学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1. 探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形.2•能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系.【基础知识概述】1. 正方形定义：(1) 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(2) 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.(3) 既是矩形又是菱形的四边形是正方形.2. 正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征.(1) 边一一四边相等、邻边垂直、对边平行.(2) 角——四角都是直角.(3) 对角线一一①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角.(4) 是轴对称图形，有4条对称轴.3. 正方形的识别方法：(1) 一组邻边相等的矩形是正方形.(2) —个角是直角的菱形是正方形.4. 正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图图12-2-135. 正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半.【例题精讲】例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P,作PE丄BC于E,作PF丄CD于F.试说明AP = EF.12-2-13 .分析：由PE 丄BC , PF 丄CD 知，四边形PECF 为矩形，故有 EF = PC ,这时只需证 AP =CP ,由正方形对角线互相垂直平分知AP = CP .解：连结AC 、PC ,•••四边形ABCD 为正方形， ••• BD 垂直平分AC , ••• AP = CP .•/ PE 丄 BC , PF 丄 CD ，/ BCD = 90°, •四边形PECF 为矩形，• PC = EF , • AP = EF .注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等.②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中. 思考：由上述条件是否可以得到 AP 丄EF .提示：可以，延长 AP 交EF 于N ，由PE // AB ，有/ NPE =Z BAN . 又/ BAN =Z BCP ，而/ BCP = Z PFE ，故/ NPE =Z PFE ,而/ PFE +Z PEF = 90°,所以/ NPE +Z PEF = 90°,贝U AP 丄 EF .例 2 如图 12-2-15 ,△ ABC 中，Z ABC = 90°, BD 平分Z ABC , DE 丄 BC , DF 丄 AB , 试说明四边形 BEDF 是正方形.解：T Z ABC = 90°, DE 丄 BC ,• DE // AB ，同理，DF // BC , • BEDF 是平行四边形.•/ BD 平分Z ABC , DE 丄 BC , DF 丄 AB ,• DE = DF .又•••/ ABC = 90°, BEDF 是平行四边形， •四边形BEDF 是正方形. 思考：还有没有其他方法？提示：（有一种方法可以证四边形 DFBE 为矩形，然后证 BE = DE ，可得.另一种方法, 可证四边形DFBE 为菱形，后证一个角为 90°可得）注意：灵活选择正方形的识别方法.甘 E.V■ 12-2U4例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ ADE是等边三角形，求/ BEC 的大小.(D (2)图12-2-16分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算.在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系.在（1）图中,△ ABE和厶DCE都是等腰三角形，顶角都是150°,可得底角/ AEB与/ DEC都是15°,则/ BEC为30°.而在（2）图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和厶DCE是等腰三角形，顶角是30°,可得底角/ AEB和/ DEC为75。

，再利用周角可求得/ BEC = 150°.解：⑴当等边△ ADE在正方形ABCD外部时，AB = AE , / BAE = 90° + 60°= 150° , 所以/ AEB = 15° .同理可得/ DEC = 15°,则/ BEC = 60°—15 ° - 15°= 30°.（2）当等边△ ADE 在正方形ABCD 内部时，AB = AE，/ BAE = 90°—60°= 30°,所以/ AEB = 75° .同理可得/ DEC = 75°，则/ BEC = 360° —75°—75°—60°= 150° .【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形.【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现.正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现.【常见错误分析】已知如图12-2-18 , △ ABC中，/ C= 90°,分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH 和正方形BCED , HM丄BA的延长线于M , DK丄AB的延长线于K .试说明AB = DK + HM .F H图12-2-18错解：延长DK到S,使KS = HM，连结SB .•••/ 2=Z 3,Z 2+Z 4= 90°,•••/ 3+Z 4= 90°.在厶ABC和厶SDB中，•••/ ACB =Z SBD = 90°,BC = BD ,/ 2= 90°—/ 4=/ 5•△ ABC与厶SDB重合，AB = SD = SK + DK , 即AB = HM + DK .分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以/ 2 = / 3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误.正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S,下面证KS = MH .在厶ACB和厶SBD中，•/ BD = BC，/ SBD = / ACB = 90°,又/ 2=/ 3=/ 5,•△ ACB与厶SBD重合，•AB = DS , BS = AC = AH .在厶BKS和厶AMH中，•••/ 1=/ 2=/ 3,/ AMH =/ SKB = 90°, BS = AH ,•△ BKS与厶AMH重合，•KS = HM ,•AB = DK + HM .【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆•故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分.【同步达纲练习】一、填空题1•正方形既是 ________ 相等的矩形，又是有一个角是__________ 的菱形.2. 正方形ABCD中，对角线AC = 24 , P是AB边上一点，则点P到对角线AC、BD的距离和为_________ .3. 已知•’川对角线AC、BD相交于O,⑴若AB = BC,则口AECD是_________ ；(2) 若AC = BD，则•’貂 | 是_______ ;(3) 若/ BCD = 90°,「：是_________ ;⑷若OA = OB，则二二二是___________ ;⑸若AB = BC ,且AC = BD，则口肛CD是__________ .4. ____________________________________________________________________ 在边长为2的正方形中有一点P,那么这个点P到四边的距离之和是__________________________ .2 25. 如图12-2-19，正方形ABCD的面积等于9cm，正方形DEFG的面积等于4cm ,则阴影部分的面积S= _________ cm2.A B图12-2-196. 如图12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：□ m azo料一=1 rt n=3图12-£-10⑴第4个图形中火柴棒的根数是 __________ ；(2)第n个图形中火柴棒的根数是__________ .7. _____________________________________________ 已知E、F为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若/ EAF = 50 °，则/ CME +Z CNF = _________________________________________________ .二、解答题&如图12-2-21所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E,使CE= AC,连结AE，交CD于F,求/ AFC的度数.圈12-2-219 .如图12-2-22，已知正方形AE = AC，试说明CE= CF.10.如图12-2-23，正方形ABCD中，AC与BD相交于O, E、F分别是DB、BD延长线上的点，且BE = DF，试说明/ E =Z F .11.如图边EF过点A，已知DG= 5,求FC的值.参考答案【同步达纲练习】1•邻边，直角DEFG 的12-2-24所示，点G是边长为4的正方形ABCD边上的一点，矩形D2. 123. （1）菱形（2）矩形⑶矩形⑷矩形（5）正方形6. (1)13 (2)3n + 17. 100°&在正方形ABCD中，/ ACB = 45° (正方形的每条对角线平分一组对角).已知AC =CE ,所以/ CAE =Z E,所以/ CAE + Z E = 45°,所以/ E= 22. 5°.因为/ DCE = 90°, / AFC =Z DCE + Z E= 90 ° + 22. 5°= 112. 5°.9. 过点E作EG丄AC于G,连结BD ,•/ EG 丄AC , BD 丄AC ,••• EG // BD .又AC // BE ,•四边形EGOB是矩形，•EG= BO .•/ BD = AC ,1 1•EG —AC -AE ,2 2•/ EAG = 30°.•••△ACE是等腰三角形，1•AEC (180 30 ) 75 .2•/ AC是正方形ABCD的对角线，•/ ACB = 45°.•••/ CFE=Z EAC +Z FCA = 30°+ 45°= 75°,即/ CFE=Z CEF,•CF= CE.10. 提示：易知OF= OE,且AC丄BD于O,•AC为EF的中垂线，•EC= CF,•/ E=Z F.11. 连结AG ,过点A作AH丄GD，过点G作GP丄AD，垂足分别为H、P,易知AH1 1=FG , PG = AB，所以依题意有S AGD DG AH AD PG ,即2 21 1—5 AH — 4 4，所以AH = 3. 2，即FG = 3. 2.2 2。