第五讲抽屉原理二
本讲知识点汇总：
一、最不利原则：为了保．证．能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能
达到目标．
二、抽屉原理：
形式1：把n 1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；
形式2：把m n 1个苹果放到n 个抽屉中，一定有m 1个苹果放在一个抽屉里．
例1．中国奥运代表团的173 名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水 6 种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法，“苹果”是1 73名运动员．
练习1、中国奥运代表团的83 名运动员到超市买饮料．超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？
例2．国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有4 个人参加的活动完全相同？「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法．
练习2、高思运动会共有4 个项目，每个学生至多参加3项，至少参加1 项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有5 个人参加的活动完全相同？
例3．从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？
「分析」思考一下：哪两个数的和是50？
练习3、从1到35这35 个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34？
例4．从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是 6 的倍数呢？「分析」两个数的和是7 的倍数，这两个数除以7 的余数要符合什么条件哪？
练习4、从1至99这99 个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是
5 的倍数，至少要取多少个？
例5．至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个整数的和或差是100 的倍数？
「分析」从余数角度思考一下：什么样的两个数的和或差是100？
例6．在边长为2 的正六边形中，放入50 个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于
「分析」通过把正六边形均分，来构造“抽屉”
1．
四大发明之印刷术
印刷术是中国古代的四大发明之一，是中国古代汉族劳动人民经过长期实践和研究才发明的．活字印刷的方法是先制成单字的阳文反文字模，然后按照稿件把单字排列在字盘内涂墨印刷．自从汉朝发明纸以后，书写材料比起过去用的甲骨、简牍、金石和缣帛要轻便、经济多了，但是抄写书籍还是非常费工的，远远不能适应社会的需要．至迟到东汉末年的熹平年间（公元
172~178 年），出现了摹印和拓印石碑的方法．大约在公元600 年前后
的隋朝，人们从刻印章中得到启发，在人类历史上最早发明了雕版印刷术．
雕版印刷是在一定厚度的平滑的木板上，粘贴上抄写工整的书稿，薄而近乎透明的稿纸正面和木板相贴，字就成了反体，笔划清晰可辨．雕刻工人用刻刀把版面没有字迹的部分削去，就成了字体凸出的阳文，和字体凹入的碑石阴文截然不同．印刷的时候，在凸起的字体上涂上墨汁，然后把纸覆在它的上面，轻轻拂拭纸背，字迹就留在纸上了．到了宋朝，雕版印刷事业发展到全盛时期．雕版印刷对文化的传播起了重大作用，但是也存在明显缺点：第一，刻版费时费工费料；第二，大批书版存放不便；第三，有错字不容易更正．
北宋平民发明家毕昇总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试验，在宋仁宗庆历年间（公元1041~1048）制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命．毕昇的方法是这样的：用胶泥做成一个个规格一致的毛坯，在一端刻上反体单字，字划突起的高度象铜钱边缘的厚度一样，用火烧硬，成为单个的胶泥活字．为了适应排版的需要，一般常用字都备有几个甚至几十个，以备同一版内重复的时候使用．遇到不常用的冷僻字，如果事前没有准备，可以随制随用．为便于拣字，把胶泥活字按韵分类放在木格子里，贴上纸条标明．排字的时候，用一块带框的铁板作底托，上面敷一层用松脂、蜡和纸灰混合制成的药剂，然后把需要的胶泥活字拣出来一个个排进框内．排满一框就成为一版，再用火烘烤，等药剂稍微熔化，用一块平板把字面压平，药剂冷却凝固后，就成为版型．印刷的时候，只要在版型上刷上墨，覆上纸，加一定的压力就行了．为了可以连续印刷，就用两块铁板，一版加刷，另一版排字，两版交替使用．印完以后，用火把药剂烤化，用手轻轻一抖，活字就可以从铁板上脱落下来，再按韵放回原来木格里，以备下次再用．毕昇还试验过木活字印刷，由于木料纹理疏密不匀，刻制困难，木活字沾水后变形，以及和药剂粘在一起不容易分开等原因，所以毕昇没有采用．毕昇的胶泥活字版印书方法，如果只印二三本，不算省事，如果印成百上千份，工作效率就极其可观了，不仅能够节约大量的人力物力，而且可以大大提高印刷的速度和质量，比雕版印刷要优越得多．现代的凸版铅印，虽然在设备和技术条件上是宋朝毕昇的活字印刷术所无法比拟的，但是基本原理和方法是完全相同的．活字印刷术的发明，为人类文化做出了重大贡献．这中间，中国的平民发明家毕昇的功绩是不可磨灭的．可是关于毕昇的生平事迹，我们却一无所知，幸亏毕昇创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里．但是除开西夏文字的几本推测为活字印刷的佛经外，中原地区无发现活字印刷的中文印刷品！
作业
1. (1) 一个班有37个人，那么至少有多少人是同一星座的？
(2) 一副扑克牌，共54张，那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花
色相同？
2. 动物王国举行运动会，共有101位运动员，有短跑、跳高、跳远、10米跳台、3米跳板
五个项目，每位运动员最多选三个项目，最少选一个项目. 那么至少有多少位运动员所
选的项目都相同？
3. 1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6?
4. 1至40这40个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不是4的
倍数？
5. 在半径为1的圆内，画13个点，其中任意3点不共线•请证明：一定存在3个点，以
6
它们为顶点的三角形面积小于
6
第五讲抽屉原理二
例7．答案：12．
解答：共有C6215种不同的选择方式，而173 15 11L 8 ，所以至少有12 个人买的饮料完全相同．例8．答案：46．
解答：共有C52C5115 种参加方法，所以至少15 3 1 46 人．
例9．答案：27．
解答：可构造出26个组数：(1 , 49)、( 2, 48)、…、(24, 26)、(25)、( 50).所以至少要取27个数才能保证取到一组和为50 的数．
例10．答案：46, 37．
解答：由题意可知,如果取出的数没有两个数的和是7的倍数,则：除以7余 1 的数与除以7余6的数不能共存,除以7 余 2 的数与除以7 余5 的数不能共存,除以7 余 3 的数与除以7 余 4 的数不能共存．而除以7余0的数只能取1个,且100 14 7L 2,所以最不利的情况是取尽余1、余2、余3和
一个余0的数, 共45 个数, 所以至少选出46个数才可满足要求．同理至少选出37个数才能保证是 6 的倍数．(注意此时除以 6 余 3 和余0 的数都只能选 1 个)
例11 ．答案：52．
解答：可构造出51 个组数：(1 , 8)、( 2 , 9)-( 7, 14 )； (15, 22 )、(16, 23 )•••( 21, 28)；……
(85, 92)、(86 , 93)-( 91, 98)； (99)、(100).每组数中的两数的差为7 •只取出每个数组中较小的数显然不能满足要求,所以至少要取出52 个数,这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数．
例12．解答：先将正六边形分割成 6 个边长为 2 的正三角形,再将每个三角形等分成 4 个边长为 1 的正三角形,这样就把正六边形分割成24 个边长为 1 的正三角形,则由抽屉原理知,必有 3 点在一个等边三角形中,以它们为顶点的三角形面积显然不大于1．(边长是 1 的等边三角形面积小于1)
练习1、答案：14．
简答：共有C426种不同的选择方式，而83 6 13 5 ，所以至少有14 个人买的饮料完全相同．
练习2、答案：57．
简答：共有C43C42C4114 种参加方法，所以至少14 4 1 57 人．
练习3、答案：20．
简答：可构造出19个组数：(1, 33)、( 2, 32)、…、(16,18)、(17)、(34)、( 35).所以至少要取
20个数才能保证取到一组和为34的数．
练习4、答案：42．
简答：1~99这99 个数中除以5余 1 的有20个,余 2 的有20个,余3的有20个,余4的有20个, 余0 的有19 个,选出余 1 和余 2 的数,再选一个余0 的数,再任选一个数一定符合题意,
20 20 1 1 42 个．
作业
6. 答案：（1）4个；（2）23 张.
简答：（1）抽屉原理；（2）最不利原则.
7. 答案：5位.
简答：首先运动员的项目有C5 Cf c3 25种可能，根据抽屉原理，至少有5位运动员的项目相同.
8. 答案：36个.
简答：每12个数中最多取出6个.
9. 答案：12个.
简答：将1~40按照除以4的余数分为四组：
A 组：｛1 , 5,…，37｝；
B 组：｛2 , 6,…，38｝；
C组：｛3，7,…，39｝；
D 组：｛4 , 8，…，40｝.
首先，B、D组最多取一个•取了A组就不能取C组.
所以最多能取12个.
10. 证明：将半径为1的圆六等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是
在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即-
6 根据抽屉原理，至少有三个点
6。