一、函数的极限与连续性1.求函数定义域：（1）分式中，分母不能为0 （2）偶次根式中被开方式为非负 （3）对数式中真数为正 （4）三角函数式例1：函数()f x =的定义域是 ，连续区间是 。

20221101x x x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⇒≥-≠⎨⎨-≠≠⎩⎩且练1：函数()1f x x =+的定义域是 ，连续区间是 。

2.函数的奇偶性：（1）判断定义域是否关于原点对称（2）计算()f x -：若()()f x f x -=-，则函数是奇函数若()()f x f x -=，则函数是偶函数例2：下列函数中是偶函数的为（ ）A.3y x = B.sin y x x = C.xy e = D. cos y x x =33.()()().()()sin()sin ().(),(),().()()cos()cos ()x x xA f x x x f xB f x x x x x f xC f x e f x e f x eD f x x x x x f x --=-=-=--=--==-==-=--=--=-=-练2：下列函数中是奇函数的为（ ）A. 2cos y x x =B.2sin y x x = C. sin y x x = D. sin y x =3.复合函数：(),()y f u u x ϕ==复合而成[()]y f x ϕ=分解：从外到里例3：下列函数是是复合函数的是（ ）A.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.0)y x =<C.1y x =+D.sin y x x =+.B y u x ==-练3：下列函数是是复合函数的是（ ）A.x y e =B.lg 2y x =+C.2sin y x =D.23(1)y x =- 4.极限四则运算法则：设0lim (),lim ()x x x x f x A g x B →→==，则（1）0lim[()()]x x f x g x A B →±=±（2）0lim[()()]x x f x g x AB →=0lim ()x x kf x kA →=（3）0()lim(0)()x x f x AB g x B→=≠ 例4：1）x → 2） 0lim(2cos 2)xx x →+=02lim(2cos 2)2cos023x x x x →→==+=+=练4：1）1lim2x xx →=+ 2）0lim(2sin 3cos )x x x →+例5：下列极限存在的是（ ）A.22lim 1x x x →∞-B.01lim 21x x →- C.lim sin x x →∞ D.10lim x x e →2221.lim lim 1111x x x A x x→∞→∞==--，01.lim 21x x B →=∞- 练5：下列极限存在的是（ ） A.2lim(1)x x →∞+ B.01limsinx x→ C.12lim 1x x →- D.0lim 3x x →例6：1）当0x →时，下列变量中的无穷小量是（ ）A.xe B.ln x C.sin x D.cos x01x e e →=，sin sin00x →=，cos cos01x →=2）若变量21()(1)x f x x x -=-是无穷大量，则x 的变化趋向是（ ）A.1x →B. 0x →C. x →+∞D. x →-∞222111111lim lim 2,lim 1,lim 1(1)(1)(1)x x x x x x x x x x xx x x x →→→+∞→-∞-+--====--- 练6：1）当1x →时，下列变量中是无穷小量的是 （ ）A ．xe B ．3log x C ．11x- D ．sin x 2）若变量21()(1)x f x x x -=+是无穷大量，则x 的变化趋向是 （ ）A ．1x →B ．0x →C ．x →+∞D ．1x →- 5.两类极限问题： （1）“”型 例7：224lim 2x x x →-=-22224(2)(2)lim lim lim(2)422x x x x x x x x x →→→-+-==+=-- 练7：1）211lim 1x x x →-=- 2）23121lim1x x x x →-+- （2）“∞∞”型 010100101,lim 0,(0,0),m m m n n x na m nb a x a x a m n a b b x b x b m n--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<≠≠⎨++⎪⎪∞>⎪⎩例8：221lim x ax x b→∞-=+222211lim lim 1x x a ax x a bx b x→∞→∞--==++练8：221lim 21x x x x →∞-++6.两个重要极限：（1）0sin lim1x xx→=例9：1）0sin 2lim 3x x x → 2）0sin 5lim sin 3x xx→000sin 2sin 222sin 222limlim lim 13233233x x x x x x x x x→→→⎛⎫=⋅==⋅= ⎪⎝⎭0000sin 5sin 5lim sin 555555lim lim sin 3sin 3sin 3333lim33x x x x x x x x x x x x x x →→→→⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦练9：1）0lim tan x x x →= 2）0tan 3limsin 2x xx → （2）1lim(1)xx e x→∞+=1lim(1)xx x e →+=例10：1）20lim(1)xx x →+= 2） 31lim 1x x x +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3）31lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭222112000lim(1)lim (1)lim(1)xxx x x x x x x e →→→⎡⎤⎡⎤+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦33311111lim 1lim 11lim 1lim 11x x x x x x x e e x x x x x +→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+⋅+=⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦3333111lim 1lim 1lim 1xx xx x x e x x x -----→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 练10：1）1lim 13xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭2）()1lim 12x x x →- 3）1lim(1)x x x→∞-=（ ）A.eB. 1C.1e - D.∞7.左.右极限：0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=⇔==例11：设函数232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，则0lim ()x f x →=（ ）A ．2B ．2-C ．0D ．不存在20lim ()lim (2)2,lim ()lim (32)2,lim ()lim ()x x x x x x f x x f x x f x f x ++--+-→→→→→→=+==+== 练11：设函数22,0(),0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，则0lim ()x f x →=（ ）A ．2B ．1C ．0D ．不存在 8.函数的间断点：分母为0的x 例12：函数22132x y x x +=-+的间断点是（ ）A.121,2x x ==-B. 121,2x x =-=-C. 121,2x x =-=D. 121,2x x ==23201,2x x x x -+=⇒==练12：函数2223x y x x +=--的间断点为（ ）A ．31x x ==-或B ．31x x =≠-且C ．31x x ≠-≠且D ．无间断点二、一元函数的微分1.导数的几何意义导数的几何意义是曲线在一点处切线的斜率，即函数()y f x =在点0x 的导数0()f x '是曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线MT 的斜率。

切线方程：000()()y y f x x x '-=- 法线方程：0001()()y y x x f x -=--' 例13：函数232y x x=+在点(1,1)P --处的切线斜率为 。

2123324,|7x y x x y x x =-'⎛⎫''=+=-=- ⎪⎝⎭练13：曲线1x y e+=在点(1,1)-处的切线方程为 。

2.求导公式与求导法则：（1）求导公式：()0C '= 1()()x x R αααα-'=∈ ()l n x x a a a '= ()x x e e '= 1(log )ln a x x a '=1(l n )x x'= (sin )cos x x '= (c o s )s i nx x '=- 2(t a n )s e c x x '=(arcsin )x '=(a r c c o s )x'= 21(a r c t a n)1x x'=+ 例14：下列等式正确的是 （ ）A.'=B.'1ln x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()'cos sin x x = '211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2312x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()'cos sin x x =-()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ ()cu cu ''= 2()u u v uv v v ''-'=例15：求下列函数的导数1）101010xy x =+- 2）(1cos )(ln )y x x x =+- 3）212xy x +=- ()()()10109101010(10)1010ln10x x x y x x x '''''=+-=+-=+[](1cos )(ln )(1cos )(ln )(1cos )(ln )1sin (ln )(1cos )(1)y x x x x x x x x x x x x x x''''=+-=+⋅-++⋅-=--++⋅-()()()()()()()()()22222222222121212221(2)2222x x x x x y x x x x x x x x x '''+--+-+⎡⎤'==⎢⎥-⎣⎦---+-++==--练15：1）函数2sin 3cos y x x =+的导数是 （ ）.'2cos sin A y x x =- .'2cos 3sin B y x x =+ .'2cos 3sin C y x x =- .'2c o s 3s i nD y x x =-- 2）11xy x-=+，求y ' 3）函数2cos y x x =的导数是 （ ）2.'2cos sin A y x x x x =- 2.'2c o s s i n B y x x x x=+ 2.'cos 2sin C y x x x x =- 2.'c o s s i n D y x xx x=-[()]:(),()y f x y f u u x ϕϕ=== 则d y d y d u d x d u d x=⋅ 或x u x y y u '''=⋅ 例16：1）设3xy e-=，则dydx= 。