第五章 大数定理和中心极限定理1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-≤⨯-=≤∑∑∑===8.040016001001616001920100161600)1920(1616161i i i i i i X P X P X P.7881.0)8.0(=Φ=从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161=-=≤-=>∑∑==i ii iXP XP3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－，）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于 解：（1）设取整误差为X i （ ,2,1=i ，1500），它们都在（－, ）上服从均匀分布。

于是： 025.05.0)(=+-==p X E i 12112)]5.0(5.0[)(2=--=i X D 18.111251211500)(,0)(==⨯==i i X nD X nE ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∑∑∑===1515115115150011500115000i i i i i i X P X P X P ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=∑=18.111518.1118.1115115001i i X P1802.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]34.1()34.1([1=-⨯=Φ-=-Φ-Φ-=8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少解：设X 为100人中治愈的人数，则X ～B (n, p )其中n=100（1）)75(1751)75(1)75(npq np npq np npq np X P X P X P -Φ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤--=≤-=> 8944.0)45()45(1=+Φ=-Φ-= （2）p=由中心极限定理知)75(1751)75(1)75(npq np npq np npq np X P X P X P -Φ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤--=≤-=> .1379.08621.01)09.1(1)215(1=-=Φ-=Φ-= 7．[七] 一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。

在整个运行期间每个部件损坏的概率为。

为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。

求整个系统工作的概率。

（2）一个复杂的系统，由n 个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为。

且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性不低于。

解：（1）设每个部件为X i (i=1,2,……100)⎩⎨⎧=部件损坏不工作部件工作01i X设X 是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量X i 之和X=X 1+ X 2+……+ X 100由题设知 n=100 P {X i =1}=p =, P {X i =0}= E (X i ) =p =D (X i ) =p (1－p )=×=n ·E (X i ) =100×=90, n D (X i ) =100×=9⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=)()(85)()(851001i i i i i i X nD X nE X nD X nE X P X P=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-3539099085990X P X P=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<--353901X P由中心极限定理知⎰-∞---≈3522211dt e πt )35(1-Φ-= 查标准正态分布表=φ=解：（2）设每个部件为X i (i=1,2,……n )⎩⎨⎧=部件损坏不工作部件工作01i XP {X i =1}=p =, P {X i =0}=1－p = E (X i ) =p =,D (X i ) =×=由问题知95.0100801=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=n i i n X P 求n=而⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=n X P n i i 100801⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=∑=)(10080)(1i i ni i X nD np n X nD np X P=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-∑=n n n nn X P ni i 3.09.0100803.09.01=1－⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-∑=n n n nn X P n i i 3.09.0100803.09.01由中心极限定理知=95.03.01.03.01.01≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-nn nn 查标准正态分布表得645.13.01.0≥nn解得n ≥取n=25，即n 至少为25才能使系统可靠性为.[八] 随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH 值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为，以Y X ,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求P {<1.5<X } （2）1.01.0{<-<-Y X P } 解：由中心极限定理知3.080580801⨯⨯-=∑=i iXU ～N (0,1) 3.080580801⨯⨯-=∑=j jYV ～N (0,1)（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯-⨯<⨯⨯-<⨯⨯-⨯=<<∑=3.080580801.53.0805803.080580809.4}1.59.4{801i i X P X P8968.019484.021)63.1(263.12458063.1801=-⨯=-Φ=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯-<-∑=i i X P（2）由X i , Y j 的相互独立性知∑∑==801801j ji iYX 与独立。

从而U ，V 独立。

于是U －V ～N (0, 2)而24801801∑∑==-=-≅j ji iYX V U Z⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯<⨯-<⨯⨯-=<-<-∑∑==3.080801.03.0803.080801.0}1.01.0{801801j ji i Y X P Y X P1)15.1(2263.1263.1}63.163.1{-Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=<<-=Z P=2×－1=[九] 某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400 为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X 1，…，X n ，以∑==n i iX n X 11作为μ的估计，为使,95.0|}{|≥-μX P 问n 至少为多少解：由中心极限定理知，当n 很大时)1,0(~221N σn μn X n σn μn Xni i-=-∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=<-22222}1|{|σn n σn n σn n σn μn X n σn n P μX P =95.01202≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn 所以975.020≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φn查标准正态分布表知64.153696.120≥≥n n即n 至少取1537。