第6章一阶动态电路分析6.1 如图6.3所示电路，在开关S断开前已处于稳态，试求开关S断开后瞬间电压u C和电流i C、i1、i2的初始值。

分析先在时的等效电路中求，因为时电路已处于稳态，电路中各处的电流和电压都是常数，电容中的电流，所以这时电容C可看作开路。

然后在时的等效电路中求、和，这时电容C可用电压为的恒压源代替。

解画出时的等效电路，如图6.4（a）所示。

根据分压公式，得时电容两端的电压为：（V）根据换路定理，时电容两端的电压为：（V）在瞬间，电容C可用电压为V的恒压源代替，由此可画出时的等效电路，如图6.4（b）所示。

由于4Ω电阻支路已断开，故时的电流i2为：（A）根据欧姆定律，得时的电流i1为：（A）根据KCL，得时的电流i C为：（A）图6.3 习题6.1的图图6.4 习题6.1解答用图6.2 如图6.5所示电路，在开关S闭合前已处于稳态，试求开关S闭合后瞬间电压u L和电流i L、i1、i2的初始值。

分析先在时的等效电路中求，因为时电路已处于稳态，电路中各处的电流和电压都是常数，电感两端的电压，所以这时电感L可看作短路。

然后在时的等效电路中求、和，这时电感L可用电流为的恒流源代替。

解画出时的等效电路，如图6.6（a）所示。

根据欧姆定律，得时电感中的电流为：（A）根据换路定理，时电感中的电流为：（A）图6.5 习题6.2的图图6.6 习题6.2解答用图在瞬间，电感可用电流为A的恒流源代替，由此可画出时的等效电路，如图6.6（b）所示。

根据欧姆定律，得时电感两端的电压为：（V）根据分流公式，得时的电流i1和i2分别为：（A）6.3 如图6.7所示电路，在开关S闭合前已处于稳态，试求开关S闭合后瞬间电压u C、u L和电流i L、i C、i的初始值。

分析先在时的等效电路中求和，因为时电路已处于稳态，电路中各处的电流和电压都是常数，电容中的电流，电感两端的电压，所以这时电容C可看作开路，电感L可看作短路。

然后在时的等效电路中求、和，这时电容C可用电压为的恒压源代替，电感L可用电流为的恒流源代替。

解画出时的等效电路，如图6.8（a）所示。

由于时电容所在支路和电感所在支路均开路，所以这时电容两端的电压和电感中的电流分别为：（V）（A）图6.7 习题6.3的图图6.8 习题6.3解答用图根据换路定理，时电容两端的电压和电感中的电流分别为：（V）（A）在瞬间，电容C可用电压为V的恒压源代替，电感可用电流为A的恒流源代替（开路），由此可画出时的等效电路，如图6.8（b）所示。

根据欧姆定律，得时的电流i C和i分别为：（A）根据KVL，得时电感两端的电压为：（V）6.4 如图6.9所示电路，在开关S闭合前已处于稳态，并且电容没有初始储能，试求开关S 闭合后瞬间电压u C、u L和电流i L、i C、i的初始值。

分析如果换路前电路电容或电感没有初始储能，意味着换路前的电容电压为0或电感电流为0。

根据换路定理，有或，因此，在的等效电路中电容C可看作短路，电感L可看作开路。

解因为时电路已处于稳态，所以这时电容C可看作开路，电感L可看作短路，由此可画出时的等效电路，如图6.10（a）所示。

由于电容没有初始储能，所以这时电容两端的电压为：（V）根据欧姆定律，得时电感中的电流为：（A）根据换路定理，时电容两端的电压和电感中的电流分别为：（V）（A）在瞬间，电容C可用电压为V的恒压源代替（短接），电感可用电流为A的恒流源代替，由此可画出时的等效电路，如图6.10（b）所示。

根据弥尔曼公式，得时电感两端的电压为：（V）根据欧姆定律，得时的电流i C和i分别为：（A）（A）图6.9 习题6.4的图图6.10 习题6.4解答用图6.5 在如图6.11所示电路中，mA，Ω，Ω，μF。

（1）将电路中除电容元件以外的部分用戴微南定理或诺顿定理化简；（2）求电路的时间常数；（3）列出求电容电压u C的微分方程。

分析本题要求将电路化简后求出时间常数，并列出微分方程，并不要求对微分方程求解。

任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL 电路。

等效的方法是：将电路中的储能元件断开，得一有源二端网络，求出该有源二端网络的开路电压及其除源后的等效电阻便得戴微南等效电路，求出该有源二端网络的短路电流及其除源后的等效电阻便得诺顿等效电路。

因此，对一阶电路的分析，实际上可归结为对简单的RC电路和RL电路的求解。

解（1）将电容断开，得有源二端网络，如图6.12（a）所示，开路电压为：（V）U OC的方向为上正下负。

短路电流为：（A）I SC的方向向下。

将如图6.12（a）所示有源二端网络的I S断开，得无源二端网络，如图6.12（b）所示，等效电阻为：（Ω）由上面求得的参数可画出如图6.11所示电路的戴微南等效电路和诺顿等效电路，分别如图6.13（a）、（b）所示。

（2）电路的时间常数为：（s）（3）现分别根据如图6.13（a）、（b）所示电路列写求电容电压u C的微分方程。

对如图6.13（a）所示电路，由KVL，有：图6.11 习题6.5的图图6.12 习题6.5解答用图将Ω、μF F、V代入上式，得：对如图6.13（b）所示电路，由KCL，有：即：将Ω、μF F、A代入上式，得：可见用戴微南等效电路和用诺顿等效电路列出的微分方程完全相同。

（a）戴微南等效电路（b）诺顿等效电路图6.13 图6.11的等效电路6.6 在如图6.14所示电路中，已知mA，V，Ω，Ω，H。

（1）将电路中除电感元件以外的部分用戴微南定理或诺顿定理化简；（2）求电路的时间常数；（3）列出求电感电流i L的微分方程。

分析与上题一样，本题也只要求将电路化简后求出时间常数，并列出微分方程，并不要求对微分方程求解，方法如上题所述。

解（1）将电感断开，得有源二端网络，如图6.15（a）所示，根据弥尔曼公式得开路电压为：（V）U OC的方向为上正下负。

短路电流为：（A）I SC的方向向下。

将如图6.15（a）所示有源二端网络的I S断开，U S短接，得无源二端网络，如图6.15（b）所示，等效电阻为：（Ω）由上面求得的参数可画出如图6.14所示电路的戴微南等效电路和诺顿等效电路，分别如图6.16（a）、（b）所示。

图6.14 习题6.6的图图6.15 习题6.6解答用图（a）戴微南等效电路（b）诺顿等效电路图6.16 图6.14的等效电路（2）电路的时间常数为：（s）（3）现分别根据如图6.16（a）、（b）所示电路列写求电感电流i L的微分方程。

对如图6.16（a）所示电路，由KVL，有：即：将Ω、H、V代入上式，得：对如图6.16（b）所示电路，由KCL，有：将Ω、H、、A代入上式，得：6.7 如图6.17所示电路在时开关闭合，开关闭合前电路已处于稳态。

试列出电容电压u C的微分方程，求出开关闭合后的u C和i C，画出u C和i C随时间变化的曲线。

分析本题实际上是要求用经典法求解，其步骤和方法如6.2.2小节中所述。

在电路比较简单的情况下，可直接根据换路后的电路列写微分方程，而不必用戴微南定理或诺顿定理将电路化简后再列写微分方程。

求出电容电压u C以后，电路中其他电流、电压可根据u C利用KCL、KVL和元件伏安关系求出，如本题中的i C可由公式求得，不必再列微分方程来求解。

解首先求出u C的初始值。

因开关闭合前电路已处于稳态，电容中的电流为0，故在的等效电路中电容可视为开路，如图6.18（a），此时的电容电压为：（V）根据换路定理，得：（V）换路后的电路如图6.18（b）所示，由KCL得：将，代入上式，得：设特解，代入上式得特解即稳态分量为：（V）或假定换路后的电路[图6.18（b）]已达到稳态，即将电容视为开路，得：（V）图6.17 习题6.7的图图6.18 习题6.7解答用图令原微分方程右端的非齐次项为零，即得齐次微分方程，为：设补函数为，代入上式得特征方程为：特征根为：电路的时间常数为：（s）所以，补函数即暂态分量为：将稳态分量与暂态分量相加，即得微分方程的全解，为：将初始值V代入上式，即可求得积分常数A为：所以：（V）（A）u C和i C随时间变化的曲线分别如图6.19（a）、（b）所示。

（a）u C随时间变化的曲线（b）i C随时间变化的曲线图6.19 u C和i C随时间变化的曲线6.8 如图6.20所示电路在时开关闭合，开关闭合前电路已处于稳态。

试列出电感电流i L的微分方程，求出开关闭合后的i L和u L，画出i L和u L随时间变化的曲线。

分析本题也是要求用经典法求解，因电路比较简单，故也可直接根据换路后的电路列写微分方程。

同理，求出电感电流i L以后，电路中其他电流、电压可根据i L利用KCL、KVL和元件伏安关系求出，如本题中的u L可由公式求得，也不必再列微分方程来求解。

解首先求出u C的初始值。

显然，因开关闭合前电感没有接入电路，如图6.21（a）所示，故得：（A）根据换路定理，得：（A）换路后的电路如图6. 21（b）所示，由KCL得：因为，，而，代入上式，得：设特解，代入上式得特解即稳态分量为：（A）或假定换路后的电路[图6. 21（b）]已达到稳态，即将电感视为短路，得：（A）令原微分方程右端的非齐次项为零，即得齐次微分方程，为：设补函数为，代入上式得特征方程为：特征根为：电路的时间常数为：（s）所以，补函数即暂态分量为：将稳态分量与暂态分量相加，即得微分方程的全解，为：将初始值A代入上式，即可求得积分常数A为：所以：（A）（V）u C和i C随时间变化的曲线分别如图6.22（a）、（b）所示。

图6.20 习题6.8的图图6.21 习题6.8解答用图（a）i L随时间变化的曲线（b）u L随时间变化的曲线图6.22 i L和u L随时间变化的曲线6.9 如图6.23所示电路，开关闭合时电容充电，再断开时电容放电，分别求充电及放电时电路的时间常数。

分析本题要求计算RC电路的时间常数，计算公式为，式中的R是换路后的电路除去电源（恒压源短路，恒流源开路）和电容（开路）后，从电容两端所得无源二端网络的等效电阻，也就是从电容两端看进去的戴微南等效电源或诺顿等效电源的内阻。

值得注意的是，在同一个RC电路中，各处电流和电压的时间常数相同，但本题中开关闭合时的电路与开关断开时的电路不同，因此两种情况下的时间常数不同。

解（1）计算开关闭合时电路的时间常数。

开关闭合时的电路如图6.24（a）所示，由于将10V 恒压源短路后，6Ω电阻也被短路，所以，从电容两端所得无源二端网络的等效电阻为：（Ω）时间常数为：（s）（2）计算开关断开时电路的时间常数。

开关断开时的电路如图6.24（b）所示，由于10V恒压源已断开，所以，从电容两端所得无源二端网络的等效电阻为：（Ω）时间常数为：（s）图6.23 习题6.9的图图6.24 习题6.9解答用图6.10 如图6.25所示电路，分别求开关闭合及断开时电路的时间常数。