八年级数学上册期末试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】试题分析:(1)作DF∥BC交AC于F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD,由AAS证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论.试题解析:(1)证明:如图,作DF∥BC交AC于F,则△ADF为等边三角形∴AD=DF,又∵∠DEC=∠DCB,∠DEC+∠EDB=60°,∠DCB+∠DCF=60°,∴∠EDB=∠DCA ,DE=CD,在△DEB和△CDF中,120EBD DFCEDB DCFDE CD,,∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF,∴BD=DF,∴BE=AD .(2).EB=AD成立;理由如下:作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ,如图所示: 同(1)得:AD=DF ,∠FDC=∠ECD ,∠FDC=∠DEC ,ED=CD ,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE ≌△CFD (AAS ),∴EB=DF ,∴EB=AD.点睛:此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.2.如图①,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AE 是过A 点的一条直线,且B 、C 在AE 的异侧,BD AE ⊥于D ,CE AE ⊥于E .(1)求证:BD DE CE =+.(2)若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时(BD CE <),其余条件不变,问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予以证明.【答案】(1)见解析;(2)BD=DE-CE ,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ,AD=CE ,因为AE=AD+DE ,所以BD=DE+CE ;(2)根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ,AD=CE ,因为AD+AE=BD+CE ,所以BD=DE-CE .【详解】解:(1)∵∠BAC=90°,BD ⊥AE ,CE ⊥AE ,∴∠BDA=∠AEC=90°,∵∠ABD+∠BAE=90°,∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE ,∵AB=AC ,在△ABD 和△CAE 中,BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE (AAS ),∴BD=AE ,AD=CE ,∵AE=AD+DE ,∴BD=DE+CE ;(2)BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ,理由如下:∵∠BAC=90°,BD ⊥AE ,CE ⊥AE ,∴∠BDA=∠AEC=90°,∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ,∴∠ABD=∠CAE ,∵AB=AC ,在△ABD 和△CAE 中,BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE (AAS ),∴BD=AE ,AD=CE ,∴AD+AE=BD+CE ,∵DE=BD+CE ,∴BD=DE-CE .【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质,常用的判定方法有SSS ,SAS ,AAS ,HL 等.这种类型的题目经常考到,要注意掌握.3.如图(1),在ABC 中,90A ∠=︒,AB AC =,点D 是斜边BC 的中点,点E ,F 分别在线段AB ,AC 上, 且90EDF ∠=︒.(1)求证:DEF 为等腰直角三角形;(2)若ABC 的面积为7,求四边形AEDF 的面积;(3)如图(2),如果点E 运动到AB 的延长线上时,点F 在射线CA 上且保持90EDF ∠=︒,DEF 还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)3.5;(3)是,理由见解析.【解析】【分析】(1)由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA),进而分析证得DEF为等腰直角三角形;(2)由题意分析可得S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可;(3)根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA),进而分析证得DEF为等腰直角三角形.【详解】解:(1)证明:如图①,连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D是斜边BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD,∴∠1=∠B=45°,∵∠EDF=90°,∠2+∠3=90°,又∵∠3+∠4=90°,∴∠2=∠4,在△BDE 和△ADF中,∠1=∠B,AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°,∴ΔDEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF,∠C=∠6=45°,又∵∠2+∠3=90°,∠2+∠5=90°,∴∠3=∠5,∴△ADE≌△CDF,∴S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF,∴ S∆ABC=2 S四边形AEDF,∴S 四边形AEDF =3.5 .(3)是.如图②,连接AD.∵∠BAC=90°,AB=AC ,D 是斜边BC 的中点,∴AD ⊥BC,AD=BD ,∴∠1=45°,∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°,∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°,∴∠DAF=∠DBE ,∵∠EDF=90°,∴∠3+∠4=90°,又∵∠2+∠3=90°,∴∠2=∠4,在△BDE 和△ADF 中,∠DAF=∠DBE ,AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE ≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°,∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.4.在ABC 中,AB AC =,点D 在BC 边上,且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合,且DA DB ≠),在射线DB 上截取DF DE =,连接EF .()1当点E 在线段AD 上时,①若点E 与点A 重合时,请说明线段BF DC =;②如图2,若点E 不与点A 重合,请说明BF DC AE =+;()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时,用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF =AE-CD【解析】【分析】(1)①根据等边对等角,求到B C ∠=∠,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ∆是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC ∠=∠=︒,推出ABF ACD ∆∆≌,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,由△DEF 为等边三角形得到DA =DG ,再推出AE =GF ,根据线段的和差即可整理出结论;(2)根据题意画出图形,作出AG ,由(1)可知,AE=GF ,DC=BG ,再由线段的和差和等量代换即可得到结论.【详解】(1)①证明:AB AC =B C ∴∠=∠,60DF DE ADB =∠=︒,且E 与A 重合,ADF ∴∆是等边三角形60ADF AFD ∴∠=∠=︒120AFB ADC ∴∠=∠=︒在ABF ∆和ACD ∆中AFB ADC B CAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD ∴∆∆≌BF DC ∴=②如图2,过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,∵∠ADB =60° DE =DF∴△DEF 为等边三角形∵AG ∥EF∴∠DAG =∠DEF =60°,∠AGD =∠EFD =60°∴∠DAG =∠AGD∴DA =DG∴DA -DE =DG -DF ,即AE =GF由①易证△AGB ≌△ADC∴BG =CD∴BF =BG +GF =CD +AE(2)如图3,和(1)中②相同,过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,由(1)可知,AE=GF ,DC=BG ,BF CD BF BG GF AE ∴+=+==故BF AE CD =-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.5.如图1,在ABC ∆中,90ACB ∠=,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于点D ,BE MN ⊥于点E .易得DE AD BE =+(不需要证明).(1)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,其余条件不变,你认为上述结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系,并说明理由;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,其余条件不变,请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系(不需要证明).【答案】(1) 不成立,DE=AD-BE ,理由见解析;(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE.由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE,证得△ACD≌△CBE,得到AD=CE,CD=BE,即有DE=AD-BE;(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD.证明的方法与(1)一样.【详解】(1)不成立.DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE,理由如下:如图,∵∠ACB=90°,BE⊥CE,AD⊥CE,AC CB=,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,在△ACD和△CBE中,90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△CBE(AAS),∴AD=CE,CD=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE;(2)结论:DE=BE-AD.∵∠ACB=90°,BE⊥CE,AD⊥CE,AC CB=,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,在△ACD和△CBE中,90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CD-CE=BE-AD.【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质,旋转前后两图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.(1)已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)(2)已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC与∠C之间的关系.【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=135°-34∠C或∠ABC=3∠C 或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.【解析】试题分析:(1)已知角度,要分割成两个等腰三角形,可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理,先计算出可能的角度,或者先从草图中确认可能的情况,及角度,然后画上.(2)在(1)的基础上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程,可得出角与角之间的关系.试题解析:(1)如图①②(共有2种不同的分割法).(2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中,①若∠C是顶角,如图,则∠CBD=∠CDB=90°-12x,∠A=180°-x-y.故∠ADB=180°-∠CDB=90°+12x>90°,此时只能有∠A=∠ABD,即180°-x-y=y-1902x⎛⎫-⎪⎝⎭,∴3x+4y=540°,∴∠ABC=135°-34∠C.②若∠C是底角,第一种情况:如图,当DB=DC时,∠DB C=x.在△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y-x.若AB=AD,则2x=y-x,此时有y=3x,∴∠ABC=3∠C.若AB=BD,则180°-x-y=2x,此时有3x+y=180°,∴∠ABC=180°-3∠C.若AD=BD,则180°-x-y=y-x,此时有y=90°,即∠ABC=90°,∠C为小于45°的任意锐角.第二种情况:如图,当BD =BC 时,∠BDC =x ,∠ADB =180°-x >90°,此时只能有AD =BD ,∴∠A =∠ABD =12∠BDC =12∠C <∠C ,这与题设∠C 是最小角矛盾. ∴当∠C 是底角时,BD =BC 不成立.综上所述,∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC=135°-34∠C 或∠ABC=3∠C 或∠ABC=180°-3∠C 或∠ABC=90°,∠C 是小于45°的任意锐角.点睛:本题考查了等腰三角形的性质;第(1)问是计算与作图相结合的探索.本问对学生运用作图工具的能力,以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求.第(2)问在第(1)问的基础上,由“特殊”到“一般”,“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系.本题不仅趣味性强,创造性强,而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想,是一道不可多得的好题.7.如图,在ABC ∆中,CE 为三角形的角平分线,AD CE ⊥于点F 交BC 于点D (1)若9628BAC B ︒︒∠=∠=,,直接写出BAD ∠= 度(2)若2ACB B ∠=∠,①求证:2AB CF =②若 ,CF a EF b ==,直接写出BD CD= (用含 ,a b 的式子表示)【答案】(1)34;(2)①见详解;②2b a b- 【解析】【分析】 (1)由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案;(2)①证明B BCE ∠=∠,得出BE=CE ,过点A 作//AH BC 交CE 与点H ,则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠,得出AH=AC ,H EAH ∠=∠,得出AE=HE ,由等腰三角形的性质可得出HF=CF,即可得出结论;②证明AHF DCF ≅,得出AH=DC ,求出HF=CF=a ,HE=HF-EF=a-b ,CE=a+b ,由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+,进而得出结论. 【详解】 解:(1)∵9628BAC B ︒︒∠=∠=,,∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒,∵CE 为三角形的角平分线,∴1282ACE ACB ∠=∠=︒, ∵AD CE ⊥,∴902862CAF ∠=︒-︒=︒,∴966234BAD ∠=︒-︒=︒.故答案为:34;(2)①证明:∵22ACB B BCE ∠=∠=∠∴B BCE ∠=∠∴BE CE =过点A 作//AH BC 交CE 与点H ,如图所示:则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC ,H EAH ∠=∠∴AE=HE∵AD CE ⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF ;②在AHF △和DCF 中,H DCF HF CFAFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF ≅∴AH=DC∵ ,CF a EF b == ∴ HF CF a ==,由①得 AE HE HF EF a b ==-=-, BE CE a b ==+∵ //AH BC∴AH AE a b BC BE a b -==+ ∴CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b=-. 故答案为:2b a b -. 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等,掌握以上知识点是解此题的关键.8.知识背景:我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质,在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定,在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边,进而解决问题.问题:如图1,ABC 是等腰三角形,90BAC ∠=︒,D 是BC 的中点,以AD 为腰作等腰ADE ,且满足90DAE ∠=︒,连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ,试探究BC 与CF 之间的数量关系.图1发现:(1)BC 与CF 之间的数量关系为 .探究:(2)如图2,当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)时,其他条件不变,试猜想BC 与CF 之间的数量关系,并证明你的结论.图2拓展:(3)当点D 在线段BC 的延长线上时,在备用图中补全图形,并直接写出BCF 的形状.备用图【答案】(1)BC CF =;(2)BC CF =,证明见解析;(3)画图见解析,等腰直角三角形.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质即可得BC CF =;(2)由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌,再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明;(3)作出图形,根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌,进而根据角度的代换,得出结论.【详解】解:(1)BC CF =.∵△ABC 是等腰三角形,且90BAC ∠=︒,AB AC ∴=,45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒,DAE BAC ∴=∠∠,DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠,BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形,AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中,AB AC =,BAD CAE ∠=∠,AD AE =,()ABD ACE SAS ∴≌,45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠,90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒,90B F ∴∠+∠=︒,45F ∴∠=︒,B F ∴∠=∠,BC CF ∴=.(2)BC CF =. 证明:ABC 是等腰三角形,且90BAC ∠=︒,AB AC ∴=,45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒,DAE BAC ∴=∠∠,DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠,BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形,AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中,AB AC =,BAD CAE ∠=∠,AD AE =,()ABD ACE SAS ∴≌,45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠,90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒, 90B F ∴∠+∠=︒,45F ∴∠=︒,B F ∴∠=∠,BC CF ∴=.(3)BCF 是等腰直角三角形.提示:如图,ABC 是等腰三角形,90BAC ∠=︒,AB AC ∴=,45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒,DAE BAC ∴=∠∠,DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠,BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形,AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中,AB AC =,BAD CAE ∠=∠,AD AE =,()ABD ACE SAS ∴≌,45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠,90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒,90B BFC ∴∠+∠=︒,45BFC ∴∠=︒,B BFC ∴∠=∠,BCF ∴是等腰三角形,90BCF ∠=︒,BCF ∴是等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰三角形及全等三角形的性质,熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键.9.如图,已知DCE ∠与AOB ∠,OC 平分AOB ∠.(1)如图1,DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ,90AOB DCE ∠=∠=︒,试判断线段CD 与CE 的数量关系,并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法:解:CD CE =.理由如下:如图1,过点 C 作 C F OC ⊥,交 O B 于点 F ,则90OCF ∠=︒,…请根据小宇同学的证明思路,写出该证明的剩余部分.(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.(3)若120AOB ∠=︒,60DCE ∠=︒.①如图3,DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时,(1)中的结论成立吗?为什么?线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系?说明理由. ②如图4,DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时,请回答(1)中的结论是否成立,并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系;如图5,DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时,请回答(1)中的结论是否成立,并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)①成立,理由见解析;②在图4中,(1)中的结论成立,OE OD OC -=.在图5中,(1)中的结论成立,OD OE OC -=【解析】【分析】(1)通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌即可得到CD=CE ;(2)过点 C 作CM OA ⊥,CN OB ⊥,垂足分别为 M ,N ,通过AAS 证明CMD CNE ∆∆≌同样可得到CD=CE ;(3)①方法一:过点 C 作 C M OA ⊥,CN OB ⊥垂足分别为 M ,N ,通过AAS 得到CMD CNE ∆∆≌,进而得到,CD CE DM EN ==,利用等量代换得到=OE OD ON OM ++,在 Rt CMO ∆中,利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC =,同理得到1 2ON OC =,所以OE OD OC +=;方法二:以CO 为一边作60FCO ∠=︒,交 O B 于点 F ,通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌,得到,CD CE OD EF ==,所以OE OD OE EF OF OC +=+==;②图4:以OC 为一边,作∠OCF=60°与OB 交于F 点,利用ASA 证得△COD ≌△CFE ,即有CD=CE ,OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD ;图5:以OC 为一边,作∠OCG=60°与OA 交于G 点,利用ASA 证得△CGD ≌△COE ,即有CD=CE ,OD=EF ,得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解:(1)OC 平分AOB ∠,145∠=∠2=︒∴,390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC ∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO ∆与CEF ∆中,1346OC FC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA ∴∆∆≌CD CE ∴=(2)如图2,过点 C 作CM OA ⊥,CN OB ⊥,垂足分别为 M ,N ,∴90CMD CNE ∠=∠=︒,又∵OC 平分AOB ∠,∴CM CN =,在四边形 O DCE 中,12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒,又∵90AOB DCE∠=∠=︒,∴12180∠+∠=︒,又∵13180∠+∠=︒,∴32∠=∠,在CMD∆与CNE∆中,32CMD CNECM CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS∆∆≌,∴CD CE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC+=.理由如下:方法一:如图3(1),过点C作C M OA⊥,CN OB⊥,垂足分别为M,N,∴90CMD CNE∠=∠=︒,又∵OC平分AOB∠,∴CM CN=,在四边形ODCE中,12360AOB DCE∠+∠+∠+∠=︒,又∵60120180AOB DCE∠+∠=︒+︒=︒,∴12180∠+∠=︒,又∵23180∠+∠=︒,∴13∠=∠,在CMD∆与CNE∆中,13CMD CNECM CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()CMD CNE AAS∆∆≌,∴,CD CE DM EN==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在Rt CMO∆中,1490590302AOB∠=︒-∠=︒-∠=︒,∴12OM OC=,同理12ON OC=,∴1122OE OD OC OC OC+=+=.方法二:如图3(2),以CO为一边作60FCO∠=︒,交O B于点F,∵OC平分AOB∠,∴1260∠=∠=︒,∴3180260FCO∠=︒-∠-∠=︒,∴13∠=∠,32FCO∠=∠=∠,∴COF∆是等边三角形,∴CO CF=,∵4560DCE∠=∠+∠=︒,6560FCO∠=∠+∠=︒,∴46∠=∠,在CDO∆与CEF∆中,1346CO CF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA∆∆≌,∴,CD CE OD EF==.∴OE OD OE EF OF OC+=+==.-=.②在图4中,(1)中的结论成立,OE OD OC如图,以OC为一边,作∠OCF=60°与OB交于F点∵∠AOB=120°,OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°,∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE(ASA)∴CD=CE,OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC-=.在图5中,(1)中的结论成立,OD OE OC如图,以OC为一边,作∠OCG=60°与OA交于G点∵∠AOB=120°,OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∴OC=OG∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°,∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE(ASA)∴CD=CE,OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】 本题主要考查全等三角形的综合应用,有一定难度,解题关键在于能够做出辅助线证全等.10.如图,在 ABC 中,已知 AB AC =,AD 是 BC 边上的中线,点 E 是 AB 边上一动点,点 P 是 AD 上的一个动点.(1)若 37BAD ∠=,求 ACB ∠ 的度数;(2)若 6BC =,4AD =,5AB =,且 CE AB ⊥ 时,求 CE 的长;(3)在(2)的条件下,请直接写出 BP EP + 的最小值.【答案】(1)53ACB ∠=.(2)245CE =.(3) 245. 【解析】【分析】(1)由已知得出三角形ABC 是等腰三角形,ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线,有AD BC ⊥,求出ABC ∠的度数,即可得出ACB ∠的度数.(2)根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长(3)连接CP ,有BP=CP ,BP+EP=EP+CP ,当点E ,P ,C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值,即CE 的长度. 【详解】解:(1)AB AC =,ACB ABC ∴∠=∠,AD 是 BC 边上的中线, 90ADB ∴∠=,37BAD ∠=,903753ABC ∴∠=-=,53ACB ∴∠=.(2)CE AB ⊥,1122ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅, 6BC =,4=AD ,5AB =,245CE ∴=. (3) 245【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”,三角形的面积公式等,充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.例如,由图1,可得等式:(a+2b )(a+b )=a 2+3ab+2b 2(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形,试用不同的形式表示这个大正方形的面积,你能发现什么结论?请用等式表示出来.(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题: 已知a+b+c =11,ab+bc+ac =38,求a 2+b 2+c 2的值.(3)如图3,将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起,B ,C ,G 三点在同一直线上,连接BD 和BF .若这两个正方形的边长满足a+b =10,ab =20,请求出阴影部分的面积.【答案】(1)(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ;(2)45;(3)20.【解析】【分析】(1)此题根据面积的不同求解方法,可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积,种是大正方形的面积,可得等式(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ;(2)利用(1)中的等式直接代入求得答案即可;(3)利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD 的面积求解.【详解】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38,∴a2+b2+c2 =(a+b+c)2﹣2(ab+ac+bc)=121﹣76=45;(3)∵a+b=10,ab=20,∴S阴影=a2+b2﹣12(a+b)•b﹣12a2=12a2+12b2﹣12ab=12(a+b)2﹣32ab=12×102﹣32×20=50﹣30=20.【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义,解题的关键是注意图形的分割与拼合,会用不同的方法表示同一图形的面积.12.先阅读下列材料,然后解后面的问题.材料:一个三位自然数abc(百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c),若满足a+c=b,则称这个三位数为“欢喜数”,并规定F(abc)=ac.如374,因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7,所以374是“欢喜数”,∴F(374)=3×4=12.(1)对于“欢喜数abc”,若满足b能被9整除,求证:“欢喜数abc”能被99整除;(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m,n(m>n),若F(m)﹣F(n)=3,求m﹣n的值.【答案】(1)详见解析;(2)99或297.【解析】【分析】(1)首先由题意可得a+c=b,将欢喜数展开,因为要证明“欢喜数abc”能被99整除,所以将展开式中100a拆成99a+a,这样展开式中出现了a+c,将a+c用b替代,整理出最终结果即可;(2)首先设出两个欢喜数m、n,表示出F(m)、F(n)代入F(m)﹣F(n)=3中,将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】(1)证明:∵abc为欢喜数,∴a +c =b . ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ,b 能被9整除,∴11b 能被99整除,99a 能被99整除,∴“欢喜数abc ”能被99整除;(2)设m =11a bc ,n =22a bc (且a 1>a 2),∵F (m )﹣F (n )=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•(b ﹣a 1)﹣a 2(b ﹣a 2)=(a 1﹣a 2)(b ﹣a 1﹣a 2)=3,a 1、a 2、b 均为整数,∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3.∵m ﹣n =100(a 1﹣a 2)﹣(a 1﹣a 2)=99(a 1﹣a 2),∴m ﹣n =99或m ﹣n =297.∴若F (m )﹣F (n )=3,则m ﹣n 的值为99或297.【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目,会运用因式分解将式子变形.13.阅读下列因式分解的过程,解答下列问题:1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3.(1)上述分解因式的方法是____________,共应用了________次;(2)若分解因式1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+x (x +1)2019,则需要应用上述方法________次,结果是________;(3)分解因式:1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+x (x +1)n (n 为正整数).【答案】(1)提取公因式法,2;(2)2019,(1+x)2020;(3) (1+x)n +1.【解析】【分析】(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可;(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案;(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案.【详解】(1)提取公因式法,2(因式分解的方法是提公因式法,共应用了2次)(2)2019,(1+x)2020(分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019,则需应用上述方法2019次,结果是(1+x)2020)(3)原式=(1+x)[1+x +x(x +1)+x(x +1)2+…+x(x +1)n -1]=(1+x)2[1+x +x(x +1)+x(x +1)2+…+x(x +1)n -2]=(1+x)3[1+x +x(x +1)+x(x +1)2+…+x(x +1)n -3]=(1+x)n (1+x)=(1+x)n +1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法,解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.14.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是,共应用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,则需应用上述方法次,结果是 .(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).【答案】(1)提公因式,两次;(2)2004次,(x+1)2005;(3) (x+1)1n+【解析】【分析】(1)根据已知材料直接回答即可;(2)利用已知材料进而提取公因式(1+x),进而得出答案;(3)利用已知材料提取公因式进而得出答案.【详解】(1)上述分解因式的方法是:提公因式法,共应用了2次.故答案为提公因式法,2次;(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+ x(x+1)2003]⋯=22003(1) (1)(1)(1)(1)xx x x x+++++个=(1+x)2005,故分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,,则需应用上述方法2004次,结果是:(x+1)2005.(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2…+x(x+1)n(n为正整数)的结果是:(x+1)n+1.故答案为(x+1)n+1.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.15.阅读材料:小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如=()2,善于思考的小明进行了以下探索:设=()2(其中a、b、m、n均为正整数)则有:=m2+2n2,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法.请仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a、b、m、n均为正整数时,若()2,用含m、n的式子分别表示a、b,得a=,b=(2)若(2(其中a 、b 、m 、n 均为正整数),求a 的值.【答案】(1)m 2+3n 2,2mn ;(2)13.【解析】试题分析:(1)根据完全平方公式运算法则,即可得出a 、b 的表达式;(2)根据题意,4=2mn ,首先确定m 、n 的值,通过分析m=2,n=1或者m=1,n=2,然后即可确定好a 的值.试题解析:(1)∵)2,∴2+3n 2∴a=m 2+3n 2,b=2mn.故a=m 2+3n 2,b=2mn ;(2)由题意,得223{42a m n mn=+= ∵4=2mn ,且m 、n 为正整数,∴m=2,n=1或m=1,n=2,∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13四、八年级数学分式解答题压轴题(难)16.已知11x a b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,11y b a c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,11z c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)当1a =,1b =,2c =时,求1111x y +--的值; (2)当0ab bc ac ++≠时,求111111x y z +++++的值. 【答案】(1)4;(2)1【解析】【分析】(1)分别对x 、y 进行化简,然后求值即可;(2)分别求出1x +、1y +、和z 1+值,然后代入化简即可.【详解】 (1),,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab+++===, 当1,1,2a b c ===时, 1211111=;122x ⨯+⨯∴-=-⨯ 1211111=122y ⨯+⨯∴-=-⨯1111=4111122x y ∴+=+-- (2)11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=+=, 11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=+=, 11bc ac bc ac ab z ab ab++++=+=, ∵+0ab bc ac +≠,∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac+++++=+++++ ++ab bc ac ab bc ac+=+ =1.【点睛】 本题考查了整式的化简求值问题,解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.17.某商场计划销售A ,B 两种型号的商品,经调查,用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍,一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元. (1)求一件A ,B 型商品的进价分别为多少元?(2)若该商场购进A ,B 型商品共100件进行试销,其中A 型商品的件数不大于B 型的件数,已知A 型商品的售价为200元/件,B 型商品的售价为180元/件,且全部能售出,求该商品能获得的利润最小是多少?【答案】(1) B 型商品的进价为120元, A 型商品的进价为150元;(2) 5500元.【解析】分析:(1)设一件B 型商品的进价为x 元,则一件A 型商品的进价为(x+30)元,根据“用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍”,这一等量关系列分式方程求解即可;(2)根据题意中的不等关系求出A 商品的范围,然后根据利润=单价利润×减数函数关系式,根据函数的性质求出最值即可.详解:(1)设一件B 型商品的进价为x 元,则一件A 型商品的进价为(x+30)元. 由题意: =×2,解得x=120,经检验x=120是分式方程的解,答:一件B 型商品的进价为120元,则一件A 型商品的进价为150元.(2)因为客商购进A 型商品m 件,销售利润为w 元.m≤100﹣m ,m≤50,由题意:w=m (200﹣150)+(100﹣m )(180﹣120)=﹣10m+6000, ∵﹣10<0,∴m=50时,w 有最小值=5500(元)点睛:此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识,解题关键是理解题意,学会构建方程或一次函数解决问题,注意解方式方程时要检验.18.观察下列等式:112⨯=1-12, 123⨯=12-13, 134⨯=13-14. 将以上三个等式的两边分别相加,得:112⨯+123⨯+134⨯=1-12+12-13+13-14=1-14=34. (1)直接写出计算结果:112⨯+123⨯+134⨯+…+()11n n +=________. (2)仿照112⨯=1-12, 123⨯=12-13, 134⨯=13-14的形式,猜想并写出: ()13n n +=________. (3)解方程: ()()()()()111333669218x x x x x x x ++=++++++. 【答案】1n n +;11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭【解析】试题分析:本题考查分式的运算规律,通过所给等式,可以将(1)展开进行计算, (1)1 12⨯+123⨯+134⨯+…+()11n n +=11111111112233411n n n -+-+-+⋯+-=-++, =1n n +, (2)因为()()()11333333n n n n n n n n n n +-=-=++++=()133n n +, 所以,()1111 333n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭, (3)根据(2)的结论将(3)中方程进行化简可得:()()()()()111333669218x x x x x x x ++=++++++,1111111333669x x x x x x ⎡⎤-+-+-⎢⎥+++++⎣⎦=3218x +, 11139x x ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦=3218x +, 解得2x =,经检验, 2x =,是原分式方程的解.解:(1) 1n n + (2) 11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭(3)仿照(2)中的结论,原方程可变形为11111113(333669218x x x x x x x -+-+-=++++++, 即()111369x x =+, 解得x =2.经检验,x =2是原分式方程的解.19.水蜜桃是无锡市阳山的特色水果,水蜜桃一上市,水果店的老板用2000元购进一批水密桃,很快售完;老板又用3300元购进第二批水蜜桃,所购件数是第一批的32倍,但进价比第一批每件多了5元.(1)第一批水蜜桃每件进价是多少元?(2)老板以每件65元的价格销售第二批水蜜桃,售出80%后,为了尽快售完,剩下的决定打折促销.要使得第二批水密桃的销售利润不少于288元,剩余的仙桃每件售价最多打几折?(利润=售价-进价)【答案】(1)50;(2)6折.【解析】【分析】(1)根据题意设第一批水蜜桃每件进价是x 元,利用第二批水密桃进价建立方程求解即可;(2)根据题意设剩余的仙桃每件售价最多打m 折,并建立不等式,求出其解集即可得出剩余的仙桃每件售价最多打几折.【详解】解:(1)设第一批水蜜桃每件进价是x 元,则有: 20003(5)33002x x ⨯⨯+=,解得50x =, 所以第一批水蜜桃每件进价是50元.(2)由(1)得出第二批水密桃的进价为:55元,数量为:33006055=件, 设剩余的仙桃每件售价最多打m 折,则有:6580606065(180)3300288%%,⨯⨯+⨯⨯--≥mm≥,即最多打6折.解得0.6【点睛】本题考查分式方程的实际应用以及不等式的实际应用,理解题意并根据题意建立方程和不等式是解题的关键.20.为了践行“绿色低碳出行,减少雾霾”的使命,小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车,小红家距单位的路程是20千米,在相同的路线上,小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍,小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟,才能按原时间到达单位,求小红骑自行车的速度.【答案】小红骑自行车的速度是每小时20千米.【解析】【分析】设骑自行车的速度为x千米/时,则驾车的速度为4x千米/时.依据“小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答.【详解】解:设小红骑自行车的速度是每小时x千米,则驾车的速度是每小时4x千米.根据题意得:202045=+460x x解得x=20经检验x=20是分式方程的解,并符合实际意义答:小红骑自行车的速度是每小时20千米.【点睛】本题考查了分式方程的应用.利用分式方程解应用题时,一般题目中会有两个相等关系,这时要根据题目所要解决的问题,选择其中的一个相等关系作为列方程的依据,而另一个则用来设未知数.五、八年级数学三角形解答题压轴题(难)21.小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论:(1)如图①, ∠A=∠C=90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是;(2)如图②, ∠A=∠C=90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是;(3)如图③, ∠A=∠C=90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.。