几点说明：
(1)把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状 态的平衡方程，即
Fx
FP
b a
F xaF P b0 M B MB 0
特点: 用几何法来解静力平衡问题。
(2)所求力与虚设位移的大小无关,故可设单位位移
1 单位位移法
X
x
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
例 求图示多跨梁B的支座反力、E截面的弯矩
第5章 虚功原理及结构的位移计算
知识点:
▪ 结构位移的概念及类型 ▪ 虚功原理及应用 ▪ 结构位移计算的一般公式 ▪ 静定结构在荷载作用下的位移计算 ▪ 图乘法 ▪ 静定结构由于支座移动、温度改变引
起的位移计算 ▪ 线弹性结构的互等定理
教学基本要求:
掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其 应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移 与广义荷载的概念。
(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程，是把几何问题转化 为平衡问题。
特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
(2)因求出的位移与所设力的大小无关，为了计算的方便，故 可设单位广义力 P=1，称为：
单位荷载法
(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。
例题
已知位移 c A 求 （: 1）C点的竖向位移 c （2）杆CD的转角
第二种应用：
如右图，已知支座A向上移
动一个已知位移 ,现求c点
竖向位移
.利用已知的位移状态 ..建立虚设的力状态
位移状态
FP
…建立虚功方程求解
力状态
单位力状态
(2)虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态 之间—虚设力状态求已知位移状态下的位移—虚力原理
刚体的虚力原理
已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移 几点说明：
(1) 线弹性 (2) 小变形 (3) 理想联结
线性变形体系
叠加原理适用
§5.2 虚功原理（理论难点） 1.刚
体体系的虚功原理
1）一些基本概念： 功：力×力方向位移之总和
广义力：功的表达式中，与广义位移对应的力 广义功：广义力×广义位移之总和
实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功 虚功：广义力在对应广义位移但无关时所作的功
ql
l
力状态
l
ql/2 力状态
ql/2
位移状态
外力虚功
We0lqxdx12q2l 0
内力虚功 Wi =0
△
位移状态 外力虚功
W e0lqxd l x1 2ql0
内力虚功 Wi =0
按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系的 虚功原理：
在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满足 平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束几何相容（位移与 约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠）， 则外力虚功为零。
或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约 束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功为零。
特别说明：对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下没 有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也可 以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。
3)刚体虚功原理的两种应用
既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此 不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚 设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有两种应 用形式。
FP
2FP
A
E
B
C
D
2a 2a 2a a a
A
FP E FBY B
2FP 力状态
C
D
A
1/2 1
E
B
3/4
虚设的位移状态
C
D
F BY 1F P1 22F P4 30 FBYF2P6F 4P 2FP
FP ME
A E
B
1
a
A
E
B
2FP
力状态
C
D
a/2
C
D 虚设位移状态
M E1FPa2FPa 20
ME 0
力W WFWWW==P功=FF==oPPFFF12rPo××PP×12rΔΔ×Δ×12ΔΔ211212
一个力系作的总虚功 W=∑P×
P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
FP
WFP
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用 于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化 等引起的位移计算。
熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、 梁和刚架位移计算的图乘法。
了解曲杆和拱的位移计算。
掌握线弹性结构的互等定理
重点：
虚功原理及应用 图乘法及应用
难点：
虚功原理的理论解释 图乘法的图乘技巧
§5.1 结构位移计算概述
1.结构的位移
角位移
荷载作用下
A
因还会有使什y结么构原产 C C
FP
A 生位移?
x
线位移
相对线位移
C D D D
FP
相对角位移
位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称广义位移。
t 引起结构位移的原因： 荷载、温度改变 T、支座移动 c、制造误差 等
为什么要计算 位移?
第一种应用：
（1）虚功原理用于实际已知的平衡 力状态与虚设的协调位移状态之 间—虚设位移状态求已知力状态的 未知力—虚位移原理
.建立力状态
..建立虚设的位移状态 …利用虚功原理求解
FxxFPP0
Fx
FP
P x
FP
b a
力状态 位移状态 单位位移状态
刚体虚位移原理：
已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。
FP /2
FP /2
力状态
位移状态
注意：两种状态
（1）属同一体系；
（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件（变 形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、 不重叠。）；力状态应满足平衡条件。
（3）位移状态与力状态相互独立、完全无关；但相 互对应
2）刚体体系的虚功原理
ql2/2
q
x dx
x dx
2. 计算位移的目的
1）刚度要求。如： 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；高层建筑
最大位移< 1/1000 高度。最大层间位移< 1/800 层高。铁 路
工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最 大挠度 < 1/700 和1/900跨度
2) 超静定要求 3）施工要求
3. 本章位移计算的假定
A
B
W M A M B M (A B ) M
FP
FP
2
1
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
FP
A
B FP
W FP A FP B FP ( A B ) FP
虚功: WFP
虚功: WMAA
虚功 P: 广义力
状态 FP
力状态
位移状态 q