小值是 ___（答： 5,2 ）（ ）双曲线：焦点在 x 轴上： x2y 2y 2 x 2 ＝1（ a 0, b 0 ）。

2a 2b 2 =1 ，焦点在 y 轴上： 2 b 2方程 Ax 2 By 2aC 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC ≠0，且 A ， B 异号）。

如设中心在坐标原点 O ，焦点 1、F 2 在坐标轴上，离心率 e 2 的双曲线 C 过点FP(4, 10) ，则 C 的方程为 _______（答： x 2 y 2 6）（3）抛物线 ：开口向右时 y 2 2 px( p 0) ，开口向左时 y 22 px( p 0) ，开口向上时 x 22py ( p 0) ，开口向下时 x 22 py( p 0) 。

3. 圆锥曲线焦点位置的判断 （首先化成标准方程，然后再判断） ：（1）椭圆：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程x 2 y 2 m 12 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 __（答：m3(, 1) (1, )）22（2）双曲线：由 x , y 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；提醒：在椭圆中， a 最大， a 2b 2c 2 ，在双曲线中， c 最大， c 2a 2b 2 。

4. 圆锥曲线的几何性质 ：（1）椭圆（以x 2 y 21 （ a b 0 ）为例）：①范围： a xa, b yb ；②a 2b 2焦点：两个焦点 ( c,0) ；③对称性：两条对称轴 x0, y0 ，一个对称中心（ 0,0 ），四个顶点 ( a,0),(0,b) ，其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2b ；④准线：两条准线 xa 2 ； ⑤c，椭圆c离心率： e0 e 1 ， e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。

a25 ）；如（ 1）若椭圆x 2y 2 1的离心率e 10，则 m 的值是 （答： 3 或5 m5 __ 3（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为 __（答： 2 2 ）（ 2）双曲线（以x 2y 2 1（ a 0, b 0 ）为例）：①范围： xa 或 xa, y R ；②焦b 2a 2点：两个焦点 ( c,0) ；③对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（ 0,0 ）， 两个顶点 ( a,0) ，其中实轴长为 2a ，虚轴长为 2 b ，特别地，当实轴和虚轴的长相 等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 x 2y 2 k , k 0 ；④准线：两条准线 xa 2 ；c⑤离心率： ec，双曲线e 1，等轴双曲线e2 ， e 越小，开口越小， eabx 。

双曲线的方程的形式有两种越大，开口越大；⑥两条渐近线：ya标准方程：x 2y 2 1(m n0)mn距离式方程： | ( x c) 2y 2 ( x c)2 y 2 | 2a（ 3）抛物线（以 y22 px ( p 0) 为例）：①范围： x0, y R ；②焦点：一个焦点 ( p,0) ，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴2 y 0 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线 xp； ⑤离心率： ec，抛物线e 1 。

2a1)）；如设 a 0,a R ，则抛物线 y4ax 2 的焦点坐标为 ________（答： (0,16a5 、点x 02 a 2 x 02a 2 P( x 0 , y 0 ) 和椭 圆 x 2y 2 1 （ a b 0 ）的关系 ：（ 1 ）点 P( x 0 , y 0 ) 在椭圆外 y 02a 2b 2 x 02 y 021；（ 2）点 P( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 ＝ 1；（ 3）点 P( x 0 , y 0 ) 在椭圆内 b 2 a 2 b 2y 02 b 2 16.记住焦半径公式：（ 1） 椭圆焦点在 x 轴上时为 a ex 0 ;焦点在 y 轴上时为 a ey 0 ，可简记为“左加右减，上加下减”。

（2） 双曲线焦点在 x 轴上时为 e | x 0 | a（3） 抛物线焦点在 x 轴上时为 | x 1 |p p , 焦点在 y 轴上时为 | y 1 |227.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设 A x 1 , y 1 、 B x 2 , y 2 ， M a, b 为椭圆 x2y 2 1的弦 AB 中点则有43x 1 2 y 1 21，x22y 2 2 1；两式相减得 x 1 2 x 2 2y 1 2 y 2 24 34 343x 1 x 2 x 1x 2y 1 y 2 y 1 y 2k AB =3a434b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，将这两点代入曲线方程得到 ○1○2两个式子，然后 ○1 -○2 ，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A 、B 、 F 共线解决之。

若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线为y kx b ，就意味着 k 存在。

例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4x 2 5 y 2 80 上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点（点 A 在 y 轴正半轴上） .（ 1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程 ;（2）若角 A 为 900 ，AD 垂直 BC 于 D ，试求点 D 的轨迹方程 .分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。

第二问抓住角A为900 可得出AB ⊥AC ，从而得x 1 x 2 y 1 y 2 14( y 1 y 2 )16 0 ，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解：（1）设 B （x 1 , y 1 ） ,C( x 2 , y 2 ),BC 中点为则有 x 12y 12x 22 y 22( x 0 , y 0 ),F(2,0) 20 16 1, 12016两式作差有 (x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )( y 1y 2 )x 0 y 0 k0 (1)201654F(2,0)为三角形重心，所以由 x 1x 2 2 ，得 x 0 3 ，由y 1y 2 4 0 得 y 02 ，代入33（ 1）得 k65直线 BC 的方程为 6x 5y 28 02)由 AB ⊥AC 得x 1x 2 y 1 y 2 14(y 1 y 2 ) 16 0 （ ）2设直线 BC 方程为 ykxb,代入 4x 2 5 y 2 80 ，得 (4 5k 2 ) x 2 10bkx 5b 280 0x 1 x 210kb， x 1 x 25b 2805k 24 5k 24y 1 y 28k, y 1 y 24b 2 80 k 2代入（ 2）式得5k 2 4 5k 249b 232b 160 ，解得 b4(舍 ) 或 b44295k4y4y 4直线过定点（ 0，99y 2 9x 2 32 y 16 0) ，设 D （x,y ），则x1 ，即9x所以所求点 D 的轨迹方程是 x2( y 16 ) 2(20) 2 ( y 4) 。