北邮离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）（2）{}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对 ） （5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ 错 ）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则 （ 对 ）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ 错 ）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ 对 ）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA = （ 错 ）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A ⨯为 （ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρ .~1~2ρρ7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρ 则B ___________________. 填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。

解 （1）ρ的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100110000110011ρM （2）从ρ的关系矩阵可知：ρ是自反的和对称的。

又由于 ρρρM M M ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011000011001111001100001100111100110000110011 或ρρρ= 满足ρρρ⊆所以ρ是传递的。

因为ρ是自反的、对称的和传递的，所以ρ是A 上的等价关系。

（3） },{][][b a b a ==，},{][][d c d c ==2. 设集合}36,24,12,8,6,3,2,1{=A ，ρ是A 上的整除关系，（1） 写出ρ的关系矩阵ρM ；（2） 画出偏序集><ρ,A 的哈斯图；（3） 求出A 的子集}6,3,2{=B 的最小上界和最大下界。

解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000000001000000111000000101000011101000111011001111101011111111ρM （2）（3）lubB=6, glbB=1五、证明题1. 设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 试证21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系。

证明：由于21,ρρ是自反的，所以对任意A a ∈,21,,,ρρ>∈<>∈<a a a a , 因而21,ρρ⋂>∈<a a ，即21ρρ⋂是自反的。

若21,ρρ⋂>∈<b a ，则21,,,ρρ>∈<>∈<b a b a ,由于21,ρρ是对称的，所以21,,,ρρ>∈<>∈<a b a b , 从而21,ρρ⋂>∈<a b ，即21ρρ⋂是对称的。

若21,,,ρρ⋂>∈<><c b b a ，则21,,,,,,,ρρ>∈<><>∈<><c b b a c b b a ,由于21,ρρ是传递的，所以21,,,ρρ>∈<>∈<c a c a , 从而21,ρρ⋂>∈<c a ，即21ρρ⋂是传递的。

由于21ρρ⋂是自反的、对称的和传递的，所以21ρρ⋂是等价关系。

第二章 代数系统一、判断题（1）集合A 上的任一运算对A 是封闭的． （ 对 ）（2）代数系统的零元是可逆元. （ 错 ）（3）设A 是集合，A A A →⨯: ，b b a = ，则 是可结合的． （ 对 ）（4）设b a ,是代数系统〉〈 ,A 的元素，如果e e a b b a (== 是该代数系统的单位元），则.1b a =- ( 对 )（5）设.)(,,,111---⋅=⋅⋅〉〈b a b a G b a 则的元素是群 （ 错 ）（6）设>⋅<,G 是群．如果对于任意G b a ∈,，有 222)(b a b a ⋅=⋅，则>⋅<,G 是阿贝尔群． （ 对 ）（7）设.,,,满足幂等律则运算是格∨∧〉∨〈L （ 对 ）（8）设集合},{b a A =，则>⋂⋃<,},},{},{,{A b a φ是格． （ 对 ）（9）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则>∧∨<,,B 是格． （ 对 ）二、单项选择题（1）在整数集Z 上，下列哪种运算是可结合的 （ B ）A. b a b a -= B ．},max{b a b a =C. b a b a 2+=D. ||b a b a -=（2）下列定义的实数集R 上的运算 * 中可结合的是. （ C ）A ．b a a b a ⋅+=*B ．b a a b a ⋅+=*2C ．b b a =*D ．b a b a +=*其中，+，·，︱ ︱分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算.（3）设集合{}10,,4,3,2,1 =A ，下面定义的哪种运算关于集合A 不是封闭的 （ D ）A. },max{y x y x =B ． },min{y x y x =C. },{GCD y x y x = ，即y x ,的最大公约数D. },{LCM y x y x = ，即y x ,的最小公倍数（4）下列哪个集关于减法运算是封闭的 （ B ）A. N （自然数集）； B ．)}(|2{整数集Z x x ∈；C. }|12{Z x x ∈+；D. }|{是质数x x .（5）设Q 是有理数集，在Q 定义运算*为ab b a b a -+=*，则*,Q 的单位元为 （ D ）A. a ； B ．b ； C. 1； D. 0（6）设代数系统〈A ，·〉，则下面结论成立的是. （ C ）A ．如果〈A ，·〉是群，则〈A ，·〉是阿贝尔群B ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉是循环群C ．如果〈A ，·〉是循环群，则〈A ，·〉是阿贝尔群D ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉必不是循环群（7）循环群+,Z 的所有生成元为 （ D ）A. 1，0 B ．-1，2 C. 1，2 D. 1，-1三、填空题1. 设A 为非空有限集，代数系统>< ,2A中，A 2对运算 的单位元为 ，零元为 .填A ,φ2.代数系统>+<,Z 中（其中Z 为整数集合，+为普通加法），对任意的I x ∈，其=-1x .填x -3.在整数集合Z 上定义 运算为b a b a ++=2 ，则>< ,Z 的单位元为 .解 设单位元为e ，a e a e a =++=2 ，所以2-=e ，又a a a a a a =++-=-=-++=-2)2()2(,)2(2)2( ，所以单位元为2-=e4.在整数集合Z 上定义 运算为ab b a b a -+= ，则>< ,Z 的单位元为 .解设单位元为e ，a ae e a e a =-+= ，0)1(=-e a ，所以0=e5.设⋅,G 是群，对任意G c b a ∈,,，如果,c a b a ⋅=⋅，则 .填c b =6.设⋅,G 是群，e 为单位元，若G 元素a 满足a a =2，则=a .填e四、解答题1.设 为实数集R 上的二元运算，其定义为ab b a b a R R 2,:2++=→ ，对于任意R b a ∈,求运算 的单位元和零元。