第二学期期末考试试卷高二数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷 选择题部分（共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1-=x y 的倾斜角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．43π 2．圆122=+y x 与圆16)4(322=-+-y x ）（的位置关系是 A ． 相交B ． 内切C ．外切D ．相离3．“10<<k ”是“方程1222=-ky x 表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可能是A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，若211===BB BC AB ，则异面直线B A 1和1AD 所成角的余弦值为 A ．1010B ．53 C ．22 D ．546．若动圆C 的圆心在抛物线x y 42=上，且与直线1:-=x l 相切，则动圆C 必过一个定点，该定点坐标为A ． 1（，）0B ． 2（，）0C ．0（，）1 D ．0（，）2 7．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（第5题图）A．24B．36C．42D．488．设nm,为两条不同的直线，βα，为两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若α//m，nm//，β//n，则βα//B．若α//m，nm⊥，β⊥n，则βα// C．若,α⊥m nm//，β//n，则βα⊥D．若α//m，nm⊥，β//n，则βα//9．已知,*∈Nn用数学归纳法证明23)23(741)(2nnnnf-=-++++=Λ时．假设当)(*∈=Nkkn时命题成立，证明当1+=kn时命题也成立，需要用到的)1(+kf与)(kf之间的关系式是A．53)()1(-+=+kkfkf B．23)()1(-+=+kkfkfC．13)()1(++=+kkfkf D．43)()1(++=+kkfkf10．如图，可导函数)(xfy=在点))(,(xfxP处的切线方程为)(xgy=)()()(xfxgxh-=，设，)('xh为)(xh的导函数则下列结论中正确的是A．0)('=xh，x是)(xh的极大值点B．0)('=xh，x是)(xh的极小值点C．0)('≠xh，x不是)(xh的极值点D．0)('≠xh，是x)(xh是的极值点11．已知M,N是离心率为2的双曲线）（0,012222>>=-babyax上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PNPM,的斜率分别为1k，2k，021≠kk，则213kk+的取值范围为A .[6，）∞+B．（∞-，6-]Y[6,∞+)C. [32,∞+) D．(∞-，32-]Y[32,∞+)12．如图，在矩形ABCD中，M在线段AB上，且1==ADAM，3=AB，将ADM∆沿DM翻折．在翻折过程中，记二面角DBCA--的平面角为θ，则tanθ的最大值为A．63B．96C．52D．43（第10题图）第Ⅱ卷 非选择题部分（共90分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本题共7小题，其中13－15题每小题6分，16－19题每小题4分，共34分．13．已知向量a ,1,0,2-）（=b =,2,1（x )，若a ⊥b ，则x = ▲ ,若2a +b ）（5,2,3-=，则=x ▲ ．14．已知复数+=2z i (i 是虚数单位)，则=z ▲ ，i =⋅z ▲ ．15．若201920192210201921x a x a x a a x ++++=+Λ）（ ，则=0a ▲ ,=-+-++-+-201920193322122)1(222a a a a a n n n ΛΛ ▲ ． 16．若一个三位自然数的十位上的数字最大，则称该数为“凸数”（如231，）132. 由4,3,2,1组成没有重复数字的三位数，其中凸数的个数为 ▲ 个．17．已知奇函数)0)((≠∈=x x x f y 且R ，)('x f 为)(x f 的导函数，当0>x 时， ,0)()('>-x f x xf 且0)2(=f ，则不等式0)(≤x f 的解集为 ▲ ．18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点（包括边界）， 且AE D F A 11//平面，则的最小值为11⋅ ▲ ．19．已知P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上任意一点，点N M ，分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，且12////l PN l PM ，，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为 ▲ .三、解答题：本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本题满分14分）已知圆C ：03222=--+mx y x )(R ∈m ． （Ⅰ）若,1=m 求圆C 的圆心坐标及半径；（Ⅱ）若直线：l 0=-y x 与圆C 交于,A B 两点，且4=AB ，求实数m 的值． 21．（本题满分14分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面B AA 1121====AA AC BC AB ，321π=∠ABB ． （Ⅰ）证明：C A AB 1⊥；（Ⅱ）求直线11B A 与平面C C BB 11所成角的正弦值．22．（本题满分14分）如图，已知三点,,A P Q 在抛物线2:8C x y =上，点,A Q 关于y 轴对称（点A 在第一 象限）， 直线PQ 过抛物线的焦点F .（1）若APQ ∆的重心为8,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线AP （2）设OAP ∆，OFQ ∆的面积分别为1S ，2S ，求2212S S +的最小值．（第21题图） （第22题图）23．（本题满分14分）已知函数 ）（R ∈-+=a a xx x f 2ln )(． （1）当3=a 时，求)(x f 在）（3,e e 上的零点个数；（2）当2<a 时，若)(x f 有两个零点21,x x ，求证：23421-<+<e x x ．高二数学参考答案与评分标准一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）二、填空题（本大题共7小题，其中13-15每小题6分，16、17、18、19每小题4分共34分）． 13．2, 3 14．5, i 21+- 15． 1, -1 16．817．(](]2,02--Y ，∞ 18． 21 19． 322三、解答题（本大题共4小题，共54分） 20．(本题满分14分)(Ⅰ) 当1=m 时，03222=--+x y x ，4122=+-y x ）化简得（ 所以圆心坐标为）（0,1，半径为2.…………………………………7分(Ⅱ)圆C:3222+=+-m y m x ）（， 设圆心()0,m 到直线0:=-y x l 的距离为d ,则2m d =4=AB 因为3422+=+m d 所以即34222+=+m m22=m 所以2±=m 所以.……………………………………………………………14分21. (本题满分14分)(Ⅰ) 取AB 中点D ，连B A D A 11,因为21====AA AC BC AB ，ο601=∠BAA 所以D A AB AB CD 1,⊥⊥,所以1CDA AB 平面⊥因为11CDA C A 平面⊂所以C A AB 1⊥. ………………. ………………. ………………. ………………6分(Ⅱ) 法一：设AE E C B BC ，连接=11I 由条件知四边形C C BB 11为菱形 所以C B BC 11⊥又2111==C A B A ,中点为1BC E 所以E A BC 11⊥又E E A C B =11I 所以⊥1BC 平面C B A 11从而面⊥C B A 11面C C BB 11 所以C B A 11∠为11B A 与面C C BB 11所成角 由 (Ⅰ)知⊥AB 面DC A 1.AB B A //11 所以DC A B A 111面⊥,所以C A B A 111⊥ 在C B A Rt 11∆中，62121=+=DA DC C A ,101=C B515106sin 1111===∠C B C A C B A ………………………………………………14分(Ⅱ) 方法二：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得)001(，，A , )030(1，，A ,)032(1，，-B ,)300(，，C , )0,01(，-B设平面11B BCC 的一个法向量),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01，而⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303-z x y x .所以)1,1,3(-=.又)00,2(11，-=B A 设直线11B A 与平面11B BCC 所成的角α,则5152532,cos sin 11=⋅==><=n B A α ………………………14分22. (本题满分14分)(Ⅰ) 设A ）（11,y x ,),(22y x P ,）（11,-y x Q 则)32,3(212y y x G +， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=332383212y y x ，所以)8,8(212P A ），，（所以0845:=--y x AP ………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 设2+=mx y PQ ：由⎩⎨⎧=+=yx mx y 822得,01682=--mx x 所以16,16)(2121=-=-x x x x 即 又设n kx y AP +=:由⎩⎨⎧=+=yx n kx y 82得0882=--n kx x ，所以,16821=-=n x x 所以2-=n ,2-=kx y AP ：所以即），（过定点2-0E AP 1212121x x x x OE S S S S OEA OEP OAP -=-=-==∆∆∆所以 11221x x OF S S OFQ =⋅==∆ 322323222232)(222122212122221-=-≥+-=+-=+x x x x x x x S S 所以当且仅当4924712,2==x x 时等号成立所以2221S S +的最小值为32-232……………………………………………………14分 23. (本题满分14分) 因为22'221)(xx x x x f -=-=）上递增，）上递减，（在（所以∞+22,0)(x f …………………………………2分 (Ⅰ)当3=a 时，02323)(,022321)(333>=-+=<-=-+=ee ef e e e f ）上有一个零点在（所以3,)(e e x f …………………………………………5分 (Ⅱ) 因为)(x f 有两个零点，所以,0)2(<f 即2ln 1012ln +>⇒<-+a a .设,2021x x <<<则要证421>+x x 21x -4x <⇔2,44221><-<x x 因为）上单调递增，在（又因为∞+2)(x f所以只要证 0)()()4(121==<-x f x f x f 设)20)(4()()(<<--=x x f x f x g则0)4()2(8)4(242)4(')(')('22222<---=---+-=--=x x x x x x x x f x f x g ）上单调递减，在（所以20)(x g ，0)2()(=>g x g421>+x x 所以………………………………………………………………………10分因为0)()(,,)(2121==x f x f x x x f 所以有两个零点ln 20)(=--=x x ax x f 即方程,ln 2)(x x ax x h --=构造函数则0)()(21==x h x h,0)(',ln 1)('1-=⇒=--=a e x x h x a x h 记）（2ln 121+>>=-a e p a则）上单调递减）上单调递增，在（，在（+∞,0)(p p x h所以⎩⎨⎧<<>210)(x p x p h设0)()(41)(,ln )(2ln 222'>+-=+-=-+--=p x x p x p x p x x R p p x p x x x R ）（）（ 0)()(=>>p R x R p x x R 时，）递增，当（所以0)(0=<<<）（时，当p R x R p xp x px p x x x x ax ln )(2ln 21111111++-<=-所以即p p x p x px x p x ax ln ln 22)(212112111++-<+-）（ 02)ln 22(ln 2121>++--+-+p x p p p ap x a p ）（（1ln ,1-==-a p e p a ） 02)32(11121>+-+--a a e x e x 所以02)32(12122<+-+--a a e x e x 同理11121121222)32(2)32(----+-+<+-+a a a a e x e x e x e x 所以[]0)32(11212<-++--a e x x x x ）所以（ 23121-<+-a e x x 所以232321-21-<-<+<e e x x a a 得：由 23421-<+<e x x 综上：…………………………………………………14分。