由曲线 y=f (x),直线x=a, x=b
y y=f(x)
以及 x 轴所围成的平面图形,
称为曲边梯形.
Oa
bx
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下面讨论曲边梯形的面积.
作法：
y y=f(x)
（ｉ）分割
在区间 [ a, b] 内任取n-1个分点，它们 O
a x1 xi-1 xi xnb
x
依次为 a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－１＜xn=b,
(3) 以ｄΦ＝f（x）dx作为被积表达式，得到所求量
的积分表达式:
Φ＝
b
f ( x )dx.
a
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用上述步骤来建立积分表达式的方法通常称为微元法
（或元素法）,其中ｄΦ＝f(x)dx为所求量的元素. 在实际问题中，若所求量为面积，则称ｄΦ＝f(x)dx
为面积元素,所求量为功，则称ｄΦ＝f（x）dx为功元素.
△Φ≈ f(x)△x， 且当△x 趋于零时,△Φ－f(x)△x =o(△x). 从而ｄΦ＝f(x)dx.
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对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线 弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为:
△Ｖ≈A（x）△x，并有dV= A（x）dx；
△A≈ y △x，并有dA= y dx；
△s≈ 1 y2△x，并有ds= 1 yd2x.
分别作垂直于x轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭
带.当△x很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，
即，
△s≈ f x f x x x2 y2
= 2 f ( x ) y
1
y x
2
x
其中，△y=f(x+△x)-f(x).
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由于
lim y 0, lim
x0
x0
1
y 2 x
= 2
b f x
dx2 dy2 = 2
y( t )ds
T 0 i 1
a
f ( x )dx.
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引入问题：上述过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个 实际问题如何直接利用定积分表示呢？
我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是 第二步. 这一步是确定的近似值. 完成了这一步，再求和 取极限，从而求得Φ的精确值. 在实际应用中, 为简便起见
省略下标i，用△表示[a，b]上任一小区间[x，x+△x]上的
这些点把[a,b]分割成n个小区间[xｉ－１,xi], i=1,2,… n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1
把曲边梯形分割成n个小曲边梯形.
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（ii）近似求和
y
在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 i ,
作以f( i)为高，[xi-1,xi]为底的小矩形.
y=f(x)
当分割[a,b]的点分点较多,又分割
O
a b x1 xi-1i xi xn
x
得较细密时,由于f为连续函数,它在每个小
区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似
替代相应小曲边梯形的面积. 于是, n 个小矩形面积之
和就可作为该曲边梯形面积S的近似值,即
n
S f (i )xi ( xi xi xi1 ). i 1
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（iii）取极限
Φ= ∑△Φ≈∑ f（x）dx
取极限, 得：
lim T 0fຫໍສະໝຸດ (x)dx
b
a
f
(
x
)dx .
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一般地，我们归纳出所求量Φ的积分表达式的步骤.
(1) 选取积分变量及变化区间；
(2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小
区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的
部分量△Φ的近似值 ｄΦ＝f（x）dx；
窄曲边梯形的面积:
Φ= ∑△Φ
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取任一小区间[x，x+△x]上的左端点为ξ，这样△Φ
的近似值为以点x处的函数值 f (x)为高,△x为底的矩形面
积，即
△Φ ≈ f (x)△x = f (x)dx.
由于当△x趋于零时,△Φ - f(x)△x = o(△x ),根据微分
定义知， dA=f(x)dx.于是,
(3)
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如果光滑曲线Ｃ由参数方程 x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]
且 y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕 x 轴旋转所得
旋转曲面的面积为
S 2
y(t )
x2(t ) y'2(t )dt.
(4)
事实上，由（２）知，
S
2
b
a
f
x
1
f
2
xdx
=
b
2 a
f
x
1 ( dy )2 dx dx
注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a, b]
的分割,又与所有中间点 i( i=1,2,…，n）的取法
有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a, b]无限细 分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi,
中间 i 点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯
形的面积S.
lim n
b
S
f ( i ) xi
§4 旋转曲面的面积
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似 求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式.但为简 便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”. 本节将采 用此法来处理.
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一、微元法
为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义 时引入的例子——求曲边梯形的面积问题.
设 f 为闭区间[a，b]上的连续函数，且 f（x）≥0.
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二、旋转曲面的面积
这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的面积公式. 设平面光滑曲线C的方程为 y f (x), x [a,b] （不妨设 f(x)≥0）这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面.
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下面用微元法导出它的面积公式.
（1） 积分变量x, 变化区间[a,b];
（2） 任取[a, b]上小区间[x, x+△x],通过x轴上点x与x+△x
1 f '2 (x)
以及 f '(x) 连续，可以保证：
2 f (x) y
1
y x
2
x
2
f
x
1 f 2(x)x ox.
所以得到， dS
2
f
x
1 f 2 xdx.
（3） 以 dS 2 f x 1 f 2 xdx, 为被积表达式，
得旋转曲面的面积公式
S=
2
b
a
f
x
1 f 2 x dx.
显然，微元法要比按“分割，近似求和，取极限”三 个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问题的所求量 满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？
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可以用微元法的条件： （1） 所求量Ф关于分布区间必须是代数可加的，即若把区间
[a,b]分成许多部分区间，则所求量Ф也相应地分成许多
部分量，且所求量等于部分量之和Φ= ∑△Φ； （2） 能把Ф的微小增量△Ф 近似地表示为△x的线性形式