（0，0）
21 22 23 24
S1 {开发，开发}—威胁战略 S 2 {开发，不开发}—跟随战略 S 3 {不开发，开发}—差异化战略 S 4 {不开发，不开发}—放弃战略
扩展式表达博弈的纳什均衡
则：
21 22 23 24 21 23 22 24
（即如果A开发，B不开发；如果A不 开发，B开发），因此（开发，{不开
x’
开发 不开发
发，开发}）是这个博弈的唯一的子博
弈精炼纳什均衡。
（0，1）
（0，0）
子博弈(c)
子博弈精炼纳什均衡
用逆向归纳法求解子博弈精炼纳什均衡： 假定博弈有两个阶段，第一阶段参与人1行动，第二阶段 参与人2行动，并且2在行动前观测到1的选择。 令A1是参与人1的行动空间，A2是参与人2的行动空间。
（0，0）
子博弈精炼纳什均衡
例：
U (2,0) L 1 D 2 R 1 D’ (0,2)
Step1：参与人1（第二次行动）——U’ Step2：参与人2——L Step3：参与人1——U 所以，精炼均衡（{U,U’}，L）
(1,1) U’ (3,0)
用逆向归纳法求解子博弈精炼纳什均衡的过程，实质是重复剔除劣 战略过程在扩展式表述博弈上的扩展：从最后一个决策结开始依次剔除 掉每一个子博弈的劣战略，最后生存下来的战略构成精炼纳什均衡。
在扩展式表述博弈中，所有n个参与人的一个纯战略组合s= （si,…,sn）决定了博弈树上的一个路径。每一个战略组合 （即博弈树的路径）决定了一个支付向量u=（u1,…,un）。 战略组合si*是扩展式博弈的一个纳什均衡，如果对于所有 的i，si*最大化 u ( s s ) ，即 i i i
ui ( si s i ) ui ( si s i ).si si
子博弈精炼纳什均衡
现在以上例进行说明：
A
开发
不开发
这个博弈有三个子博弈，除原博弈外，子 博弈(b)和(c)实际上是两个单人博弈（即在 每个博弈中，只有开发商B在决策）。
x’ x
开发 （-3，-3） 不开发 （1，0） 开发 （0，1）
B
开发
B x
开发 不开发
x’
不开发 （0，0）
不开发
（0，1） （ -3 ， -3 ） （1，0）
纳什均衡（不开发，{开发，开发}）中B的均衡 战略{开发，开发}在子博弈(c)上构成纳什均衡， 但在子博弈(b)上不构成纳什均衡，因此，（不开 发，{开发，开发}）不是一个子博弈精炼纳什均 衡； 同理，纳什均衡（开发，{不开发，不开发}）中 B的均衡战略{不开发，不开发}在子博弈(b)上构 成纳什均衡，但在子博弈(c)上不构成纳什均衡， 因此， （开发，{不开发，不开发}）也不是一个 子博弈精炼纳什均衡。
不开发 开发
（0，1） （ -3 ， -3 ） （1，0）
（0，0）
子博弈精炼纳什均衡应用举例
1.斯坦科尔伯格寡头竞争模型 例： 市场上有两家企业，企业 1 首先选择产量
博弈树
博弈的扩展形（即博弈树）构造，包括结、枝和信息集。
（1） 结：包括决策结和终点结两类。决策结是参与人
采取行动的时点，终点结是博弈行动路径的终点。
用 X 所有结的结合， x X 表示某个特定的结。 用 " " x x' '意味着 x在 x ' ' 之前。 表示定义在X上的顺序关系： 假定 " " 满足传递性和反对称性，从而意味着顺序关系 " " 是半序的，即有些结之间是不可比较的。




注意：因为一个参与人的纳什均衡战略是假定其他参与人的战略为给 定时在最优战略，所有参与人似乎时在同时选择战略。但这并意味着 在纳什均衡中，参与人一定是在同时选择行动。
扩展式表达博弈的纳什均衡
在扩展式表述博弈中，混合战略被称为“行为战略”以 区别于战略式表述博弈的混合战略概念。行为战略是指 参与人在每一个信息集上随机地选择行动。一个行为战 略规定了对应每一个信息集的行动集合上的概率分布， 且不同信息集上的概率分布是独立的。每一个行为战略 组合b=（b1，…，bn）给出一个支付空间上的概率分布。 b*=（b1*，…，bn*）是一个行为战略纳什均衡，如果没 有任何参与人可以通过选择其他行为战略增加自己的期 望效用。
博弈树
（3）信息集：博弈树上的所有决策结分割成不同的信息集。 每一个信息集是决策结集合的一个子集，该子集包括所有 满足下列条件的决策结：
①每一个决策结都是同一参与人的决策结。
②该参与人知道博弈进入该集合的某个决策结，但不知道自 己究竟处于哪一个决策结。
引入信息集的目的是描述下列情况：当一个参与人要作出
完美回忆：指没有参与人会忘记自己以前知道的事情，所 有参与人都知道自己以前的选择。
扩展式表达博弈的纳什均衡
为了说明如何从扩展式表达构造战略式表达，让我们考虑 房地产开发博弈的例子。假定在博弈开始之前自然就选择 了“低需求”，并且已成为参与人的共同信息；再假定开 发商A先决策，开发商B在观测到A的选择后决策。那么， 博弈的扩展式表述如图所示。
承诺行动与子博弈精炼纳什均衡
有些纳什均衡之所以不是精炼均衡，是因为他们包含了不可置信的威 胁战略。这一点意味着，如果参与人能在博弈之前采取某种措施改变 自己的行动空间或支付函数，原来不可置信的威胁就可能变得可置信， 博弈的精炼均衡就会相应改变。我们将这些为改变博弈结果而采取的 措施称为“承诺行动”。 有些情况下，一个参与人可以通过减少自己的选择机会使自己受益， 原因在于保证自己不选择某些行动可以改变对手的最优选择。这样的 承诺是完全承诺。
博弈树
（ 2 ）枝：在博弈树上，枝是从一个决策结到它的直接后续 结的连线（有时用箭头表述），每一个枝代表参与人的一 个行动选择。并且，当且仅当参与人选择不同的行动时， 从一个给定的结出发博弈才会到达不同的直接后续结。博 弈树的枝不仅完整地描述了每个决策结参与人的行动空间， 而且给出了从一个决策结到下一个决策结的路径。正因为 如此，每一个终点结才完全决定了博弈树的路径。
1 2 1 2 1 2 1 2
上例说明：一个行为战略可能对应多个混合战略；但逆定理不成立，即一 个混合战略只对应一个行为战略。
库恩（Kuhn，1953）证明，在完美回忆博弈中，混合战 略和行为战略是等价的。
子博弈精炼纳什均衡
例：
A
开发
从上一节讨论中，可得三个纳什均衡：
不开发
B
开发 不开发 开发
这个博弈的子博弈精炼 纳什均衡为（ a1 , a2 (a1 )）。
子博弈精炼纳什均衡
例：
A
开发 不开发
Step1：B的最优行动规则—— 差异化战略S3={不开发，开发}
Step2：A——开发
不开发
B
开发 不开发 开发
B
所以，精炼均衡是（开发，{不 开发，开发}）
（0，1） （ -3 ， -3 ） （1，0）
博弈论
任课教师： 南京航空航天大学 经管学院
李帮义 教授
博弈论与信息经济学
第二章 完全信息动态博弈
博弈的扩展式表述
博弈的扩展式表述包括以下要素： 1.参与人的集合：i=1,…,n. N—虚拟参与人“自然”。 2.参与人的行动顺序：谁在什么时候行动。 3.参与人的行动空间：在每次行动时，参与人有些什么选择。 4.参与人的信息集：每次行动时，参与人知道些什么。 5.参与人的支付函数：在行动结束之后，每个参与人得到些 什么（支付是所有行动的函数）。 6.外生事件（即自然的选择）的概率分布。
（0，0）
(b)子博弈Ⅰ
(c)子博弈Ⅱ
如前所述，这个博弈有三个纳什均衡：（不开发，{开发，开发}）； （开 发，{不开发，开发}）； （开发，{不开发，不开发}）
子博弈精炼纳什均衡
检验这三个纳什均衡是否满足子博弈精炼纳什均衡的要求。
x
开发 不开发
在子博弈(b)，B的最优选择是不开发；在子博 弈(c)，B的最优选择是开发。
A
开发 不开发
B
开发 （-3，-3） 不开发 开发
B
不开发 （0，0）
（1，0） （0，1）
这是一个完美信息博弈（每个人的信息集都是单结的）。
扩展式表达博弈的纳什均衡
为了构造出这个博弈的战略式表述，首先注意到，A只有一个 信息集，两个可选择的行动，因而A的行动空间也即战略空 间：SA=(开发，不开发)。但B有两个信息集，每个信息集上 有两个可选择的行动，因而B有四个纯战略，分别为： 1.不论A开发还是不开发，我开发—威胁战略S1=(开发,不开发). 2.A开发我开发，A不开发我不开发—跟随战略S2=(开发,不开发). 3.A开发我不开发，A不开发我开发—差异化战略S3=(不开发,开 发). 4.不论A开发还是不开发，我不开发—放弃战略S4=(不开发,不 开发).
参与人1： 参与人2： Step1：a1 A1源自支付函数 u1 (a1 , a2 )
a2 A2 支付函数 u2 (a1 , a2 )
max u 2 ( a1 , a 2 ) a 2 ( a1 ) a 2 A2
Step2：
maxu1 (a1 , a2 (a1 )) a1
博弈树
定义 P( x) 为在 x 之前的所有结的集合，简称为 x 的前列集。 如果 P( x) ，x 称为初始结。
定义 T ( x) 为在 x 之后的所有结的集合，简称为 x 的后续集。
如果 T ( x) ， x 称为终点结。
除了终点结之外的所有结都是决策结。 在图示中，用空心圆“○”代表初始结，实心圆“●” 代表其他决策结。
扩展式表达博弈的纳什均衡
例：