因式分解多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。

222222)b a (b ab 2a )b a (b ab 2a -=+-+=++)b a )(b a (b a 22-+=-它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

（二）典型例题例1. 把下列多项式分解因式： ab 9a 3)2(a 25a 5)1(22-+- 2222y 4xy 4x )4(y16x 25)3(++-解：)5a (a 5a 25a 5)1(2--=+- （2）)b 3a (a 3ab 9a 32-=-)y 4x 5)(y 4x 5()y 4()x 5(y 16x 25)3(2222-+=-=- 22222)y 2x ()y 2(y 2x 2x y 4xy 4x )4(+=+⋅⋅+=++例2. 把下列多项式分解因式： 233223xy 12x 3)2(xy y x 4y x 4)1(-++分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。

解：)y xy 4x 4(xy xy y x 4y x 4)1(223223++=++222)y x 2(xy ]y y x 22)x 2[(xy +=+⋅⋅+=)y 4x (x 3xy 12x 3)2(2223-=-)y 2x )(y 2x (x 3])y 2(x [x 322-+=-=例3. 对下列多项式进行因式分解： 1m 94)2()x y (b 2)y x (a 4)1(232----222y )x y (x 4)4(xy8y 16x )3(--++分析：（1）题中(y-x)3=[-(x-y)]3=-(x-y)3，所以这两项中都有2(x-y)2，可先提取公因式。

（2）题观察“1”，1=12，故可用平方差公式分解。

（3）题利用加法交换律得x 2+8xy+16y 2，符合完全平方公式。

（4）题将多项式展开为4xy-4x 2-y 2=-4x 2+4xy-y 2=-（4x 2-4xy+y 2）符合完全平方公式，可用公式分解。

解：3232)y x (b 2)y x (a 4)x y (b 2)y x (a 4)1(-+-=---)by bx a 2()y x (2)]y x (b a 2[)y x (222-+-=-+-=)1m 32)(1m 32(1)m 32(1m 94)2(222-+=-=- 22222)y 4x (y 16xy 8x xy 8y 16x )3(+=++=++222222)y x 2()y xy 4x 4(y x 4xy 4y )x y (x 4)4(--=+--=--=--说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理；（2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”；（3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。

（4）在分解因式时，首先看是否有公因式。

例4. 将下列多项式进行因式分解：2222222326)b a (b a 4)3(ab 2b a 2a 21)2(xx 16)1(+-++-分析：（1）题可先提公因式，再用公式分解。

（2）题也可先提公因式a 21后再用完全平方公式。

（3）题先用平方差公式后用完全平方公式。

解：]1)x 4[(x )1x 16(x x x 16)1(22224226-=-=-)1x 4)(1x 2)(1x 2(x )1x 4)(1x 4(x 22222+-+=+-=222223)b 2a (a 21)b 4ab 4a (a 21ab 2b a 2a 21)2(+=++=++)b a ab 2)(b a ab 2()b a ()ab 2()b a (b a 4)3(2222222222222--++=+-=+-22222)b a ()b a ()]b ab 2a ([)b a (-+-=+--+=说明：（1）分解因式的步骤：一提（提取公因式），二套（套用公式），三继续（直至各因式都不能再分为止）。

（2）多项式系数为分数或小数时也可考虑提取一个适当系数使其变为整数使计算方便。

例5. 将下列多项式进行因式分解： 23)x y (10)y x (5)1(-+- 32)a b (12)b a (b 18)2(--- 9)b a (6)b a )(3(2++-+分析：（1）中x-y 与y-x 互为相反数，利用添括号法则可使其变为相同因式，于是可以有公因式5(x-y)2。

（2）考虑(a-b)2=(b-a)2，故两项中有公因式6(b-a)2。

（3）中将(a+b)看作x ，则原式变为x 2-6x+9。

解：)2y x ()y x (5]2)y x [()y x (5)x y (10)y x (5)1(2223+--=+--=-+- 3232)b a (12)b a (b 18)a b (12)b a (b 18)2(---=---)a 2b 5()b a (6)]b a (2b 3[)b a (622-⋅-=--⋅-=22233)b a (2)b a (9)b a (6)b a )(3(+⨯+-+=++-+22)3b a (]3)b a [(-+=-+=说明：在分解因式时，某些多项式可作为一个整体看作单独的一项，从而化繁为简，易于分解。

例6. 把下列各多项式分解因式： 22)ad bc ()bd ac )(1(-++ )x 8y 5(y )x 2y )(y x 2)(2(---+ )1x y (4)y x )(3(2++++分析：（1）题不符合公式，因而首先应该将两个括号打开。

（2）题也不符合公式，也无公因式可提，因而将括号打开。

（3）题初看不符合公式，但是调整后可用公式法分解因式。

解：2222222222d a abcd 2c b d b abcd 2c a )ad bc ()bd ac )(1(+-+++=-++)d c )(b a ()d c (b )d c (a )c b d b ()d a c a (d a c b d b c a 22222222222222222222222222++=+++=+++=+++=xy 8y 5x 4xy 2y xy 2)x 8y 5(y )x 2y )(y x 2)(2(222+---+=---+22222)y x (4]y xy 2x [4xy8x 4y 4--=+--=+--=4)y x (4)y x ()1x y (4)y x )(3(22++++=++++ 2)2y x (++=说明：有的题目可能无法直接分解，需要对原多项式进行变形，变形后才可用公式或提公因式的方法分解。

例7. 已知：a+b+c=11，求2a 2+2b 2+2c 2+4ab+4bc+4ac 的值。

解：bc 2ac 2ab 2c b a )c b a (2222+++++=++ 2222)c b a (2bc 4ac 4ab 4c 2b 2a 2++=+++++故 11c b a =++又 2421122=⨯=故原式例8. 已知m+n=9，mn=14，求m 2-mn+n 2的值。

解：m n 3n m n 2m n m n m 2222-++=+-391439mn3)n m (22=⨯-=-+=例9. 已知a 2+b 2+2a-4b+5=0，求a 、b 。

解：4b 4b 1a 2a 5b 4a 2b a 2222+-+++=+-++ 22)2b ()1a (-++= 0)2b ()1a (22=-++故可知 是非负数和又22)2b ()1a (-+ ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=+2b 1a 02b 01a 得得 例10. 求满足方程4x 2-9y 2=31的正整数解。

解：31y 9x 422=-因为 31)y 3()x 2(22=- 31)y 3x 2)(y 3x 2(=-+这里x 、y 为正整数，而31为质数，故仅有 ⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧=-=+31y 3x 21y 3x 2)2(1y 3x 231y 3x 2)1(或⎩⎨⎧-=--=+⎩⎨⎧-=--=+31y 3x 21y 3x 2)4(1y 3x 231y 3x 2)3(或⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==5y 8x )4(5y 8x )3(5y 8x )2(5y 8x )1(；；；分别解之可得： ⎩⎨⎧==5y 8x y x 均为正整数，故只得、又例11. 若a 、b 、c 为△ABC 的三边长，判断代数式(a 2+b 2-c 2)2-4a 2b 2的值是正数，还是负数。

解：22222222222)ab 2()c b a (b a 4)c b a (--+=--+]c )b a ][(c )b a [()ab 2c b a )(ab 2c b a (2222222222---+=--++-+=因为a 、b 、c 为三角形三边长，故可知)2(c |b a |)1(c b a <->+0c )b a (c )b a (:)1(2222>-+>+可知由 0c )b a (c )b a (:)2(2222<--<-可知由0]c )b a ][(c )b a [(2222<---+故 222222b a 4)c b a (--+代数式是负数［本课小结］1. 本课主要学习因式分解的两种方法及其综合使用两种方法分解因式，在进行分解时一定按照因式分解的三个步骤来进行。

2. 运用因式分解可解一些相关的简单文字应用题，在做题时，首先考虑将其中可分解的多项式分解因式，然后根据各因式特点进行解题。

【模拟试题】1. 将下列各多项式分解因式： （1）2mn 3mn 12m 6-- （2）22y xy 6x 9+- （3）by 6ay 3bx 4ax 2-+- （4）22ay 18axy 12ax 2+-（5）xy 2y x 4y x 62332-- （6）)x 1(c )1x (b 2)x 1(a 3-+---- （7）n n 21n 2x 5x 25x30+-+（8）2)b a 3(36--（9）222)y x (9)y 31(x --- （10）22)c b a (16)c b a (81-+-+-（11）22c 9c )a b (12)b a (4+--- （12）22222y x 4)y x (-+2. 若多项式k x 6x 2++可以分解为)4x ()2x (+⋅+之积，试求k 值。

3. 已知2)y x ()1x (x 2-=---，求xy 2y x 22-+的值。