1121FEABCD哈尔滨市第六中学2016-2017学年度上学期期中考试高三文科数学满分150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2{|60},{|13}A x N x x B x x =∈--+≥=-<<，则B A =（ ）A. {2}B. {0,1,2}C. (1,2]-D. [2,3) 2．若i z 21-=，则=-iz z 41（ ） A. 1 B. 1- C. i - D. i3. 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的( )条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要4. 已知向量b a ,满足，2||||==b a ，)2(b a a -⊥，则|2|b a +=（ ）A. 22B. 4C.52D.725. 已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和为n S 公比0q >，43222,22a S a S =+=+，则=6a （ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 1286. 如图，在正方形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，沿AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体， 使B,C,D 三点重合为P 点，点P 在△AEF 内的射影为O ， 则下列说法正确的是( )A. O 是△AEF 的垂心B. O 是△AEF 的内心C. O 是△AEF 的外心D. O 是△AEF 的重心7．已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，且侧棱均相等，若四棱锥的体积为316，则该球的表面积为（ ） A.332π B. π4 C. 814πD. 34π8. 已知函数)0(ln )(>+=a ax x x f 在1=x 处的切线与曲线2y ax =也相切，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 21D.419．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1312π+B. 112π+C. 134π+D. 14π+10. 若方程12log (2)2x a x -=+有解，则a 的最小值为（ ）A.2B. 1C. 32D. 1211. 已知,(0,2]x y ∈，且2xy =，若不等式(2)(2)(4)a x y x y +≥--恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 12a ≤B. 2a ≤C. 2a ≥D. 12a ≥ 12. 已知函数1()()x xf x x e e =-，则使()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围为（ ） A. 11(,)33- B. 1(,)(1,)3-∞+∞ C. 1(,1)3 D. 11(,)(,)33-∞-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数62ln )(-+=x x x f 的零点],[0b a x ∈，且1=-a b ，则ab 的值为 14. 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若m 与n 的夹角为π3，则x =15．如图，点（x ，y ）在△ABC 边界及其内部，若目标函数z kx y =+，当且仅当在点B 处取得最大值，则k 的取值范围是 16. 已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若9,100510==a S ，则1094321S S S S S S -++-+- 的值为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知函数()sin 2(0,0)f x m x x m ωωω=+>>，4x π=与54x π=是相邻的两对称轴. （1）求函数()f x 的解析式；；（2）将()f x 图像上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移2π个单位得到()g x ，求()g x 在[0,]2π上的最大值和最小值.C (1,1)B (3,5)A (5,4)xyo18．（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． (1)求证：AC 1//平面CDB 1；(2)在棱CC 1上是否存在点E ，使1AE A B ⊥？若存在，求出EC 的长度；若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,， )6sin(2π+=B a c（1）求角A 的大小； （2）若3,2==a bc ，求C B sin sin +的值.20．（本小题满分12分）如图所示，在矩形ABCD 中，2BC AB =，E 为线段AD 的中点，F 是BE 的中点，将ABE ∆沿直线BE 翻折成A BE '∆，使得A F CD '⊥，（1）求证：平面A BE '⊥平面BCDE ；（2）若四棱锥A BCDE '-的体积为22F 到平面A DE '的距离．ADBC1A 1B 1C21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足*121,3313111N n n a a a n n ∈=++++++- . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的n 项和n T22.（本小题满分12分）已知函数()33x f x x e -=++， （1）求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）设3()(33)x x g x e x x a e x =-+-⋅-，当2x ≥-时，()0g x ≤有解，求实数a 的最小值.哈六中2017届高三上学期文科数学期中试题答案一、选择题：BCADC ACABB DC 二、填空题：13. 6 14.512π 15. 1(2,)2- 16. 55-三、解答题：17.解：（1）()sin )f x m x x x ωωωϕ=+=+ 5244T πππ=-=22,1T Tππω∴===()4fπ=，12∴+=即21102m += m ∴=()2sin()4f x x π=+（2）3()2sin(2)4g x x π=-，当[0,]2x π∈时，332[,]444x πππ-∈- 当3242x ππ-=-即8x π=时，()g x 有最小值2-；当3244x ππ-=即2x π=时，()g x 18. （1）证明：连接C 1B 与B 1C 交于点O ，连接OD ∵ O,D 分别为C 1B 与AB 的中点∴OD ∥AC 1，又OD ⊂平面CDB 1，AC 1 ⊄平面CDB 1 ∴AC 1//平面CDB 1（2）解：假设存在点E 使1AE A B ⊥，连接A 1C ，交AE 于F ，易证1AE AC ⊥ 由11CFE AC C ∆∆求得94CE =17：（1）3sin()2sin sin()3A B A B π+=+B A A B A B A cos sin 3sin sin cos 3cos sin 3+=+∴ sin 0B ≠ 3tan =∴A(0,)A π∈ 3π=∴A bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+= 3=+∴c b又22sin aR A== 232sin sin =+=+∴R c b C B 19.证明：（1）∵2BC AB =，E 为线段AD 的中点， ∴AB AE =，AF BE ⊥，故在四棱锥A BCDE '-中，A F BE '⊥又∵A F CD '⊥，且BE 、CD 为相交直线， ∴A F '⊥平面BCDE ，又A F '⊂平面'A BE ，∴平面A BE '⊥平面BCDE ； （2）设A B x '=，则2BC x =，CD DEx ==，在等腰直角A BE '∆中，BE =，122A F BE '==； 由（Ⅰ）知A F '是四棱锥A BCDE '-的高，故()11122223322A BCDE BCDE x V S A F x x x '-'=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=， 整理得38x =，∴2x =，连结DF ，在DEF ∆中，由余弦定理可求得10DF =，于是2223A D A F DF ''=+=，∵ A DE '∆为等腰三角形，其面积'3A DE S ∆=； 设点F 到平面A DE '的距离为d ，因11122FED S ED CD ∆=⋅=, 由''F A DE A FED V V --=1163333FDE A DE FDE A F S d S A F S d ∆'∆∆'⋅'⇒⋅⋅=⋅⋅⇒==所以点F 到平面A DE '的距离为63解：（1）设数列11{}3n n a -+的前n 项和为n S ，由已知有3n S n = 当1n =时，111133a -+=即12a =当2n ≥时，11133(1)33n n n n a S S n n --+=-=--=，解得31n n a =-故*31()n n a n N =-∈（2）11113111()(31)(31)23131n n n n n n n n n a b a a ++++===----- 1211111111111=()2288263131111=()223133 =4(31)n nn n n n n T b b b ++++∴=+++-+-++-------22. 解：（1）1()33()xf x x x R e =++∈ 由131()30x x x e f x e e -'=-==解得1ln ln33x ==-x (,ln3)-∞- ln3- (ln3,)-+∞f ’(x) - 0 + f(x )↘极小值↗)(x f 的增区间为(ln3,)-+∞，减区间为(,ln3)-∞-，当ln3x =-时，)(x f 有极小值(ln3)63ln3f -=-，无极大值。

（2）由3(33)0x x e x x ae x -+--≤得3(33)x x ae e x x x ≥-+-0x e >，333xx a x x e ∴≥-+-令3()33xx g x x x e =-+- 211()33(1)(33)x x x g x x x x e e-'=-+=-++ 由（1）知()(ln3)63ln30f x f ≥-=-> 则当且仅当1x =时()0g x '=x (2,1)- 1(1,)+∞ g ’(x) - 0 + g(x )↘极小值↗故1()(1)1g x g e ≥=-，要使()a g x ≥，只需有解，只需min 1()1a g x e≥=-。