2016-2017学年江苏省无锡市江阴市青阳片九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）1. 如果a与−3互为相反数，则a等于（）A.1 3B.3C.−13D.−32. 下列各式运算中，正确的是（）A.(a+b)2=a2+b2B.√(−3)2=3C.a3⋅a4=a12D.(3a )2=6a2(a≠0)3. 下列调查方式中适合的是（）A.要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式B.调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式C.环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式D.调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式4. 图中所示几何体的俯视图是()A. B. C. D.5. 如图，AB // CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是()A.∠1=∠3B.∠2+∠3=180∘C.∠2+∠4<180∘D.∠3+∠5=180∘6. 关于抛物线y=(x−1)2+2，下列结论中不正确是（）A.对称轴为直线x=1B.当x<1时，y随x的增大而减小C.与x轴没有交点D.与y轴交于点(0, 2)7. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.圆8. 晓明家到学校的路程是3500米，晓明每天早上7:30离家步行去上学，在8:10（含8:10）至8:20（含8:20）之间到达学校．如果设晓明步行的速度为x米/分，则晓明步行的速度范围是（）A.70≤x≤87.5B.x≤70或x≥87.5C.x≤70D.x≥87.59. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0, 0)，B(−2, −2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45∘，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）A.(1, −1)B.(−1, −1)C.(1, 1)D.(−1, 1)10. 当m，n是实数且满足m−n=mn时，就称点Q(m, mn)为“奇异点”，已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数y=2x的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB 的面积为（）A.1B.32C.2 D.52二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）分解因式：a2−4a+4＝________．据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示为________元．若一个多边形的内角和比外角和大360◦，则这个多边形的边数为________．一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为________．有一个正六面体，六个面上分别写有1∼6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是________．如图，△ABC中，DE // FG // BC，AD:DF:FB=2:3:4，若EG=4，则AC=________．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3, 5)，B(−3, 0)，C(2, 0)，将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=k的图象上，则kx的值为________．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0, 1)、点B(0, 1+t)、C(0, 1−t)(t>0)，点P在以D(3, 3)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90∘，则t的最小值是________．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）计算：(1)(−3)2−√4+(12)−1．(2)(x+1)2−2(x−2)．（1）解方程：2−xx−3+3=23−x（2）解不等式：2x−3≤12(x+2)如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD // BE．求证：∠D=∠E．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分10作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）m＝________，n＝________；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在________分数段；（4）若成绩在90分以上（包括9的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？本校有A、B两个餐厅，甲、乙两名学生各自随机选择其中一个餐厅用餐，请用列表或画树状图的方法解答：（1）甲、乙两名学生在同一餐厅用餐的概率；（2）甲、乙两名学生至少有一人在B餐厅的概率．2008年5月12日四川汶川地区发生8.0级特大地震．举国上下通过各种方式表达爱心．某企业决定用p万元援助灾区n所学校，用于搭建帐篷和添置教学设备．根据各校不同的受灾情况，该企业捐款的分配方案是：所有学校得到的捐款数都相等，到第n所学校时捐款恰好分完，捐款的分配方法如下表所示．（其中p，n，a都是正整数）根据以上信息，解答下列问题：（1）写出p与n的关系式；（2）当p=125时，该企业能援助多少所学校？（3）根据震区灾情，该企业计划再次提供不超过20a万元的捐款，按照原来的分配方案援助其它学校．若a由（2）确定，则再次提供的捐款最多又可以援助多少所学校？在正方形网格中以点A为圆心，AB为半径作圆A交网格于点C（如图(1)），过点C作圆的切线交网格于点D，以点A为圆心，AD为半径作圆交网格于点E（如图(2)）．问题：（1）求∠ABC的度数；（2）求证：△AEB≅△ADC；（3）△AEB可以看作是由△ADC经过怎样的变换得到的？并判断△AED的形状（不用说明理由）．（4）如图(3)，已知直线a，b，c，且a // b，b // c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形A′B′C′，使三个顶点A′，B′，C′，分别在直线a，b，c上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．如图，已知二次函数y＝ax2−2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(−1, 0)，与y轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB＝3OA，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且$\tanngleOAM =\frac{3}{2}$，求点M坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．阅读图1的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是________命题（填“真”或“假”）（2）在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a:b:c；̂的（3）如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．参考答案与试题解析2016-2017学年江苏省无锡市江阴市青阳片九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）1.【答案】B【考点】相反数【解析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．【解答】解：因为a与-3互为相反数，所以a=3.故选B．2.【答案】B【考点】二次根式的性质与化简【解析】根据完全平方公式，二次根式的化简、同底数幂的乘法法则，平方等概念分别判断．【解答】解：A、(a+b)2=a2+2ab+b2，错误；B、√(−3)2=√9=3，正确；C、a3⋅a4=a12，错误；D、(3a )2=9a，错误．故选B．3.【答案】C【考点】全面调查与抽样调查抽样调查的可靠性反比例函数图象上点的坐标特征【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【解答】A、了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批节能灯全部用于实验；B、调查你所在班级同学的身高，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查方式；C、了解环保部门调查沱江某段水域的水质情况，会给调查对象带来损伤破坏，应该选取抽样调查的方式才合适；D、调查全市中学生每天的就寝时间，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿失的，采取抽样调查即可；4.【答案】D【考点】简单几何体的三视图【解析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选D．5.【答案】D【考点】平行线的性质【解析】根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、∵OC与OD不平行，∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3=180∘不成立，故本选项错误；C、∵AB // CD，∴∠2+∠4=180∘，故本选项错误；D、∵AB // CD，∴∠3+∠5=180∘，故本选项正确．故选D.6.【答案】D【考点】抛物线与x轴的交点二次函数的性质【解析】由抛物线解析式得到顶点坐标，进而确定出对称轴为直线x=1，选项A正确；根据抛物线开口向上，得到x小于1时，抛物线为减函数，即y随x的增大而减小，得到选项B 正确；再求出b2−4ac的值小于0，得到抛物线与x轴没有交点，选项C正确，令抛物线解析式中x=0，求出y=3，得到抛物线与y轴交点为(0, 3)，故选项D错误．【解答】解：抛物线y=(x−1)2+2，∴顶点坐标为(1, 2)，对称轴为直线x=1，开口向上，∴x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，又y=(x−1)2+2=x2−2x+3，令x=0，求出y=3，∴b2−4ac=4−12=−8<0，抛物线与y轴的交点为(0, 3)，∴抛物线与x轴没有交点，则选项中错误的是D．故选D．7.【答案】A【考点】轴对称图形中心对称图形【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．【解答】A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、只是中心对称图形，不合题意；C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．8.【答案】A【考点】一元一次不等式的运用【解析】先计算出晓明从家到学校所用的时间，再根据v=st分别求出在8:10（含8:10）至8:20（含8:20）之间到达学校的速度表达式，再列出不等式组即可．【解答】解：晓明到学校所用的时间为40分到50分之间，路程为3500米，设晓明步行的速度为x米/分，3500 50≤x≤350040，解得：70≤x≤87.5．9.【答案】C【考点】坐标与图形变化-旋转规律型：点的坐标菱形的性质【解析】先求出D点坐标，再求出菱形旋转一周所需的时间，进而可得出结论．解：∵ O(0, 0)，B(−2, −2)，∴ 中点坐标为：(−1, −1)．∵ 菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45∘，∴ 点D 旋转一周的时间=36045=8（秒）． ∵ 608=7...4，∴ 第60秒时，菱形的对角线恰好在第一象限的角平分线上，∴ D(1, 1)．故选C ．10.【答案】B【考点】反比例函数系数k 的几何意义【解析】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义．【解答】解：设A(a, a b )，∵ 点A 是“奇异点”，∴ a −b ＝ab ，∵ a ⋅a b =2，则b =a 22，∴ a −a 22=12a 3，而a ≠0，整理得a 2+a −2＝0，解得a 1＝−2，a 2＝1， 当a ＝−2时，b ＝2；当a ＝1时，b =12，∴ A(−2, −1)，B(1, 2)，设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，把A(−2, −1)，B(1, 2)代入得{−2m +n =−1m +n =2 ，解得{m =1n =1， ∴ 直线AB 与y 轴的交点坐标为(0, 1)，∴ △OAB 的面积=12×1×(2+1)=32． 故选B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）【答案】(a −2)2【考点】因式分解-运用公式法【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．a2−4a+4＝(a−2)2．【答案】6.8×108【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：将680000000用科学记数法表示为6.8×108．故答案为：6.8×108．【答案】6【考点】多边形内角与外角【解析】根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180∘，外角和等于360∘列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，(n−2)⋅180◦−360◦＝360∘，解得n＝6．故答案为：6.【答案】2【考点】方差【解析】根据平均数的定义先求出a的值，再根据方差公式进行计算即可．【解答】∵数据1，2，a，4，5的平均数是3，∴(1+2+a+4+5)÷5=3，∴a=3，∴这组数据的方差为15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2．【答案】23【考点】概率公式【解析】让向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，故其概率是46=23．12【考点】平行线分线段成比例【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．【解答】∵DE // FG // BC，∴AE:EG:GC=AD:DF:FB=2:3:4，∵EG=4，∴AE=83，GC=163，∴AC=AE+EG+GC=12，【答案】−3【考点】全等三角形的性质与判定坐标与图形变化-旋转勾股定理等腰直角三角形反比例函数图象上点的坐标特征【解析】根据点A、B、C的坐标求出AB、BC的长，从而得到△ABC是等腰直角三角形，过点A′作A′E⊥AB于E，过点C′作C′F⊥x轴于F，然后求出A′E、BE，再利用“AAS”证明△A′BE和△C′BF全等，根据全等三角形对应边相等求出BF，C′F，再求出OF，从而得到点C′的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式解答．【解答】解：∵A(−3, 5)，B(−3, 0)，C(2, 0)，∴AB=5，BC=2−(−3)=2+3=5，AB⊥x轴，∴△ABC是等腰直角三角形.过点A′作A′E⊥AB于E，过点C′作C′F⊥x轴于F，如图所示，则A′E=3，BE=√52−32=4.∵△A′BC′是△ABC旋转得到，∴∠A′BE=∠C′BF，在△A′BE 和△C′BF 中，{∠A ′BE =∠C ′BF ，∠A ′EB =C ′FB ，A ′B =C ′B ，∴ △A′BE ≅△C′BF(AAS)，∴ BF =BE =4，C′F =A′E =3，∴ OF =BF −OB =4−3=1，∴ 点C′的坐标为(1, −3).把(1, −3)代入y =k x 得，k 1=−3，解得k =−3．故答案为：−3.【答案】 √13−1【考点】坐标与图形性质直角三角形斜边上的中线【解析】先求出AB ，AC 进而得出AC ＝AB ，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP ＝t ，即可得出t 最小时，点P 在AD 上，用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】如图，连接AP ，∵ 点A(0, 1)、点B(0, 1+t)、C(0, 1−t)(t >0)，∴ AB ＝(1+t)−1＝t ，AC ＝1−(1−t)＝t ，∴ AB ＝AC ，∵ ∠BPC ＝90∘，∴ AP =12BC ＝AB ＝t ， 要t 最小，就是点A 到⊙D 上的一点的距离最小，∴ 点P 在AD 上，∵ A(0, 1)，D(3, 3)，∴ AD =√9+(3−1)2=√13，∴ t 的最小值是AP ＝AD −PD =√13−1，三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）原式=9−2+2=9（2）原式=x 2+2x +1−2x +4=x 2+5【考点】完全平方公式实数的运算负整数指数幂【解析】（1）根据实数运算法则即可求出答案．（2）根据整式运算的法则求出答案．【解答】解：（1）原式=9−2+2=9（2）原式=x2+2x+1−2x+4=x2+5【答案】解：（1）两边同时乘以(x−3)得2−x+3(x−3)=−2解之得：x=52时，x−3≠0，检验：当x=52∴x=5是原方程的解；2（2）两边都乘以2，得2(2x−3)≤x+2，3x≤8，．解得x≤83【考点】解分式方程解一元一次不等式【解析】（1）根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据不等式的性质，可得不等式的解．【解答】解：（1）两边同时乘以(x−3)得2−x+3(x−3)=−2解之得：x=52检验：当x=5时，x−3≠0，2∴x=5是原方程的解；2（2）两边都乘以2，得2(2x−3)≤x+2，3x≤8，．解得x≤83【答案】证明：∵C是线段AB的中点，∴AC=CB，∵CD // BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，{AC=CB∠ACD=∠B CD=BE，∴△ACD≅△CBE(SAS)，∴∠D=∠E．【考点】全等三角形的性质【解析】由CD // BE，可证得∠ACD=∠B，然后由C是线段AB的中点，CD=BE，利用SAS即可证得△ACD≅△CBE，继而证得结论．【解答】证明：∵C是线段AB的中点，∴AC=CB，∵CD // BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，{AC=CB∠ACD=∠B CD=BE，∴△ACD≅△CBE(SAS)，∴∠D=∠E．【答案】70,0.2频数分布直方图如图所示，80≤x<90该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：3000×0.25＝750（人）．【考点】用样本估计总体频数（率）分布直方图频数（率）分布表【解析】（1）根据第4组的频率是0.35，求得m的值，根据第3组频数是40，求得n的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据总人数以及各组人数，即可得出比赛成绩的中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可得出该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的人数．【解答】由题可得，m＝200×0.35＝70；n＝40÷200＝0.2；故答案为：70，0.2；频数分布直方图如图所示，∵前三组总数为10+30+40＝80，前四组总数为10+30+40+70＝150，而80< 100<150，∴比赛成绩的中位数会落在80≤x<90分数段；故答案为：80≤x<90；该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：3000×0.25＝750（人）．【答案】解：（1）画树形图得：∵甲、乙两名学生在餐厅用餐的情况有AB、AA、BA、BB，∴P（甲、乙两名学生在同一餐厅用餐）=24=12；（2）由（1）的树形图可知P（甲、乙两名学生至少有一人在B餐厅）=34．【考点】列表法与树状图法【解析】（1）列举出所有情况，看甲、乙两名学生在同一餐厅用餐的情况数占总情况数的多少即可；（2）列举出所有情况，看甲、乙两名学生至少有一人在B餐厅用餐的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）画树形图得：∵甲、乙两名学生在餐厅用餐的情况有AB、AA、BA、BB，∴P（甲、乙两名学生在同一餐厅用餐）=24=12；（2）由（1）的树形图可知P（甲、乙两名学生至少有一人在B餐厅）=34．【答案】解：（1）∵所有学校得到的捐款数都为5n万元，∴p=n×5n=5n2（n为正整数）．（2）当p=125万元时，5n2=125，∴n2=25．∴n=±5．∵n是正整数，∴n=5．∴该企业的捐款可以援助5所学校．（3）由（2）知，第一所学校获得捐款125÷5=25万元，∴5+125−5a=25，∴a=6．∴20×6=120．根据题意，得5n2≤120，∴n2≤24，∵n是正整数，∴n最大为4．∴再次提供的捐款最多又可以援助4所学校．【考点】规律型：图形的变化类列代数式求值方法的优势【解析】（1）根据每所学校得到的捐款相同，可以根据“捐款总数=学校数×每个学校得到的捐款数”列出关系式；（2）把p=125代入解析式求解；（3）根据（2）的方案，求出n的取值范围，再计算出n的值．【解答】解：（1）∵所有学校得到的捐款数都为5n万元，∴p=n×5n=5n2（n为正整数）．（2）当p=125万元时，5n2=125，∴n2=25．∴n=±5．∵n是正整数，∴n=5．∴该企业的捐款可以援助5所学校．（3）由（2）知，第一所学校获得捐款125÷5=25万元，∴5+125−5=25，a∴a=6．∴20×6=120．根据题意，得5n2≤120，∴n2≤24，∵n是正整数，∴n最大为4．∴再次提供的捐款最多又可以援助4所学校．【答案】连接BC，由网格可知点C在AB的中垂线上，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60∘；∵CD切⊙A于点C，∴∠ACD＝90∘∠ABE＝∠ACD＝90∘，在Rt△AEB与Rt△ADC中，∵AB＝AC，AE＝AD．∴Rt△AEB≅Rt△ADC(HL)；△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60∘得到的．△AED是等边三角形；）①在直线a上任取一点，记为点A′，作A′M′⊥b，垂足为点M′；②作线段A′M′的垂直平分线，此直线记为直线d；③以点A′为圆心，A′M′长为半径画圆，与直线d交于点N′；④过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′，连接A′C′；⑤以点A′为圆心，A′C′长为半径画圆，此圆交直线b于点B′；⑥连接A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求等边三角形．【考点】全等三角形的判定切线的性质作图—复杂作图旋转的性质【解析】（1）连接BC，通过证明△ABC是等边三角形，即可求出∠ABC的度数；（2）在Rt△AEB与Rt△ADC中，通过HL证明△AEB≅△ADC；（3）由旋转的性质即可得出△AED是等边三角形；（4）利用HL定理可证△A′N′C′≅△A′M′B′，得∠C′A′N′＝∠B′A′M′，于是∠B′A′C′＝∠M′A′N′＝60∘，由A′B′＝A′C′得△A′B′C′为等边三角形．【解答】连接BC，由网格可知点C在AB的中垂线上，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60∘；∵CD切⊙A于点C，∴∠ACD＝90∘∠ABE＝∠ACD＝90∘，在Rt△AEB与Rt△ADC中，∵AB＝AC，AE＝AD．∴Rt△AEB≅Rt△ADC(HL)；△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60∘得到的．△AED是等边三角形；）①在直线a上任取一点，记为点A′，作A′M′⊥b，垂足为点M′；②作线段A′M′的垂直平分线，此直线记为直线d；③以点A′为圆心，A′M′长为半径画圆，与直线d交于点N′；④过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′，连接A′C′；⑤以点A′为圆心，A′C′长为半径画圆，此圆交直线b于点B′；⑥连接A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求等边三角形．【答案】∵A(−1, 0)，∴OA＝1∵OB＝3OA，∴B(0, 3)，∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为：y＝3x+3；∵二次函数y＝ax2−2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(−1, 0)，与y轴正半轴交于点B(0, 3)，∴c＝3，a＝−1，∴二次函数的解析式为：y＝−x2+2x+3，∴抛物线y＝−x2+2x+3的顶点P(1, 4)；设平移后的直线的解析式为：y＝3x+m∵直线y＝3x+m过P(1, 4)，∴ m ＝1，∴ 平移后的直线为y ＝3x +1∵ M 在直线y ＝3x +1，且设M(x, 3x +1)①当点M 在x 轴上方时，有3x+1x+1=32， ∴ x =13， ∴ M 1(13,2)；②当点M 在x 轴下方时，有−3x+1x+1=32， ∴ x =−59，∴ M 2(−59，−23)； 作点D 关于直线x ＝1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，当−x 2+2x +3＝0时，解得，x ＝−1或x ＝3，∴ A(−1, 0)，P 点坐标为(1, 4)，则可得PD 解析式为：y ＝2x +2，令x ＝0，可得y ＝2，∴ D(0, 2)，∵ D 与D′关于直线x ＝1对称，∴ D′(2, 2)．根据ND′⊥PD ，设ND′解析式为y ＝kx +b ，则k =−12，即y =−12x +b ， 将D′(2, 2)代入，得2=−12×2+b ，解得b ＝3，可得函数解析式为y =−12x +3， 将两函数解析式组成方程组得：{y =−12x +3y =2x +2， 解得{x =25y =145 ， 故N(25, 145)， 由两点间的距离公式：d =√(2−25)2+(2−145)2=4√55， ∴ 所求最小值为4√55．【考点】二次函数综合题【解析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B(0, 3)，根据OB＝3OA，可求出OA的长，也就得出了A点的坐标，然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M作x轴的垂线设垂足为E，在构建的直角三角形AME中，可用M点的坐标表示出ME和AE的长，然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标．（本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D关于直线x＝1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，根据垂线段最短求出QD+QN的最小值．【解答】∵A(−1, 0)，∴OA＝1∵OB＝3OA，∴B(0, 3)，∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为：y＝3x+3；∵二次函数y＝ax2−2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(−1, 0)，与y轴正半轴交于点B(0, 3)，∴c＝3，a＝−1，∴二次函数的解析式为：y＝−x2+2x+3，∴抛物线y＝−x2+2x+3的顶点P(1, 4)；设平移后的直线的解析式为：y＝3x+m∵直线y＝3x+m过P(1, 4)，∴m＝1，∴平移后的直线为y＝3x+1∵M在直线y＝3x+1，且设M(x, 3x+1)①当点M在x轴上方时，有3x+1x+1=32，∴x=13，∴M1(13,2)；②当点M在x轴下方时，有−3x+1x+1=32，∴ x =−59， ∴ M 2(−59，−23)；作点D 关于直线x ＝1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，当−x 2+2x +3＝0时，解得，x ＝−1或x ＝3，∴ A(−1, 0)，P 点坐标为(1, 4)，则可得PD 解析式为：y ＝2x +2，令x ＝0，可得y ＝2，∴ D(0, 2)，∵ D 与D′关于直线x ＝1对称，∴ D′(2, 2)．根据ND′⊥PD ，设ND′解析式为y ＝kx +b ，则k =−12，即y =−12x +b ， 将D′(2, 2)代入，得2=−12×2+b ，解得b ＝3，可得函数解析式为y =−12x +3，将两函数解析式组成方程组得：{y =−12x +3y =2x +2， 解得{x =25y =145 ， 故N(25, 145)， 由两点间的距离公式：d =√(2−25)2+(2−145)2=4√55， ∴ 所求最小值为4√55．【答案】真（2）∵ ∠C =90∘，则a 2+b 2=c 2①，∵ Rt △ABC 是奇异三角形，且b >a ，∴ a 2+c 2=2b 2②，由①②得：b=√2a，c=√3a，∴a:b:c=1:√2:√3；（3）∵ ①AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90∘，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，̂的中点，∵点D是半圆ADB∴AD̂=BD̂，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇异三角形；②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2，当△ACE是直角三角形时，由（2）得：AC:AE:CE=1:√2:√3或AC:AE:CE=√3:√2:1，当AC:AE:CE=1:√2:√3时，AC:CE=1:√3，即AC:CB=1:√3，∵∠ACB=90∘，∴∠ABC=30∘，∴∠AOC=2∠ABC=60∘；当AC:AE:CE=√3:√2:1时，AC:CE=√3:1，即AC:CB=√3:1，∵∠ACB=90∘，∴∠ABC=60∘，∴∠AOC=2∠ABC=120∘．∴∠AOC的度数为60∘或120∘．【考点】圆的综合题【解析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义容易得出结果；（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；（3）①根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，求出AD=BD，求出AC2+CB2=2AD2，把CB=CE，AE=AD代入求出AC2+CE2=2AE2即可；②利用（2）中的结论，分别从AC:AE:CE=1:√2:√3与AC:AE:CE=√3:√2:1去分析，即可求得结果．【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴ “等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题；（2）∵∠C=90∘，则a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b>a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=√2a，c=√3a，∴a:b:c=1:√2:√3；（3）∵ ①AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90∘，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵点D是半圆ADB̂的中点，∴AD̂=BD̂，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇异三角形；②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2，当△ACE是直角三角形时，由（2）得：AC:AE:CE=1:√2:√3或AC:AE:CE=√3:√2:1，当AC:AE:CE=1:√2:√3时，AC:CE=1:√3，即AC:CB=1:√3，∵∠ACB=90∘，∴∠ABC=30∘，∴∠AOC=2∠ABC=60∘；当AC:AE:CE=√3:√2:1时，AC:CE=√3:1，即AC:CB=√3:1，∵∠ACB=90∘，∴∠ABC=60∘，∴∠AOC=2∠ABC=120∘．∴∠AOC的度数为60∘或120∘．【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE=√BE2−BC2=√152−122=9∴DE=6，∵∠EAD+∠BAE=90∘，∠BAE=∠BEF，∴∠EAD+∠BEF=90∘，∵∠BEF+∠F=90∘，∴∠EAD=∠F∵∠ADE=∠FBE∴△ADE∽△FBE，∴ADBF =DEBE，12 BF =615，∴BF=30；（2）①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，∴F′NF′G =HNEG，即630=HN15，解得：HN=3，∴S△AMH=12⋅AM⋅MH=12×12×24=144；②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，∴GBGB′=EBB′C′，即30−GB′GB′=312，解得：GB′=24，∴S△B′C′G=12⋅B′C′⋅B′G=12×12×24=144，∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【考点】几何变换综合题【解析】（1）先证明△ADE∽△FBE，利用相似的性质得BF；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt△F′HN∽Rt△F′EG，利用相似三角形的性质，求得HN，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt△F′HN∽Rt△F′EG，利用相似三角形的性质，求得HN，利用三角形的面积公式得结果．【解答】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE=√BE2−BC2=√152−122=9∴DE=6，∵∠EAD+∠BAE=90∘，∠BAE=∠BEF，∴∠EAD+∠BEF=90∘，∵∠BEF+∠F=90∘，∴∠EAD=∠F∵∠ADE=∠FBE∴△ADE∽△FBE，∴ADBF =DEBE，12 BF =615，∴BF=30；（2）①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，∴F′NF′G =HNEG，即630=HN15，解得：HN=3，∴S△AMH=12⋅AM⋅MH=12×12×24=144；②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，∴GBGB′=EBB′C′，即30−GB′GB′=312，解得：GB′=24，∴S△B′C′G=12⋅B′C′⋅B′G=12×12×24=144，∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．。