单元卷旋转提高卷一、单选题（共12小题）1.如图所示是我国四大银行的行标图案，其中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项正确；故选：D．【知识点】中心对称图形、轴对称图形2.在平面直角坐标系中，点P（﹣，﹣2）关于原点对称的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵P（﹣，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（，2）∴点P（﹣，﹣2）关于原点对称的点在第一象限．故选：A．【知识点】关于原点对称的点的坐标3.如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠ACB′的度数为（）A．25°B．35°C．60°D．85°【解答】解：根据旋转的定义可知旋转角∠ACA′＝60°，∵∠ACB＝25°，∴∠A′CB′＝25°，∴∠ACB′＝∠ACA′+∠A′CB′＝60°+25°＝85°．故选：D．【知识点】旋转的性质4.如图，在小正三角形组成的网格中，已有7个小正三角形涂黑，还需要涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形又是中心对称图形，则n的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：如图所示，再涂黑5个小正三角形，可使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选：C．【知识点】利用旋转设计图案、利用轴对称设计图案5.如图，四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE，若AD＝6，BC＝10，则△ADE的面积是（）A．B．12C．9D．8【解答】解：如图，过D作DH⊥BC于点H，过E作EF⊥AD交AD的延长线于F，则HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝10﹣6＝4，∵将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，∴△DHC≌△DFE，∴EF＝HC＝4，且∠EF A＝∠DHC＝90°，∴S△ADE＝AD•EF＝×6×4＝12，故选：B．【知识点】旋转的性质、勾股定理6.如图，将△ABC绕点C（﹣1，0）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a﹣2，﹣b）C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）【解答】解：设A′的坐标为（m，n），∵A和A′关于点C（﹣1，0）对称．∴＝﹣1，＝0，解得m＝﹣a﹣2，n＝﹣b．点A′的坐标（﹣a﹣2，﹣b）．故选：B．【知识点】坐标与图形变化-旋转7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为（）A．4B．8C．4D．6【解答】解：连接CN，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∵NB′＝NA′，∴CN＝A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，∴MN≤CN+CM＝6，∴MN的最大值为6，故选：D．【知识点】旋转的性质、含30度角的直角三角形8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝2，若∠D＝α，则∠BCD的大小为（）A．2αB．90°+αC．135°﹣αD．180°﹣α【解答】解：连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝1，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AC2＝12+12＝2，∵AC2+AD2＝2+22＝6，CD2＝6，∴AC2+AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠D＝90°﹣α，∴∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝135°﹣α，故选：C．【知识点】旋转的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质9.如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到AB′C′D′，如果AB=1，点C与C′的距离为（）A．B．﹣C．1 D．﹣1【解答】解：如图，连接AC'，AC，CC'，过C作CF⊥AC'于F，由旋转可得，∠DAD'=30°，∠DAB'=60°，∴∠DAC'=45°﹣30°=15°，同理可得，∠B'AC=15°，∴∠CAC'=60°﹣15°﹣15°=30°，∵AB=BC=1，∴AC==AC'，∴CF=，∴AF=，∴C'F=﹣，∴Rt△CC'F中，CC'=====，故选：D．【知识点】正方形的性质、旋转的性质10.如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2019次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（3，﹣10）B．（10，3）C．（﹣10，﹣3）D．（10，﹣3）【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵2019＝4×504+3，∴每4次一个循环，第2019次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转3次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（﹣10，﹣3）．故选：C．【知识点】坐标与图形变化-旋转、规律型：点的坐标11.如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接BM．∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD．∴∠F AB＝∠MAE∴∠F AB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠F AE＝∠MAB．∴△F AE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝5．∵DM＝2，∴CM＝3．∴在Rt△BCM中，BM＝＝＝，∴EF＝，故选：A．【知识点】正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质12.如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：如图，①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC＝DB+BA．故④正确；故选：A．【知识点】旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质二、填空题（共4小题）13.下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有个．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第二个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．故答案为：1．【知识点】轴对称图形、中心对称图形14.已知点P（m﹣1，2）与点Q（1，n）关于原点对称，那么m+n的值是﹣．【解答】解：∵点P（m﹣1，2）与点Q（1，n）关于原点对称，∴m﹣1＝﹣1，n＝﹣2，∴m＝0，n＝﹣2，故m+n＝﹣2．故答案为：﹣2．【知识点】关于原点对称的点的坐标15.如图，正方形ABCD的边长为1，把这个正方形绕点A旋转，得到正方形AB'C′D'；且点C′在直线AD上，那么△C′D′D的面积是．【解答】解：如图，过点D'作D'E⊥AD，∵把这个正方形绕点A旋转，得到正方形AB'C′D'；∴AD'＝AD＝CD＝C'D'＝1∴AC'＝＝∴D'E＝当点C'在AD延长线上时，S△C'D'D＝×（﹣1）×＝当点C'在DA延长线上时，S△C'D'D＝×（+1）×＝故答案为：或【知识点】旋转的性质、正方形的性质16.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC中点，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为．【解答】解：如图，以CD为边向右作等边△CDG，连接FG，作BK⊥FG于K，CH⊥FG交FG的延长线于H．∵△DEF，△DCG都是等边三角形，∴∠CDG＝∠EDF＝60°，DC＝DG，DE＝DF，∴△DCE≌△DGF（SAS），∴∠DCE＝∠DGF＝90°，∴点F的在直线FG上运动，在Rt△GCH中，∵CG＝CD＝BD＝2，∠CGH＝30°，∴CH＝CG＝1，∵DG∥BK∥CH，CD＝DB，∴GH＝GK，∴DG＝，∴2＝，∴BK＝3，根据垂线段最短可知，当点F与K重合时，BF的值最小，最小值为3．故答案为3．【知识点】旋转的性质、三角形三边关系、等边三角形的性质、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质三、解答题（共6小题）17.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边三角形BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，若AB＝6，AC＝4，求∠BAD的度数和AD的长．【解答】解：∵把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，∴AD＝DE，∠ADE＝60°，AB＝CE，∵∠BDC+∠BAC＝60°+120°＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠ACD+∠DCE＝180°，∴A，C，E在一条直线上，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠BAD＝120°﹣60°＝60°；AE＝AD＝AC+EC＝AC+AB＝10．【知识点】三角形内角和定理、作图-旋转变换、等边三角形的性质18.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC和△A1B1C1关于x轴成轴对称，画出△A1B1C1（2）点C1的坐标为﹣﹣，△ABC的面积为．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点C1的坐标为（﹣1，﹣3），△ABC的面积＝2×4﹣×2×2﹣×2×1﹣×4×1＝3．故答案为（﹣1，﹣3），3．【知识点】作图-轴对称变换、作图-旋转变换19.如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝4，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转60°，得到线段CD，连接AD，DB．（1）求线段BD的长度；（2）求四边形ACBD的面积．【解答】解：（1）由旋转得AC＝CD＝6，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形过点D作DE⊥BC于点E∵AC⊥BC，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°∴在Rt△CDE中，DE＝CD＝3，CE＝DE＝3∴BE＝BC﹣CE＝∴BD＝＝2（2）∵S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD，∴S四边形ACBD＝×36+×4×3＝15【知识点】旋转的性质20.如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若EF＝4，则△DEF的面积为．【解答】解：（1）△DEF是等腰直角三角形．理由如下：在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°．∵F落在边BC的延长线上，∴∠DCF＝∠DAB＝90°．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴DE＝DF．∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴∠ADE＝∠CDF．∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠CDF+∠EDC＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形；（2）∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝EF＝×4＝4，∴△DEF的面积＝×4×4＝8．故答案为8．【知识点】正方形的性质、作图-旋转变换、三角形的面积21.已知△ABD是一张直角三角形纸片，其中∠A＝90°，∠ADB＝30°，小亮将它绕点A逆时针旋转后β得到△AMF，AM交直线BD于点K．（1）如图1，当β＝90°时，BD所在直线与线段FM有怎样的位置关系？请说明理由．（2）如图2，当0＜β＜180°，求△ADK为等腰三角形时的度数．【解答】证明：（1）BD与FM互相垂直，理由如下：设此时直线BD与FM相交于点N，∵∠DAB＝90°，∠D＝30°，∴∠ABD＝90°﹣∠D＝60°，∴∠NBM＝∠ABD＝60°，由旋转的性质得△ADB≌△AMF，∴∠D＝∠M＝30°，∴∠MNB＝180°﹣∠M﹣∠NBM＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BD与FM互相垂直．（2）解：当KA＝KD时，则∠KAD＝∠D＝30°，即β＝30°；当DK＝DA时，则∠DKA＝∠DAK，∵∠D＝30°，∴∠DAK＝（180°﹣30°）÷2＝75°，即β＝75°；当AK＝AD时，则∠AKD＝∠D＝30°，∴∠KAD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，即β＝120°，综上所述，β的度数为30°或75°或120°．【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质、旋转的性质22.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，连接AD，BE，延长BE交AD于点F．（1）求证：∠DEF＝∠ABF；（2）求证：F为AD的中点；（3）若AB＝8，AC＝10，且EC⊥BC，求EF的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠ABC＝∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEB＝90°，∠ABF+∠CBE＝90°，∴∠DEF＝∠ABF．（2）证明：如图1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．∵∠ABN＝∠DEM，∠ANB＝∠M＝90°，AB＝DE，∴△ANB≌△DME（AAS），∴AN＝DM，∵∠ANF＝∠M＝90°，∠AFN＝∠DFM，AN＝DM，∴△AFN≌△DFM（AAS），∴AF＝FD．（3）解：如图2中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，∴BC＝EC＝＝6，∵EC⊥BC，∴∠BCE＝∠ACD＝90°，∵AC＝CD＝10，∴AD＝10，∴DF＝AF＝5，∵∠MED＝∠CEB＝45°，∴EM＝MD＝4，在Rt△DFM中，FM＝＝3，∴EF＝EM﹣FM＝．【知识点】旋转的性质。