考单招——上高职单招网2016西安航空学院单招数学模拟试题(附答案)一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知{}{}2|21|3,60A x x B x x x =+>=+-≤，则A B =I （ ）A ．[3,2)(1,2]--UB ．(3,2](1,)--+∞UC ．(3,2][1,2)--UD ．(,3](1,2]-∞-U2．下列正方体或正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 （ ）A B C D3．直线cos1sin10x y -=的倾斜角的大小是（ ）A ．1B ．12π+C ．12π-D ．12π-+4．如图所示，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）PQ SRPQSRPQSRPQSR考单招——上高职单招网A ．13种B ．12种C ．10种D ．14种5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若100101OB a OA a OC =+u u u ru u u ru u u r，且 A B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 （ ） A ．100B ．101C ．200D ．2016．设,,a b c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c -≤-+- B ．2211a a a a+≥+ C ．12a b a b -+≥- D ．312a a a a +-+≤+-7. 连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量(,)(1,1)a m n b ==-u u ru u r，，若ABC ∆中ABuuu r与a u u r同向，CB u u u r与b u u r反向，则ABC ∠是钝角的概率是（ ）A ．512 B ．712 C ．12 D ．138．设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3231x y x +++取值范围是（ ）A ．[ 1，5 ]B ．[ 2，6 ]C ．[ 1，10 ]D ．[ 3，11 ]9．在平面直角坐标系中，点P 在直线1x =-上运动，点Q 满足22x t t R y t +⎧=∈⎨=⎩（）．若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为（ ） A ．6B ．332C ．10D ．2210．定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0()(1)1()()52x f f x f x f f x =+-==，，，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤．则1()2008f 等于（ ）考单招——上高职单招网A ．12008B ．116 C ．132D ．164第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案填写在题中横线上） 11．命题“lg a b a b >>若，则lg ”的否命题为 ． 12．二项式43(2)3n x xπ-*n N ∈（其中）的展开式中含有非零常数项，则n 的最小值为 ．13. 曲线3||y x =和2cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（[0,2)απ∈）所围成的较小区域的面积是 ．14．设椭圆22221x y a b+=（a > b > 0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 ． 15．设函数()||f x x x bx c =++，给出下列命题：①00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实数根；②0c =时，()y f x =是奇函数；③方程()0f x =至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为 ．16．路灯距地面为8米，一个身高为1.7米的人以每秒1.4米的速度匀速地从路灯的正底下沿某直线离开路灯，那么人影的变化速率为 ．三、解答题（本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分13分）已知向量(2cos ,tan ())4a x x π=+u u r ，(2sin(),cot ())44b x x ππ=+-+u u r ，记()f x a b =u u r u u r g ．(1) 求函数()f x 的最大值，最小正周期； (2) 作出函数()f x 在区间[0，π]上的图象．考单招——上高职单招网18．（本题满分13分）一次考试中共 12道选择题，每道题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案．每题答对得5分，不答或答错得0分．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题可以判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜． (1) 分别计算出该考生得50分、60分的概率； (2) 列出该考生所得分数ξ的分布列并求其数学期望．19．（本题满分13分）在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，F 是1DD 的中点．(1) 求证：CF ∥平面1A DE ；(2) 求点A 到平面1A DE 的距离；(3) 求二面角1E A D A --的平面角的大小（结果用反余弦表示）．20. （本大题满分13分）设函数22()(1)ln (1)f x x x =+-+．(1) 求()f x 的单调区间；(2) 若关于x 的方程2()f x x x a =++在区间[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．21．（本大题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率等于255． (1) 求椭圆C 的方程；FE 1AB1C1D1BAC D考单招——上高职单招网(2) 过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．若1MA AF λ=u u u u r u u u u r ，2MB BF λ=u u u u r u u u r，求证：12λλ+为定值．22. （本大题满分12分）在数列{}n a 中,()()2222121,...*,2491n n n n a a n n N n n ==++++∈≥-．证明：(1) 当2n ≥时，1221(1)n n a a n n ++=+； (2) 当1n ≥时,123111111114na a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．参考答案一、选择题 ADDAA CADBC二、填空题11.,lg a b a b ≤≤若则lg ; 12.7; 13．3π ; 14．12 ; 15．①②; 16．1745.三、解答题：17. ⑴∴()22cos sin()tan()cot()444f x a b x x x x πππ=⋅=+-++r r22cos sin 2cos 1sin 2cos 22sin(2)4x x x x x x π=+-=+=+……………6分()x f 的最大值为2， 最小正周期π=T ……………8分考单招——上高职单招网⑵略。

……………12分18. 解:(1)设”可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A,”有一道题可以判断一个选项是错误”选对的为事件为B,“有一道不理解题意”选对的为事件C,111(),(),()234P A P B P C ∴===, ………..(3分)∴得50分的概率为11221123111311211722342234223448P C C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=; ……..(5分 )得60分的概率为11111223448P =⋅⋅⋅=. ……(7分) (2)得40分概率为11231223448P =⋅⋅⋅=; 得45分的概率为121123111311211722342234223448P C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=; 得55分的概率为12111311211113722342234223448P C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. ……….(11分)所以6177157540(4550)556047.924848484812E ξ=⋅++⋅+⨯+⋅=≈ …………(13分)19.解: (1)取1A D 中点G 连接FG 与GE ,则易证四边形FGEC 是矩形.所以//FC GE ,又FC ⊄⊂11面A DE ，GE 面A DE ，所以1//FC A DE V . ………….(4分)(2)易算得, ,115,22,3DE A D A E ===, 所以由余弦定理得1110310cos ,sin 1010A DE A DE ∠=∠=,则1111sin 32A DES A D DE A DE ∆=⋅∠=又122ADE ABCD S S ∆==正方形, …………(6分)考单招——上高职单招网用等积法:11A A DE A ADE V V --=,得点A 到平面DE A 1的距离为43. ………….(8分) (3)取边AD 的中点P ，连接PE ，易知1PE A AD ⊥面，则1PA D V 是1A DE V 在上的射影。

…………..(10分)计算得111,3PA D A DE S S ==V V ，所以二面角A D A E --1的平面角θ的余弦值为1cos 3θ=, ……………(12分)1arccos 3θ=. ……………(13分)20. 解：⑴定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U ， 因为12(2)()2[(1)]11x x f x x x x +'=+-=++ ……………..…(2分 ) 所以，当21x -<<-或0x >时，()0f x '>当2x <-或10x -<<时，()0f x '< …………………(4分) 故()f x 的单调递增区间是(2,1)--和(0,)+∞ …………………… (5分) ⑵由2()f x x x a =++得：21ln(1)0x a x -+-+=，令2()1ln(1)g x x a x =-+-+， ……………………(7分) 则()1g x '>或21()111x x g x x x -'<=-=++ 所以1x <≤2时，()0,0g x '>≤1x <时，()0g x '<故()g x 在[0,1]上递减，在[1,2]上递增 …………………..（9分）要使2()f x x x a =++在[0,2]恰有两相异实根，则必须且只需(0)0(1)0(2)0g g g ≥⎧⎪<⇒⎨⎪≥⎩考单招——上高职单招网1022ln 2022ln 232ln 332ln 30a a a a -+≥⎧⎪--<⇒-<≤-⎨⎪--≥⎩则(22ln 2,32ln 3]a ∈-- ……………..(12分）21.(1).设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>,则由题意得1b =. ……..(2分)222255a b a -∴=,即212515a -=,所以25a =. ………………….(4分) 故椭圆C 的方程为2215x y +=. ………………………….(5分) (2).设点,,A B M 的坐标分别为()()()11220,,,,0,x y x y y . 易知点F 的坐标为()2,0.1,MA AF λ=u u u r u u u r Q ()()11011,2,x y y x y λ∴-=--,则0111112,.11y x y λλλ==++ 将点A 的坐标代入到椭圆方程中,得22011121()() 1.511y λλλ+=++化简得2211010550y λλ++-=. …………………………….…..(8分) 同理,由2MB BF λ=u u u r u u u r 得2222010550y λλ++-=, 所以,12,λλ是方程22010550x x y ++-=的两个根, …………….…..(11分)1210.λλ∴+=- …………….…..(12分)22.(1).当2n ≥时,22221111,23(1)n a n n =+++++-L 所以, 1222222211111(1)23(1)1.n n a n n n a n n +=+++++++-=+L ……………………(3分)考单招——上高职单招网故1221(1)n n a a n n ++=+. ………………………(5分) (2).当1n =时,11124a +=<,结论成立; ……………………..(6分) 当2n ≥时,312123123111111111111n n n a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+⋅++=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭LL 3121123411111()n n n a a a a a a a a a a ++++++=⋅⋅⋅L ……………………..(8分) 22221222211234()14345(1)n n a n ++=⋅⋅⋅⋅⨯+L 1222211122(1)(1)23n a n n +=⋅=+++++L111211223(1)n n ⎡⎤<++++⎢⎥⋅⋅-⋅⎣⎦L …………………….(10分)1111121(1)()()22311224n n n ⎡⎤=+-+-++-⎢⎥-⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭<L 综上述,对任意1n ≥,不等式成立. ………………………….(12分)。