Mm mv 2 GM v GM 解：由 G 2 得v ， 而 ， r r r r r3
轨道 3 的半径比 1 的大， 故 A 错 B 对， “相切” 隐含着切点弯曲程度相同， 即卫星在切点时两轨道瞬时运行半径相同，又 a
GM ，故 C 错 D 对。 r2
【例题 3】在某星球上，宇航员用弹簧秤称得质量为 m 的物体重量为 F， 乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得环绕周期为 T，试求该星球的质 量。 解： m 物体的重量等于万有引力，设星球半径为 R ，飞船质量 m’ ，
消去 m2，推出 v ＝ gr
（ii）第二宇宙速度（脱离速度） ： v2 11.2kg / s ，使物体挣脱地球束缚
的最小发射速度。 （iii）第三宇宙速度（逃逸速度） ： v3 16.7kg / s ，使物体挣脱太阳引力 束缚的最小速度。 ⑤近地卫星：轨道半径 r = 中心体半径 R ⑥同步卫星：相对于地面静止，定点在赤道正上方与地球自转有相同的周 期。 ⑦双星半径比和双星角速度的计算 （1）由万有引力提供做圆周运动的向心力， （2）它们绕共同的圆转动， （3）具有相同的角速度（线速度不同） 。 （三）例题分析 【例题 1】地球同步卫星到地心的距离 r 可由 r
M 火m R火
2
„„„„„„③
F mg火 ma2 „„„„„„④
∴以上四式联立求解得： a2 12.5m / s 2
作业：做课课练。
Mm GM m 2 r 得 2 r r3
∴r 越大， 越小 （iii）由 G
Mm 4 2 4 2 r 3 m r 得 T r2 T2 GM
∴r 越大，T 越大 天体物理中用的最多的代数式：
2 2 v GMm F ＝ mg ＝ 2 ＝ mr 2 ＝ m ＝ mr ( ) T r r
定了基础。 利用开普勒第三定律进行相关计算：
R13 R 23 k＝ 2＝ 2 T1 T2
②万有引力定律公式：
推导出
R13 T12 ＝ R 23 T22
F G
m1m2 ， G 6.67 1011 N m2 / kg 2 2 r
③卡文迪许用扭秤实验较准确地测定了引力常量， 证明了万有引力定律的 正确性。 ④万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条 件。 （2）万有引力定律在天文学上的应用。 ①基本方法： （i）把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：
Mm v2 G 2 m m 2 r r r
（ii）在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度： g G 为天体半径。 推导重力加速度公式：
M ，R R2
②天体质量，密度的估算。 测出环绕天体作匀速圆周运动的半径 r，周期为 T， 由G
Mm 4 2 4 2 r 3 m r M 得被环绕天体的质量为 ， r2 T2 GT 2
3
a 2b 2 c 求出。已知式中 a 的 4 2
单位是 m， b 的单位是 s， c 的单位是 m/s2，则： A． a 是地球半径， b 是地球自转周期， c 是地球表面处的重力加速度。 B． a 是地球半径， b 是同步卫星绕地心运动的周期， c 是同步卫星的加 速度。 C． a 是赤道周长， b 是地球自转周期， c 是同步卫星的加速度。 D． a 是地球半径， b 是同步卫星绕地心运动的周期， c 是地球表面处的 重力加速度。 解：由 G
与木板动摩擦因数为 0.5，在地球上拖动时，能获得 10m/s2 的最大加速度，将 箱子、木板、绳子送到火星上，仍用同样的力和方式拖动木箱，求此木箱能获 得的最大加速度。 解：地球表面： mg地 G
M 地m R地
2
„„„„„„①
F mg地 ma1 „„„„„„②
火星表面： mg火 G
x 2 h2 L2 „„„„„„„„„①
由于第二次抛出点的高度与第一次相同，则落地时间 t 所以第二次平抛水平射程为 2 x 。 则： (2x)2 h2 ( 3L)2 „„„② 由 ① ② 两 式 得
2h 一样， g星
h
3 L „„„„③ 3
又因为 h
1 g 星t 2 „„„„„„④ 2
密度为
M 3 r 3 ，R 为被环绕天体的半径。 V GT 2 R 2
3 。 GT 2
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则 ③环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。 （i）由 G
Mm v2 GM m 得v 2 r r r
∴r 越大，v 越小 （ii）由 G
由 万 有 引 力 定 律 ，
mg 星 G
Mm „„⑤ R2
2 3LR 2 由③④⑤式可得 M 3Gt 2
【 例 题 6 】 已知 地 球与火 星 的 质量 之比 M 地 : M 火 8:1 ， 半 径之 比
R地 : R火 2 :1，现用一根绳子水平拖动放在地球表面木板上的箱子，设箱子
【例题 5】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经 过时间 t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出 的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 3L 。已知两落地点 在同一水平面上，设星球的半径为 R，万有引力常量为 G，求该星球的质量。 解：设抛出点的高度为 h ，第一次平抛水平射程为 x ，则：
2
④三种宇宙速度 （i）第一宇宙速度（环绕速度） ： v1 7.9kg / s ，人造卫星的最小发射速度。 第一宇宙速度公式的推导： （r 为轨道半径，和中心天体的半径近似 相等）
m2 v 2 Gm1 m2 F＝ ＝ r r2
F＝ m2 g ＝
消去 m2 和一个 r，推出
v＝
Gm1 r
m2 v 2 r
它受到重力 (mg ' mg ) 拉力 ( F 75N ) 的作用， 由牛顿第二定律： F mg ' ma 得 g ' 2.5m / s 2 ， 又∵ mg ' G
Mm ， ( R h) 2
mg G
Mm ， R2
∴
g' R2 ， g ( R h) 2
∴ h R 6400km
Mm 4 2 GMT 2 3 m r r 得 ， r2 T2 4 2

由g G
M gT R 3 得r ， 2 R 4 2
2
2

2 1
3
∴A、D 正确。 【例题 2】将卫星发射至近地圆轨道 1（如图所 示） ， 然后再次点火， 将卫星送入同步轨道 3。 轨道 1、
Q

2 相切于 Q 点，2、3 相切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行 时，以下说法正确的是： A．卫星在轨道 3 上的速率大于轨道 1 上的速率。 B．卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度。 C． 卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的 加速度。 D．卫星在轨道 2 上经过 P 点的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加 速度。
F
GMm ， R2
飞船绕该星球飞行时，万有引力提供向心力： G
Mm ' 4 2 m ' R， R2 T2
由以上两式可得： M
T 4F 3 16 4Gm3
【例题 4】宇宙飞船以
g 的加速度匀加速上升，在飞船中用弹簧秤测得质 2
量为 10kg 的物体的视重为 75N，若已知地球半径为 6400km，求测量时飞船所 处的位置距地面的高度（g 为地面的重力加速度） 。 解：取物体为研究对象。
《万有引力与航天》复习教案
教学目标
一、知识与技能 1．归纳本章基本知识，形成知识网络。 2．巩固综合运用万有引力定律、圆周运动知识解决具体问题的方法。 二、过程与方法 注重基本概念和规律理解，熟悉物理量间的关系，重视物理过程的推导。 三、情感、态度与价值观 掌握万有引力在航天航空以及天文学领域的基本应用， 培养学生应用基本知 识解决实际问题的能力。 教学重点： 梳理知识，综合运用万有引力定律、圆周运动知识解决具体问题的方法。 教学难点： 综合运用所学知识解题 教学方法：启发引导、讲练结合 教学用具：PPT 课件 课时安排：1 课时 （一）复习概念规律 1．知识结构： 轨道定律 开普勒行星运动定律 定律 万有引力定律 万有引力定律 面积定律 周期定律 发现 表述 G 的测定 天体质量的计算 应用 发现未知天体 人造卫星、 宇宙速度 2．重点知识梳理： （1）万有引力定律 ①开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠