数列高考真题汇编1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，(3分)由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(5分)(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.(6分) 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.(10分)2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.3．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1.(4分) 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(5分) (2)解：由(1)得a n n ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n .(7分)S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①—②，得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·(1－3n )1－3－n ·3n ＋1＝(1－2n )·3n ＋1－32.(10分) 所以S n ＝(2n －1)·3n ＋1＋34.(12分) 4．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列；(2)若c n ＝n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <45. 解析 (1)证明：因为a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2，所以当n ＝1时，a 1＋a 2＝3a 1＋12＋2，解得a 2＝7.(2分)由S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2及S n ＝3S n －1＋(n －1)2＋2(n ≥2)，两式相减，得 a n ＋1＝3a n ＋2n －1.故a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )．即b n ＋1＝3b n (n ≥2)．(4分)又b 1＝3，b 2＝9，所以当n ＝1时上式也成立．故数列{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(5分)(2)由(1)知b n ＝3n ，所以c n ＝n 3n .所以T n ＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ， ① 3T n ＝1＋23＋332＋…＋n －13n －2＋n 3n －1. ②(7分) ②－①，得2T n ＝1＋13＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝32－3＋2n 2·3n .所以T n ＝34－3＋2n 4·3n .(10分)因为n ∈N *，显然有3＋2n 4·3n >0. 又34<45，所以T n <45.(12分)5．已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n .解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1＝12，又∵S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列，∴2(S 2＋a 2)＝S 1＋a 1＋S 3＋a 3.∴S 2－S 1＋2a 2＝a 1＋S 3－S 2＋a 3，即3a 2＝a 1＋2a 3.∴32q ＝12＋q 2，解得q ＝1或q ＝12.(4分)又{a n }为递减数列，于是q ＝12.∴a n ＝a 1q n -1＝(12)n .(6分)(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝－n (12)n ，∴T n ＝－[1×12＋2×(12)2＋…＋(n －1)(12)n －1＋n ×(12)n ]．于是12T n ＝－[1×(12)2＋…＋(n －1)(12)n ＋n ×(12)n ＋1]．(8分)两式相减，得12T n ＝－[12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1]＝－12×[1－(12)n ]1－12＋n ×(12)n ＋1.∴T n ＝(n ＋2)(12)n －2，6．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n -1，求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.(4分) 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1.于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n . 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.7．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解析 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1， 12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2.两式相减，得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2.所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 8．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1·a 2＝2，a 3·a 4＝32.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b 11＋b 23＋b 35＋…＋b n 2n －1＝a n ＋1－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和．解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32. 又∵a 1>0，q >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由题意，可得b 11＋b 23＋b 35＋…＋b n 2n －1＝2n －1. ∴2n －1－1＋b n 2n －1＝2n －1(n ≥2)，b n 2n －1＝2n －1. ∴b n ＝(2n －1)2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝1，符合上式，∴b n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)．设T n ＝1＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)·2n －1，2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减，得－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3. ∴T n ＝(2n －3)2n ＋3.9．已知数列{a n }是a 3＝164，公比q ＝14的等比数列．设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{c n }的前n 项和S n .解析 (1)证明：由已知，可得a n ＝a 3q n －3＝(14)n .则b n ＋2＝3log 14(14)n ＝3n ，∴b n ＝3n －2.∵b n ＋1－b n ＝3，∴{b n }为等差数列．(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝(3n －2)(14)n ，∴S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －2)×(14)n ， ①14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. ② ①－②，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋(14)4＋…＋(14)n ]－(3n －2)·(14)n ＋1＝14＋3·(14)2[1－(14)n －1]1－14－(3n －2)·(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)·(14)n ＋1.∴S n ＝23－3n ＋23·(14)n .。