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2019年高等数学专升本真题(回忆版)

2019年高等数学专升本真题(回忆版)
一、选择题
1. 下列是同一函数的是(D )
A 、2ln ,ln 2x y x y ==
B 、 x
x y y 2log ,2==
C 、1
1,12--=+=x x y x y D 、||,2x y x y ==
2.当0→x 时12-x e 是inx 3s 的(B ) A 、低阶无穷小 B 、同阶无穷校 C 、等价无穷小 D 、高阶无穷小
3.设x
x x x f 2
2log 16
)(+-++-=,则)(x f 的定义域为( C ). A 、[2,3) B 、(2,3) C 、[-2,2)u(2,3] D 、(0,2)u(2,3)
4.0=x 为函数的x x x f 1sin )(2=( A ). 01sin lim 2
0=→x
x x (有界量*无穷小量) A. 可去 B.跳跃 C. 连续点 D. 无穷
5.设a x x z ln 2
+=,则=dx
dz ( A ). (把z 换成y 就容易理解了,lna 为常数)
A. a x ln 2+ B 、a x
x +2 C.a
x a x ++ln 2 D.x 2
6.求曲线1234+-=x x y 在R 上拐点个数为( C ). (x x y 1212''2
-=)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. 函数⎪⎩

⎨⎧<=>+=0,0,10,1)(2x e x x x x f x 则函数f(x)在x=0处是( D ).
A 、极限不存在
B 、不连续但右极限存在
C 、不连续但左极限存在
D 、连续
8.下列式子成立的是( B ).
A 、)2(
a x ad adx += B 、22
22
1dx e dx xe x x = C 、x d dx x = D 、x
d xdx 1
ln =
9.函数f(x)在定义域[0,1]上连续,其中0)('',0)('><x f x f ,则下列说法正确的是( A ).
A 、单调减函数且凹
B 、单调减函数且凸
C 、单调增函数且凹
D 、单调增函数且凸
10.已知函数1
2
32)(323+++=x x x x f ,求=∞→)(lim x f x ( A ).
A 、2
B 、-2
C 、1
D 、-1
二、填空题
11.设=++=+)(,2)1(2x f e x x f x

1232-++-x e x x .
(令x+1=t ,x=t -1代入即可)
12.已知1,,sin ,2
-====x w w v v u e y u
,则1
sin 2-=x e
y .
13. ==',)(cos y x y x
)tan cos (ln )(cos x x x x x
- .
14. =+⎰dx x
11
C x x ++-)1ln(22 . (令t x = )
15. =-+∞
→)1(lim n n n n . n n n n n n n n n n n n ++++-+=-+∞→∞→1)
1)(1(lim )1(lim 21
11
11lim
1lim
=++=++=∞
→∞
→n n n n
n n
16.
==)(2,n x y e y 则x
n e 22 .
17. )3ln(x x y -+=在区间 )3,0[ 连续 .
18. 已知参数方程⎩
⎨⎧==t b y t a x sin cos ,在
4
π
=
t 的切线方程
)(222
b b
a x
b a y --= .
19.3
2
32lim sin 31lim 020==-→→x x x e x x x . (等价无穷小)
三、计算题
20.
⎰4
sin π
xdx < ⎰4
cos π
xdx .
(从几何意义出发最简单,或者笨方法就是计算结果比大小)
21.
C
e dx e xdx e dx xe x x x x +==⋅=⎰⎰⎰2
2
22
2
22.
22.))1()1((lim )111(lim 200x
e e x x x e x x x x x x --→-→---+=--+2322lim 221lim )1(lim 00220=+=-+=--+=-→-→-→x x x x x x e x e x x e x x 洛洛等价
(利用x e x
~1-,则x e
x
~1--)
23.由方程
0sin 2
1
=+-y y x 所确定的隐函数,求y 的二阶导数''y . 解:0'cos 2
1
'1=⋅+-y y y ,即y y cos 22'-= 'sin )
cos 2(2
''2y y y y ⋅⋅--= 3
322
)cos 2(sin 4)cos 2(2sin 2)cos 2(cos 22
sin 2)
cos 2('
sin 2y y y y y y y y y y --=-⋅-=--⋅
-=-⋅-=
24.2
12lim )cos 1(tan lim sin tan lim 32
03030=⋅
=-=-→→→x x x x x x x x x x x x (利用等价无穷小,2
~cos 1,~tan 2
x x x x -)
四、应用题
25. 求抛物线342
-+-=x x y 与其点)3,0(-和)0,3(处切线所围成的图形
的面积. 解:42'+-=x y
则在点)3,0(-的切线方程的k=4
切线方程为:)0(4)3(-=--x y 即34-=x y
同理,点)0,3(的切线方程k=-2 切线方程为:62+-=x y
如右图所示,两条切线相较于点)3,1.5((自己算)
则面积dx x x x dx x x x S ⎰⎰-+--+-+-+---=3
1.5
21.5
2
)]34()62[()]34()34[(
dx x x dx x ⎰⎰+-+=3
1.5
21.5
2
)96(
4
9|)9331(|31
3
1.5231.503=
+-+=x x x x
五、证明题
26. 证明:当0>x 时,x x +>+12
11成立. 证明:设),0(,12
11)(+∞∈+-+=x x x x f
则,),0(,0121
112121)('恒成立+∞∈>+-+=+-
=x x x x x f 所以函数)(x f 在),0(+∞上单调递增,因此有0)0()(=>f x f 成立。

故),0(,12
11+∞∈+>+x x x 即证成立。

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