1 y
①2
②
解：编号建立坐标如图所示。
6m
8m
6m
（0,0,0）
3
单元①：
25.0
0.0
① 0.0 k 25.0
0.0 0.0
0.0 0.69 2.08 0.0 0.69 2.08
0.0 2.08 8.33 0.0 2.08 4.17
25.0 0.0 0.0 25.0 0.0 0.0
2.杆端力的坐标变换（将整体量转换为局部量）
（1）杆件始端（1端）
X
Fx1 FX1 cos FY1 sin
α
Fy1 FX1 sin FY1 cos
M1 M1
局部坐标系
Y 中的杆端力
（2）杆件末端（2端） FX1
Fx2 FX 2 cos FY 2 sin Fy2 FX 2 sin FY 2 cos
0
1
2
k ②
10
4×
30 12
0 0
100 30 30 12
0 0
50
30
3 0
0 300 0 0 300 0 2 0
30 0
50 30
0
100
0
)
[例2] 求整体坐标下的 单元刚度矩阵,
（0,0,0） （1,2,3） x
A=0.5m2,I=1/24 m4, E=3×107Mpa。
12 30
0
12
30
①
k
0 300
30 0
100 0
0 300
30 0
50
0
②
k
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
3）求各单元整体坐标下的刚度矩阵
单元①：局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换，
即： k① k ①
单元②： =900 坐标转换矩阵为：
4.单元刚度矩阵的坐标变换（局部
整体）
即
e
k
ke
局部坐标下的单元刚度方程： {F}e [k ]e{}e … …①
整体坐标下的单元刚度方程： {F}e [k]e{}e
杆端力、杆端位移的坐标变换式： {F}e [T ]{F}e … …② {}e [T ]{}e … …③
将②、③式代入①式，有： [T ]{F}e [k ]e[T ]{}e
Sin Cos
0
FY
2
0
0 1 M 2
简记为： {F}e [T ]{F}e 反向转换 {F}e [T ]T {F}e
其中： [T —] — 单元坐标转换矩阵 可以证明：[T ]1 [T ]T —— 正交矩阵
3.杆端位移的坐标变换
同理： {}e [T ]{}e 反向转换 {}e [T ]T {}e
15.0 0.0 0.0 15.0 0.0 0.0
0.0 0.15 0.75
0.0 0.15 0.75
0.0
0.75
2.5
0.0
0.75
5.0
Cos 0.8 Sin 0.6
0.8 0.6 0
0.6 0.8 0
0
转换矩阵为：
T
0
01
0.8 0.6 0
0
0.6 0.8 0
0 0 1
§9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系) —— 坐标变换
1.两套坐标系 α
（1）局部坐标系
X
xo y
—— 用于单元分析
局部坐标系 中的杆端力
Y
（2）整体坐标系 XOY
—— 用于整体分析
FX1

M1
α角——从X转向x ，顺时为正。 X
α
M2
FY1
整体坐标系
FX2
Y 中的杆端力
FY2
坐标变换： 将整体量转化（投影） 为局部量，或者相反。
31 2
32
1
x
0 1 0
1 0 0
0
T
0
01
0
1 0
0
1 0 0
0 0 1
②
②
5 6
4
(局部坐标)
4 6
5
y
(整体坐标)
整体坐标下的单元刚度矩阵：
k② T T k ② T
结点位移码
(
(1 2 3 0 0 0)
结点码
1
2
12 0 30 12 0 30 1
0
300
0
0
300
M2 M2
M1
α M2
FY1
整体坐标系
Y 中的杆端力
X
FX2 FY2
统一写成矩阵形式：
Fx1 Fy1
e
Cos Sin 0 Sin Cos 0
M1
Fx
2
0 0
0 0
1 0
Fy
2
M 2
0 0
0 0
0 0
0
0
0 FX 1 e
0
0
0
FY
1
0
0
Cos Sin
0 0
M FX
1 2
5. 单刚坐标变换步骤 （1）编号、建立坐标系:
含支座结点
对每个单元、结点、结点位移进行编号；
对每个单元分别确定局部坐标方向；
对结构建立一套整体坐标。
（2）对每个单元写出局部坐标下的单元刚度矩阵。
（3）对每个单元写出坐标转换矩阵。
（4）对每个单元求出整体坐标下的单元刚度矩阵。 [k]e [T ]T [k ]e[T ]
0.0 0.69 2.08
0.0 0.69 2.08
0.0
2.08
4.17
0.0
2.08
8.33
①
①
k k
单元②： 15.0
0.0
② 0.0
k 15.0
0.0 0.0
=36.870
0.0 0.15 0.75 0.0 0.15 0.75
0.0 0.75 5.0 0.0 0.75 2.5
第9章 矩阵位移法
§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系） §9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） §9-4 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） §9-5 刚架的整体刚度矩阵 §9-6 结构整体结点荷载 §9-7 计算步骤和算例
▲ 竖向杆件坐标变换的简化技巧 §9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §9-9 桁架及组合结构的整体分析
[例1] 求图示结构整体坐标系下的各单元刚度矩阵，杆长5m,
A=0.5m2, I=1/24m4, E=3×104Mpa。 解：
1 (1,2,3) ①
3 x
1）编号、建立坐标如图所示。 ②
(0,0,4)
2）写出各单元的刚度矩阵
（局部坐标系）
2 y (0,0,0)
300 0 0 300 0 0
0
k ② T T k ② T
9.65
7.13
k
②
0.45 9.65
7.13 0.45
1 3
7.13 5.50 0.6 .137 5.50 0.6
0.45 0.6 5.0 0.45 0.6 2.5
9.65 7.13 0.45 9.65 7.13 0.45
上式两边前乘 [T ，]T 得： [T ]T [T ]{F}e [T ]T [k ]e[T ]{}e
[T ]1 [T ]T
[T ]－1[T ]{F}e [T ]T [k ]e[T ]{}e
即
{F}e [T ]T [k ]e[T ]{}e
与 {F}e [k比]e{较}e
则有： [k ]e [T ]T [k ]e[T ] —— 单元刚度矩阵变换式