教材矩阵习题及答案2 3 -2 -3-2 -3\^2/ d 丿答案你彳 +a…x； +如3疋 +2U..X.X. +2a^x.x 3 +2a^x,x 3⑴初=34吗？ 解 AB^BA a因为R, BA=(j 劲 ⑵(A + B)2 = A ，+2A3 + B2 吗? 解 (A + B)2^A 2+2AB + B2习题2.1K4、21.设人= 答案 12 4 、2 37 1 -3 10 0 017 10 155\0 ,求A + B y 2A + 3B 5>2・求(1 13) 2 , -1 (2 3 kb I j丿1)3 1 )(2 1 4 0) 0 -1 211-13 4；1 -3 1u 0 —2丿3. 答案6 -7 20 -58 -6•11z (\ -23zd 5.答案（13）,1 ]-1 -b因为A+B=25 221解A2=‘11<1 2 8.设4 = 01-1 、B = -1 -2U一1 ］丿23 -4 ,分别求 A T B, B T A, A TBT, (AB)T O(Z)吨现鈞=( A- + 2AB + B~=C^ fJ+( (3) (A + B)(A -B) = A 2-B 2吗？ 解(A +B)(A_B)H A?"因为A +B =G 剤,A-B=Q 寻G4+B)(A_B)=G 缢 I 3 2)=(?A 2-B 2 = 2 8)L 7f6举反列说明下列命题是错误的： (1)若 A 2 = 0» 贝ijA = 0o 0 1) o or解取冶= ⑵若 A2 = A,则 A = E,或4 = 0。
1uo o 丿⑶若 AX=AY,且A HO,则X=Y 。
解取解取4 =，求A\A ・・・Ao7•设 A =1 1) 0 JA 3=A 2A=(1 0丫1 1 0) ⑵1人；I 1丿一⑶1/0 0 -1 ,011如果矩阵A3均为n 阶方阵.且AB = BA,求证:(1) (A-B)2 =A 2-2AB + B 2； (2) (A + B)(A-B) = A 2-B 2； (3) (A - B)3 =A 3 -3A 2B + 3AB 2 - B 2Q习题2.21. 试证：两个上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵。
2. 如果A 为实对称矩阵，且A'=O,那么A = O 。
3. 设矩阵AB 均为”阶方阵，且人为对称矩阵，证明B‘ AB 也是对称矩阵。
4. 设均为兀阶对称矩阵，试证AB + BA 也是对称矩阵。
5. 设均为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是AB = 34 °6. 设A 为反对称矩阵，B 为对称矩阵试证： （1） 是对称矩阵，A’是反对称矩阵。
（2） AB — BA 是对称矩阵，AB + BA 是反对称矩阵。
（3） AB 是反对称矩阵的充要条件是A3 = 34。
习题2・3<1 44、 1'1 0 P5 -5 1、/ 答案"B 二 0 -2 -2,B TA =4-2 4 ,A T BT =0 1 1,(AB)T =<14 5,<4 -2 5 丿J -2 1J\-1-4-5 9.设4 = (-1 0 9 2 34 0 0 2 2 06 5 0 ，求|-3外卜叭，同+冋答案 405,-600,25 10•设A 为〃阶实方阵，且人4丁=E,证明 |A| = ±lo0 0 -1,0（\1.用分块矩阵计算Q10 2 0 2 10 0、丿5 2 0 0则3238-25-zr1\3285n-、——丿解2512-325-25-AB852152(2)<1 2 0 0 0、3 5 0 0 00 0 4 0 00 0 0 2 0<o 0 0 3 4丿..\oOoOo3•设c阶矩阵川及s阶矩阵万都可逆，求则AooccAB/i\-Xu/GC4A-oOB-----GQGG厂L—丿、o&----GqGAY _（o 沪） o ） _1肝 o \人、・•• （备易……人都不为0）的逆矩阵。
5・解下列矩阵方程：⑴（阶州 解F 釦d 有訓卄（疋\|311 11--4O-211-4\)/O2、 丿1 O1 4 z /fl \-、— ——111 1 -22 1z r25 28-314-132-1z f l \X1 -Z /H KOJ/IX所以4・求<40丫丫1 -4 3丫16.利用逆矩阵解下列线性方程组:X 1 + 2X 2+3X 3 = 1(I )< 2Xj+2x 24-5x 3 = 2；3西+5无+召=3方程组可表示为(\2(3(x i“2*1< =0.^=0X 1-X 9-X 3 = 2 (2) 2X 1-X 2-3X 3=1 .3X }+2X 2-5X 3=07. 求证：（1）如果4是可逆的上（下）三角矩阵，那么4"也是上（下）三角矩阵。
（2）如果A 是可逆的对称（反对称）矩阵，那么q"也是对称（反对称）矩阵。
8. 设矩阵A 可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且（加尸=（A"）*°0 1 解 X= 1 0(0 0 (0 1=1 0,0 0 11丿2 0-10 1-2 ° 丿(0 o or*Yi o o'(2 —1 0 \ 0 0 1 —— 1 3 -4 Ao 1 0 丿1 0 -2, X /\fl 2 3) -i⑴—2 2 5 2 = 0 /<3 5 1；3I 3从而有 解故有2证明 由人一1=丄人貧得月心zl < 所以当月可逆时，有\A\I =才，| = | 川 ~工0,从而力*也可逆.因为A*=\A\A~\所以（力*） ~'=\A\ ~lA.又 A=J -^[J （A-,）*=IAI （A-1）*,所以（力*） - = | I~'A = H HI （肝）*= U -1） *•习题2・41.把下列矩阵化为行最简形矩阵:-1 1 3 -r1 (下一步：r ：+ (-2)r b 芯+(-3)IY )5-3 02 -1 -2-r 3 6丿(下一步：22-(-1), r 3-(-2).) 2 -1、 1 -312 -八1 -3 （下—步：耳-2r :.） 0 °丿0 0 0（下—步：匕- 12.）A 7 3 8 6 0 ---1 4 8 6 0 - 1 3 4 3 5 --- -1O o O（下—步：匕*（一4），少（一3）,厂*（一5）.）（下一步: ri 一3匕，r-r z.)-1 0 2 -3 0 1 -2 20 00 0 2 3 1 -3 -7(0 2 -3 1) ⑵ 0 3—43 (0 4 -7 -1J(0 2 -3 l\ 解 0 3 -4 3 (下一步：匕x2+(-3)岛匕+(-2)乩)(0 4 -7 -1J(0 2 -3 1、0 0 1 3 (下一步：r 3+r ：,匕+3匕.) ,0 0 -1 —3丿(0 2 0 10)0 0 13 (下一步：竝-2.) (0 0 0 0丿fl -1 3 -4 3) 3-35-4 1 2-23-2 0,3 -3 4 -2 一1丿 fl -1 3 -4 3) 3-35-4 1 2-23-2 0 (3 -3 4 -2 -1J\ /5 3 0 O 1 O 1 o O o o O zr L\(下一步：zt-3ri ? z^-2r ：, n-3ri.-1 3 -4 3、 0 1-22 0 1-220 1 —2 2丿1 2 0-2-4 3-28 3 0 _3 7 43丿22.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:（3 2 1） （1） 3 1 5 ； （ 3 2 3丿[3 2 1 1 0 0、(3 2 1 1 0 0]解 3 15 0 100-14-1 1 03 2 3 0 0 k10 0 2 -1 0 12 3 1 1 2 0 3-2 8 -3 7 -3 —7) -2 -4 3 04 3丿（下一步：r-2r z ,匕-3吃厂-2花.fo -11 2 0 -8 (0-7-4 12(下一步：r ：+2ri, r 5-8r b ri-7r ：.) (0 -1 1 1 1)2 0 -2 )1 4 )1 4丿(下一步：2102^, 2sX (-l), UF.f 1 0 2 0 01-1-1 0 0 0 1 ,0 0 0 0-2\ -1 4 （下一步:r ：+r 3.）2」4 O 1 O o O o O o O m\\27/2 2 -9/2> 2/21/211oO 1 0 4 0/ 11 -21 3/ 2/3-1O/6-1(3 01°fl 0〔故逆矩阵为、3 -221-2 -r3 -2 0 -1 1 0 0 0] 解0 2 2 1 0 1 0 0 1 -2 -3 -20 0 1 01 2 10 0 0 1丿<1 -2 - A -2 0 0 1 02 010 0 0 10 41 0 -3 020 1 0 01-2-3 -20 12 1 0 0 11 f 0 -2 -1提示:设AX =B,(A\B)^(E\X)Q0 23 2-3 010 z r l x2)[10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 \故逆矩阵为 111 1 0 1 -1 -12 1 -4-1OJ 11-3・试用初等行变换解矩阵方程: 14 0 --10 3 64 J6 O -1 1 3、<4 0 2、-1 1 2 X = 2 -1 1 、1 0 b25 b0 0 0 0 1 0 0 10 14 2 --10 3 0<-1 -4 0、答案-7 -23 -1<4 9 1 >复习题与答案一、单项选择题1.对于”阶可逆矩阵A , B,则下列等式中( )不成立.(A) |(AB)_,|=|A-,|-|B-,|(B) | = (1 /\A~1 |)-(1 /\B~1 I)(C) |(AB)-,| = |A|-，-|B|_，(D) |(AB)-'| = 1/|AB|答案B2..设A是上(下)三角矩阵，那么A可逆的充分必要条件是q的主对角线元素为( ).(A)全都非负(B)不全为零(C)全不为零(D)没有限制答案C^21 “22^23、"0 1 O' 3.设A =（s）»3，B =a1 0 0u a\2 a\i<a3\ +"11 a i2 +a\2°33 +53 丿0 L ‘10 0、P2 = 0 1 0 ,那么（）.<1 0 L(A) AP l P2=B (B) AP,P{ =B (C) P{P2A = B (D) P2P l A = B答案C4.如果A为三阶方阵，且|A|=2,则卜［=( )。