二次函数试题一;选择题：1、 y =（m-2）x m2-m 是关于x 的二次函数，贝U m=（）A-1B2C-1或2 Dm 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）模型的是（） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系的解析式是（B y=—(x+2) 2+2C y=—x+2) 2+25、抛物线y=1X 2-6X +242 B (— 6, 6) A (— 6,— 6) 6、 已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示, ① abc 〈0 ② a + c 〈bA 1B 27、函数 y=ax 2-bx+c b a c C (a ^ 0) cA -1 C (6, 6) ③ a+b+c > 0 ④ 3 D 4 的图象过点（-1 , 0），则 a b 1 C - 2y= ax+c 与二次函数的值是（ 12y=ax_+bx+c (a * 0), 8、已知一次函数 它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=- x 2,则抛物线 A y=—(x-2) 2+22 217、抛物线y= ( k+1) x +k -9开口向下，且经过原点，则k = ----------解答题：(二次函数与三角形)391、已知：二次函数y=_x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点(2,-—)•44AMC (1)求此二次函数的解析式.(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧)，请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点己，使厶EBC的面积最大, 并求出最大面积.2、如图，在平面直角坐标系中, 抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与轴交于点C (0, 4),顶点为( 1, ! )•(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标.(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，分别连接AC、BC,过点作EF // AC交线段BC于点F，连接CE,记厶CEF的面积为S, S是否存在最大值?若存在，求岀S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.4 23、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= 3X + bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积；(3) 作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N •问在x轴上是否存在点P,使得厶PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由.1 27(二次函数与四边形) 4、已知抛物线y =-x2_mx • 2m __ .2 2(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；⑵如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C,直线y=x- 1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D .①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.5、如图，抛物线y= mx2- 11mx + 24m (m v 0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且 / BAC=90°.(1)填空：OB = _ ▲，OC = _ ▲;(2)连接OA,将厶OAC沿x轴翻折后得△ ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；(3)如图2,设垂直于x轴的直线I: x= n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线I沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形N的面积取得最大值，并求出这个最大值.l: x= n学习资料收集于网络，仅供参考6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC // AD，/ BAD=90 ° , BC与y轴相交于点M，且M是BC 的中点，A、B、D三点的坐标分别是A ( _1，0 )，B ( _1，2 )，D (3, 0).连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y =ax2亠bx亠C经过点D、M、N .(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值.27、已知抛物线y二ax -2ax -3a (a ::: 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点c,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B的坐标；(2)过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；(3)在第(2)小题的条件下，直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F,则直线NF 上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求岀点M的坐标；若不存在，请说明理由.(二次函数与圆)8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a^0的图象经过M (1, 0)和N (3, 0)两点，且与y轴交于D (0, 3),学习资料学习资料收集于网络，仅供参考直线I是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.2) 若过点A (- 1 , 0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式.3) 点P在抛物线的对称轴上，。
P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标.9、如图, y关于x的二次函数(x+m) (x- 3m)图象的顶点为图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(-3，0)，连接ED. (m>0)(1)写出A、B、D三点的坐标；(2)当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；(3)当m变化时，用m表示△ AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。
M,210、已知抛物线y = ax • bx •啲对称轴为直线X =2，且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中AI(1，0)，C(0，-3).(1)( 3分)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).◎ ( 4分)如图I.当△ PBC面积与△ ABC面积相等时.求点P的坐标；笑(5分)如图2 .当/ PCB= / BCA时，求直线CP的解析式。
学习资料收集于网络，仅供参考答案:1、解: (1)由已知条件得，（2分）X 22+ 2& + c =解得b= - , c=-，二此二次函数的解析式为2y= x;(1 分)(2),J 23 9 0.x - x - =0,・・x4 2 4，1= —1,X2=3,••• B (- 1 , 0), C (3, 0), ••• BC=4 (1 分)•••E点在x轴下方，且厶EBC面积最大，「.E点是抛物线的顶点，其坐标为（1,- 3), (1 分)• △ EBC的面积=X 4X 3=6 (1 分)12、（1）••抛物线的顶点为（1, 9）•设抛物线的函数关系式为2Qy = a ( x—1) + -••抛物线与y轴交于点C （0, 4),•所求抛物线的函数关系式为(2)解：P1 (1 , - 17), P2 (1 , - ,17), P3 (1 ,29• a (0—1) + ~= 4 解得a = 1 2 , 92( x—1) + 2178) , P4 (1, §),1 o 9(3)解：令一？( x—1) + 9= 0,解得X1 = —2 , 2与x轴的交点为x1= 4•抛物线y=—十（x—1过点F作FM丄OB于点M,A (—2, 0) C (4, 0)••• EF // AC , •△ BEFBAC , •鬆=囂又设E 点坐标为(x , 0),贝U EB = 4 —x , MF = - (4 —x)31 2 1 2 1 2 8 1一MF)= 2 (4 —x)[4 —3 (4 —x)] = —3x + §x+ 3= — 3(1 EB 2•/ OC = 4 , AB= 6, • MF =忑乂OC = 3EB111• S= BCE—S A BEF= EB • OC —2 EB • MF = ? EB(OCx—1) + 3•a = —0, • S有最大值当x= 1时,S最大值=3此时点E 的33、(1) ••一次函数y = —4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、4 2•A (— 1 , 0) C (0 , —4)把A (—1, 0) C (0 , —4)代入y=尹2-J4—b+ c = 0 • 3c=—4 (2) •/ y=|x2-8b=—3l c=—48 4 —3x—4= 3( x—1)―4 2 8• y= 3x一3x—4设直线DC交x轴于点E 由D （1, 2 163迤)3•顶点为D （1,C (0,—4)易求直线CD的解析式为y=—务一4易求 E (—3 , 0), B ( 3 , 0) S AEDB =6 X血=162 33设D 3E 的解析式为y =— .3x + bD 3E 交x 轴于(一 1, 0)代入解析式得b =— , 3, 把 x =— 1 代入得 y = 0 •- D 3 (— 1, 0),在Rt △ D 1HB 中，由勾股定理得 D 1H = .11 可求交点坐标 D 1 (— 1, 11+ 3) , D 2 (— 1 , 2 2)• - y = — "--j 3x — 3过 B 做 BH // x 轴，则 BH = 111D 1 (— 1 , ■. 11 + 3)同理可求其它点的坐标。
D 3 (— 1, 0), D 4 (— 1, ,11 — ,3)D 5 (— 1,— 2 2)1 72 2-4 2m = m 「4m 7 = m -4m 4 3= m22 2m-2 >0,.••匚=m-2i 亠3>0,.无论m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.（2） •/抛物线的对称轴为直线 x=3,. m=3 ,1 5 1 2抛物线的解析式为 y = —x 2 —3x +— = —（X -3 \ -2，顶点C 坐标为（3,— 2）,2 2 2f y =x —1,f . f —j1x — 1 x — 7 解方程组<1 25，解得彳1 — 或彳2—，所以A 的坐标为（1 , 0）、B 的坐标为（7, 6）,y=—x —3x+—1% =0 也=6i 2 2X=3时y=x —仁3—仁2,. D 的坐标为（3, 2）,设抛物线的对称轴与 x 轴的交■点为E ,则E 的坐标为（3, 0）,所以 AE=BE=3 , DE=CE=2 ,① 假设抛物线上存在一点 P 使得四边形ACPD 是正方形，则 AP 、CD 互 相垂直平分且相等，于是 P 与点B 重合，但AP=6, CD=4 , AP M CD , 故抛物线上不存在一点 P 使得四边形ACPD 是正方形. ②（I ）设直线CD 向右平移n 个单位（n > 0）可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线 CD 的解析式为x=3 n ，直线CD与直线y=x — 1交于点M （3 n , 2 • n ）,又• D 的坐标为（3 , 2） , C 坐标为（3, — 2） , • D 通过向下平移4个单位得到C .• C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，.••四边形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形.（i ）当四边形 CDMN 是平行四边形，• M 向下平移4个单位得N , • N 坐标为（3 • n , n - 2）,1 2 5 1 2 5又N 在抛物线y x - 3x 上,• n-2 3，n 3 3 n ，2 2 2 2解得①=0 （不合题意，舍去），啓=2,（ii ）当四边形 CDNM 是平行四边形，• M 向上平移4个单位得N , • N 坐标为（3 5, n ，6）, 1 5 1 2 5又 N 在抛物线 y=_x 2_3x+_ 上，• n +6= —（3 + n ）_3（3 + n ） + _,2 2 2 2解得n^1 -衍 （不合题意，舍去），珏=1,（n ）设直线CD 向左平移n 个单位（n >0）可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线 CD 的解析式为x=3 -n ,直线CD 与直线y=x — 1交于点M （3-n , 2 7 ）,又• D 的坐标为（3 , 2） , C 坐 标为（3, — 2） , • D 通过向下平移4个单位得到C .• C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，.••四边形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形.1 S ^ECA = 2^ 2X 4= 4(3)抛物线的对称轴为 S 四边形 ABDC =S ^ED B — S ^EC A = 12x =- 1做BC 的垂直平分线交抛物线于 E ,交对称轴于点 D 3T D 3E 是BC 的垂直平分线 ••• D 3E // AB易求AB 的解析式为y =— 一 3x+[ 3 22 3 ,•••不管m 为何实数，总有学习资料收集于网络，仅供参考学习资料收集于网络, (i)当四边形 又N 在抛物线仅供参考 CDMN 是平行四边形, 1 2 ° 5 y 二一x 「3x —上， 2 2 •M 向下平移4个单位得N ,. N 坐标为(3-n , 一2-n ),1 25• -2 - n 3 —n ; -3 3 — n解得①=0 (不合题意，舍去)，n 2 =-2 (不合题意，舍去)， (ii)当四边形 CDNM 是平行四边形, 1 2 5 又N 在抛物线y = —x -3x -上, 2 2 • M 向上平移4个单位得N ,. N 坐标为(3—n , 6-n ), 1 - 2 … 5 2 • 6 —n =丄(3 —n $ -3(3-n )+：2 t解得 m -1 17 , n 2 = -1 - . 17 (不合题意，舍去)， 综上所述，直线CD 向右平移 2或(1.17 )个单位或向左平移( -「J17 )个单位，可使得 C 、D 、M 、 N 为顶点的四边形是平行四边形. 5、解：(1) OB = 3, OC = 8 (2)连接OD ，交OC 于点 •••四边形OACD 是菱形• AD 丄 OC , OE = EC =1X 8= 4 2BE = 4 — 3= 1 又•••/ BAC = 90°• AE = CE BE = AE• AE 2= BE • CE = 1X 4 • AE = 2•点A 的坐标为(4, 2)把点A 的坐标(4 , 2)代入抛物线y = mx 2— 11 mx + 24m ,1 1 11得m = — •抛物线的解析式为 y = — ?x 2 + "2"x —12 (3) •••直线x = n 与抛物线交于点 M1 11•点M 的坐标为(n ,—尹2+ yn — 12)由(2)知，点D 的坐标为(4 , — 2), 则C 、D 两点的坐标求直线 CD 的解析式为 1••点 N 的坐标为(n ,尹一4)1 y =?x — 412.11 I: x = n MEC ” xN• MN =(— 2〒 + 牙n — 12) — ( *n — 4)= — • S 四边形 AMCN = S A AMN + S A CMN = ^MN S 四边形AMCN = 9B (-1, 2), M 是BC 与x 轴的交点,9a 3b c =0• N (-3, 2),则 C = 29a 「3b c = 0•••当 n = 5 时， 6、解：(1) •/ BC // AD , •/ DM // ON , D ( 3 , 0), 2 1 12 2-CE = 2 (— 2n + 5n — 8)X 4 =— (n — 5) + 9解得!a bc=-11 9, • y x1 9=—— 3 =21 : 2n i2 + 5n — 84x 2；(2)连接AC 交y 轴与G ,T M 是BC 的中点，• AO=BM=MC •••/ABC=90 ,• BG 丄AC ，即卩BG 是AC 的垂直平分线，要使 在直线BG 上，•点P 为直线BG 与抛物线的交点， ,AB=BC=2 ,• AG=GC ，即 G ( 0, 1), PA=PC ，即点P 在AC 的垂直平分线上，故 P 设直线BG 的解析式为y 二kx • b ，则_k b一2，解得■'lb=1lb = 1k = _1 ,• y = _x+1 ,1 ，解得—x 2 3x^i= 3 3、2y i _ -2 - 3 2 x 2 = 3 - 32 y 2 = -2 3, 2•••点 P ( 3 3.2，一 2一3、.2 )或 P ( 33、2，一 2 32 ),1 2 1 1 3 2 93 (3) v y x x 2 (x ) ，•对称轴 x =9 3 9 2 421 2 1令 x x • 2 = 0 ,解得捲=3 , x 2 =6 , • E ( -6 , 0),9 33故 E 、D 关于直线 x 对称，•••QE=QD , • |QE-QC|=|QD-QC| ,23要使|QE-QC|最大，则延长 DC 与x 相交于点Q ，即点Q 为23直线DC 与直线x 的交点，2由于M 为BC 的中点，• C (1 , 2),设直线CD 的解析式为3 3 9 3 9当x 时，y 3 ，故当Q 在( ，一)的位置时，|QE-QC|最大,2 2 2 2 2过点C 作CF 丄x 轴，垂足为F ，则CD= CF 2 DF 2 仝22 22 =2.2 .27、解：(1)由 y=0 得，ax -2ax-3a=0 ,•••a M0, • x 2-2x-3=0 , 解得 禺=-1 , X 2=3 ,•••点 A 的坐标(-1 , 0)，点 B 的坐标(3, 0);(2) 由 y=ax 2-2ax-3a ，令 x=0，得 y=-3a ,• C (0, -3a ),22又.y=ax -2ax-3a=a (x-1) -4a , 得 D (1, -4a ),• DH=1 , CH=-4a- (-3a ) =-a ,• -a=1 , • a=-1 ,• C ( 0 , 3), D (1, 4),f & = 3fb = 3设直线CD 的解析式为y=kx+b ,把C 、D 两点的坐标代入得，.-i '-，解得- 1•直线CD 的解析式为y=x+3 ;(3) 存在.3399由(2 )得，E (-3 , 0), N (-一，0)•- F (.,.),EN= 一，3作MQ 丄CD 于Q ,设存在满足条件的点M (一，m ),贝U FM=一 -Z63 由题意得：Rt △ FQM s Rt △ FNE ,•••=- = - 1 ,整理得 4m 2+36m-63=0，二 m 2+9m= ,r BL 63 Bl 2m +9m+ = + 9 r 144 9(m+ -) = m+ -=±12 T3 21二 m1= - , m2=- ■-,3 3 3 21•••点M 的坐标为M 1 ( 2,-),M 2 ( . !,-:-).8、解：(1) v •抛物线y=ax 2+bx+c (a 工0的图象经过M (1, 0)和 N (3 , 0)两点，且与 y 轴交于D (0 , 3),则3k b=° k b=2 解得-1,• yb =3--x 3,y - -x 11 2 y x 9。