第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t25.1e0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。
解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程)t (r )t (r )t (c )t (c T +τ=+••近似描述，其中，1)T (0<τ-<。
试求系统的动态性能指标s r d t ,t ,t 。
解 设单位阶跃输入ss R 1)(= 当初始条件为0时有：1Ts 1s )s (R )s (C ++τ= 1Ts T s 1s 11Ts 1s )s (C +τ--=⋅++τ=∴ T/t e T T 1)t (h )t (c -τ--==T )0(h τ=，1)(h =∞，20T T )]0(h )(h [05.0τ-=-∞=∆1) 当 d t t = 时2TT e T T 1)]0(h )(h [5.0)0(h )t (h t /t d τ+=τ--=-∞+=-T /t d e 21-= ; 693T .0t d = 2) 求r t （即)t (c 从1.0)(h ∞到9.0)(h ∞所需时间)当T/t 2eTT 1)0(h )]0(h )(h [9.0)t (h -τ--=+-∞=; 当T/t 1eTT 1)0(h )]0(h )(h [1.0)t (h -τ--=+-∞=; )T 1(.0T lnT t 2τ+τ-=， τ+τ-=)T 9(.0T ln T t 1则 2T .29ln T t t t 12r ==-=3) 求 s tT/t s s eTT 1)0(h )]0(h )(h [95.0)t (h -τ--=+-∞= 3T 05.ln0T t s ==∴3-3 一阶系统结构如图所示。
要求系统闭环增益2k =Φ，调节时间4.0t s ≤s ，试确定参数21k ,k 的值。
解 由结构图写出闭环系统传递函数1k k sk 1k k s k sk k 1s k )s (212211211+=+=+=Φ闭环增益2k 1k 2==Φ， 得：5.0k 2= 令调节时间4.0k k 3T 3t 21s ≤==，得：15k 1≥。
3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 下图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。
解 （1）对（a ）系统：1s 1011s 10K )s (G a +=+=， 时间常数 10T = 632.0)T (h = （a ）系统达到稳态温度值的%需要10个单位时间；对（b ）系统：1s 10110101100101s 10100)s (b +=+=Φ， 时间常数 10110T =632.0)T (h = （b ）系统达到稳态温度值的%需要个单位时间。
（2）对（a ）系统： 1)s (N )s (C )s (G n ==1.0)t (n =时，该扰动影响将一直保持。
对（b ）系统： 101s 101s 101s 1010011)s (N )s (C )s (n ++=++==Φ 1.0)t (n =时，最终扰动影响为001.010111.0≈⨯。
3-5 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0<%5%≤σ，调节时间 s 3t s <，峰值时间s 1t p <，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解 依题 %5%≤σ， )45(707.0︒≤≥⇒βξ；35.3<=ns t ωξ， 17.1>⇒n ωξ；(1) 若)t (1)t (r =，0)t (n =两种系统从响应开始达到稳态温度值的％各需 多长时间(2) 当有阶跃扰动1.0)t (n =时，求扰动对两种系统的温度的影响。
np t ωξπ21-=1<， 14.312>-⇒n ωξ综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。
3-6 电子心脏起博器心律控制系统结构如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。
解 依题，系统传递函数为 2n n 22n2s 2s 05.0K s 05.01s 05.0K)s (ω+ξω+ω=++=Φ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ω⨯=ξ=ωn n 205.0105.0K令 5.0=ξ可解出 ⎩⎨⎧=ω=2020K n将 s 1t =代入二阶系统阶跃响应公式()β+ωξ-ξ--=ξω-t 1sin 1e 1)t (h n 22t n可得 m in 00145.60s 000024.1)1(h 次次==5.0=ξ时，系统超调量 %3.16%=σ，最大心速为 min 78.69s 163.1163.01t (h p 次次）==+=3-7 机器人控制系统结构如图所示, 试确定 参数21k ,k 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0t p =s ，超调量%2%=σ。
解 依题，系统传递函数为12122212121(1)G()(1)(1)21(1)n n n K K K s s s K K s s K K s K s s s s ωξωωΦ+===++++++++ （1） 若5.0=ξ对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大 （2） 若期望心速为60次/min ，并突然接通起博器，问1s 钟后实际心速为多少瞬时最大心速多大由 ⎪⎩⎪⎨⎧=ωξ-π=≤=σξ-πξ-5.01t 02.0e n 2p 1oo 2 联立求解得 ⎩⎨⎧=ω=ξ1078.0n比较)(s Φ分母系数得⎪⎩⎪⎨⎧=-ξω==ω=146.0K 12K 100K 1n 22n 1 3-8 下图(a)所示系统的单位阶跃响应如图(b)所示。
试确定系统参数,k 12k ，a 和闭环传递函数)s (Φ。
解 由系统阶跃响应曲线有⎪⎩⎪⎨⎧=-=σ==∞oo o op 3.333)34(1.0t 3)(h系统闭环传递函数为2nn 22n21221s 2s K K as s K K )s (ω+ξω+ω=++=Φ （1） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧==σ=ωξ-π=ξ-ξπ-o o 1oo n2p 3.33e 1.01t 2联立求解得 ⎩⎨⎧=ω=ξ28.3333.0n 由式（1）⎩⎨⎧=ξω==ω=222a 1108K n 2n 1另外 3K K as s K K lim s 1)s (s lim )(h 212210s 0s ==++=⋅Φ=∞→→ 56.110796s .21s 68.3322)s (2++=Φ3-9 已知系统的特征方程为D(s)，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。
（1） 0100s 24s 8s )s (D 23=+++= （2） 02s s 5s 10s 3)s (D 234=++++=(3) 010s 11s 4s 2s 2s )s (D 2345=+++++= (4) 048s 32s 24s 12s 3s )s (D 2345=+++++= (5) 05s 2s 4s 2s )s (D 234=-++-= 解 （1） 0100s 24s 8s )s (D 23=+++=Routh ： s 31 24 s2 8 100 s 1 92 s0 100 第一列同号，所以系统稳定。
（2） 02s s 5s 10s 3)s (D 234=++++=Routh ： s 43 5 2s 3 10 1s 2 47 20 s 1 -153 s 0 20第一列元素变号两次，有2个正实部根。
（3）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 ε124- 10S 6 S 0 10第一列元素变号两次，有2个正实部根。
（4）483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0Routh ： s 5 1 12 32s 4 3 24 48s 33122434⨯-= 32348316⨯-= 0 s 2424316412⨯-⨯= 48 s 1216448120⨯-⨯= 辅助方程 124802s +=,s 24 辅助方程求导：024=ss 0 48第一列没有变号，系统没有正实部根。
对辅助方程求解，得到系统一对虚根 2j s 2,1±=，系统不稳定。
(5) 05s 2s 4s 2s )s (D 234=-++-= Routh ： s 41 4 -5s 3 -2 2s 2 10 -10s 1 0 辅助方程 010s 102=-s 120 辅助方程求导 0s 20= s 0-10第一列元素变号3次，有3个正实部根,系统不稳定。
. 解辅助方程得:s 1=-1，s 2=+1，由长除法得s 3=+1+j2，s 4=+1-j23-10 单位反馈系统的开环传递函数)5s )(3s (s k)s (G ++=，试判断系统稳定性；若要求系统特征根的实部不大于1-，试确定k 的取值范围。
解 特征方程为：0k s 15s 8s )s (D 23=+++= Routh ： S 3 1 15 S 2 8 k S 120-kS 0 k120k 0<<时系统稳定。
做代换 1s s -'= 有：0)8k (s 2s 5s k )1s (15)1s (8)1s ()s (D 2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='Routh ： S 3 1 2 S 2 5 k-8 S 18-k 18k <⇒S 0 k-8 8k >⇒系统特征根的实部不大于1-的k 值范围为： 18k 8≤≤3-11 下图是船舶横摇镇定系统结构图，为增加船只的阻尼引入了内环速度反馈。
(1) 动力矩对船只倾斜角的传递函数)s (M )s (N Θ；(2) 单位阶跃时倾斜角θ的终值不超过，且系统的阻尼比为，求2k 、1k 和3k 应满足的方程。
解 （1）)K K 5.01(s )K K 5.02.0(s 5.01s 2.0s K K 5.01s 2.0s s K K 5.011s 2.0s 5.0)s (M )s (213222a 12322N ++++=++++++++=Θ（2）由题意知： 1.0K K 5.015.0)s (M )s (s 1s lim )s (M )s ()s (M s lim )(21N 0s N N 0s ≤+=Θ⋅⋅=Θ⋅=∞θ→→ 得8K K 21≥。
由 )s (M )s (N Θ 有： ⎪⎩⎪⎨⎧=ω+=ξ+=ω5.02K K 5.02.0K K 5.01n 3231n ， 可得 2132K K 5.01K K 25.02.0+=+3-12 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。