要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为 的终边与单位圆的交点到 轴的垂直线段；
余弦线在 轴上；
正切线在过单位圆与 轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．已知角 的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin ，cos ，tan 的值．
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论
【答案】 ， ， 或 ， ，
【解析】 ．
若a＞0，则 =5a， 是第二象限角，则
，
，
，
若a＜0，则 =－5a， 是第四象限角，则
， ， ．
【总结升华】本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想．三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题．
举一反三：
【变式1】已知角 的终边在直线 上，求sin ，cos ，tan 的值．
【答案】 或
【解析】因为角 的终边在直线 上，
所以可设 为角 终边上任意一点．
则 （a≠0）．
若a＞0，则 为第一象限角，r=2a，所以
，
，
．
若a＜0，则 为第三象限角，r=－2a，所以 ， ， ．
类型二：三角函数的符号
举一反三：
【变式1】求证：当 时，sin ＜ ＜tan ．
【证明】如图，设角 的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin =MP；
在Rt△AOT中，tan =AT．
又根据弧度制的定义，有 ．
例5．求函数 的定义域．
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式．
【答案】
【解析】由题意得 ．
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分．
从终边落在双重阴影部分的角中排除使 的角即为所求．
∴该函数的定义域为：
任意角的
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题．
【要点梳理】
要点一：三角函数定义
设 是一个任意角,它的终边与半径是 的圆交于点 ,则 ，那么:
故满足条件的角 的集合为 ．
（2）作直线 交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角 的终边的范围．
故满足条件的角 的集合为 ．
【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如 或 的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．
类型四：三角函数定义域的求法
（2）比较sin1155°与sin（―1654°）的大小．
【答案】（1）略（2）>
【解析】（1）①作直线 交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角 的终边，如下图①．
②作直线 交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角 的终边．如下图②．
③在直线x=1上截取AT=2，其中点A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角 的终边．如下图③．
(1) 做 的正弦,记做 ,即 ；
(2) 叫做 的余弦,记做 ,即 ；
(3) 叫做 的正切,记做 ,即 .
要点诠释：
（1）三角函数的值与点 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离 ,那么 , , ．
（2）三角函数符号是一个整体，离开 的sin、cos、tan等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin、cos、tan与 的积．
【总结升华】（1）三角函数线可以用来求出满足形如 的三角函数的角 的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的．
（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小．
（2）先化成0°～360°间的角的三角函数．
sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,
sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°．
在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M2P2，M1P1（如图）．
因为M1P1＜M2P2，所以sin1155°>sin（－1654°）．
∴ （k∈Z）．
∴函数的定义域为 ．
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即 ，
即sin ＜ ＜tan ．
例4．在单位圆中画出满足下列条件的角 的终边范围，并由此写出角 的集合：
（1） ；（2） ．
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解．
【解析】（1）作直线 交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角 的终边的范围．
∴tan120°·sin269°＞0．
（3）∵191°是第三象限的角，
∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0．
举一反三：
【变式1】确定下列各三角函数值的符号.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ，其中 是第二象限角.
【答案】（1）正（2）正（3）正（4）正（5）正（6）负
（2）因为 为第二象限，所以sin ＞0，cos ＜0，tan ＜0，所以3sin cos +2tan ＜0．
（3）因为sin ＜0，所以 为第三或第四象限角，
又cos ＞0，所以 为第一或第四象限角，
所以 为第四象限角．
类型三：三角函数线的应用
例3．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边．
① ；② ；③tan =2；
要点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．
要点三：单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角 的顶点在圆心O，始边与 轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直 轴于M，作PN垂直 轴于点N.以A为原点建立 轴与 轴同向，与 的终边(或其反向延长线)相交于点 (或 )，则有向线段0M、0N、AT(或 )分别叫作 的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
【变式2】（1）若sin =―2cos ，确定tan 的符号；
（2）已知 为第二象限角，判断3sin cos +2tan 的符号；
（3）若sin ＜0，cos ＞0，则 是第几象限角？
【答案】（1）负（2）负（3）四
【解析】（1）由sin =―2cos ，知sin 与cos 异号，故 是第二或第四象限角．当 是第二象限角时，tan ＜0；当 是第四象限角时，tan ＜0．综上知，tan ＜0．
例2120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°．
【答案】（1）正（2）正（3）正
【解析】（1）因为 ，且 是第三象限角，所以 是第三象限角．所以 ．
（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0．
∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0．
．
【总结升华】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义．（2）不可忽略正切函数自身的定义域 ．
举一反三：
【变式1】求函数 的定义域：
【答案】
【解析】要使函数有意义，需tan x≠0，
∴ （k∈Z）且x≠kπ（k∈Z）