5 s2 (0.43) (5 0.8) 7 1
0.4
s1 7 0.8 0.41 =0.843 0
7
s0
1
空位处理方法：列 表计算时，若遇空 位，均以零赋值。
极点，系统闭环传递函数为
m
(s)
C(s) R(s)
q
(s
i 1
K * bi smi
i0
r
si )
(s2
k 1
2
kk s
k 2 )
系统的初始状态响应的拉氏变换与系统闭环传递函
数具有相似结构：分母多项式相同，分子多项式的系
数可能不同。
取 r(t) (t), R(s) 1,系统单位脉冲响应拉氏变换为
按稳定性定义，临界稳定属于不稳定。
三、劳斯(Routh)稳定判据
劳斯稳定判据是代数判据，可以判断系统的稳定 性，无需求出系统的特征根，还可以确定s右半平面
闭环极点数。
均为负数？
系统稳定的必要条件：特征方程的所有系数均为
正数。 a0 0或a0 1
同号、不缺项
必要条件－必须的条件，但不是充分的条件。满
闭环实极点对应的脉冲响应
闭环共轭复极点对应的脉冲响应
若要求系统单位脉冲响应趋于零，必须各闭环极点
对应的时间分量趋于零，即各闭环极点的实部应小于
零。
所有闭环极点均应位于s左半平面
闭环极点有重极点的情况：闭环极点对应的时间分
量出现 tkesit或tkeiit 的形式，结论仍成立。
线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程
系统平衡状态稳定性 系统初始偏差响应渐近趋 于零 系统初始状态响应渐近趋于零 系统脉冲响 应渐近趋于零 系统运动稳定性
系统稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影 响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零， 则称系统渐近稳定，简称稳定。
初始扰动—为外界扰动，只在初始时刻作用与系统， 使系统偏离零状态产生初始偏差。
ca221
ca341
ca461
……
sn-1 ca112
ca232
ca352
ca472
……
sn-2
c c c c c1133
a1a2 a0a3 a1
c 2233
a1a4 a0a5 a1
c3333
a1a6 a0a7 a1
43
……
sn-3
cc1144
c13a3 a1c23 c13
c c c2244
c13a5 a1c33 c13
c3344
c13a7 a1c43 c13
c44
……
…… s1 c1n
s0 ca1nn+1
… c2n
c13 c…23a1ca32a3a1a1a4a0a1a1aa360aa15a0a7
c14 c2c41c33ac431c31a3ca51c131ca32a73c11c33a31c43
i 1
k 1
dk k 1 k 2
系统的初始状态响应一定具有上述相似形式，只是 各时间响应分量的系数不同。
j
i 0 k(t) ci 0
j
0
k(t) ci
t
0
j
j
i
0 i
k(t) ci
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
i
k(t)
t
0
t
0
j
i
0
i
k(t)
j
i
0
i
i
k(t)
t0
t
0
t
稳定
临界稳定
不稳定
衰减振荡－稳定 等幅振荡－临界稳定 发散振荡－不稳定
C(s) K (s) (s)
设闭环极点均为单极点，展开为部分分式之和的形式
K (s) (s)
q i 1
Ai s si
r k 1
Bk (s kk ) Ck 1 k 2k
(s
kk
)2
（1
2 k
)k
2
系统的单位脉冲响应为
q
r
k (t) Aiesit + e kkt Bk cos dkt +Ck sin dkt
3.3 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
A
C
B
(a)
(b)
图示系统，在无外力作用时
小球可在 A、B 点保持静止
平衡状态
小球在平衡状态 A 附近的运动 越来越偏离 A
小球在平衡状态 B 附近的运动 渐近趋向于B
平系衡统状(态a)A不不稳稳定定 平衡系状统态(bB)稳稳定定
单摆系统：球质量为 m ，
的所有根均具有负实部，即闭环传递函数的极点均位
于s左半平面。
渐近稳定性
负实部—对任一闭环极点Si，Re(Si)<0 ~闭环传递函 数的所有极点均位于s左半平面（开左半平面）
不稳定—闭环传递函数有极点位于s右半平面(闭右 半平面)。
临界稳定—闭环传递函数有极点位于s平面的虚轴， 其余极点均位于s左半平面。
劳斯稳定判据 系统稳定的充要条件是劳斯表的第一
列元素均为正。若第一列元素出现负值，系统不稳定。
第一列元素符号改变的次数，等于特征方程正实部根
的数量。
例3.3-1 已知系统特征方程，判定系统稳定性。
6s5 5s4 4s3 3s2 2s 1 0
解：s5
6
42
s4
5
31
s3 (5 4) (6 3) 0.4 0.8 0
足必要条件，系统并不一定稳定。
若系统特征方程的系数中有负数或零（缺项)，则 系统一定不稳定。但所有系数均大于零，系统也有
可能不稳定。 充要条件－劳斯稳定判据。
1.系统稳定性判据——劳斯判据
劳斯表的列写 系统闭环特征方程为 a0sn a1sn1 an1s an 0 (a0 0)
sn ca101
杆长 l ，杆的质量相对球可 忽略，中心轴摩擦系数为 f
AC
m
mgl sin
mg
l
系统有两个平衡点：A、B
f
单摆的运动轨迹为圆。考虑
平衡点附近的运动。
外力为零时，球的运动方程为
mgl sin
f
d
dt
ml
d 2
dt 2
B
D
mgl sin mg
直观判断，由于阻尼的存在，球的摆动逐渐减弱，最
终会停留在 B 点，一般不会停留在 A 点。
平衡点 A ：不稳定 平衡点 B ：稳定
平衡点附近运动的稳定性称为平衡状态稳定性， 分为大范围稳定和小范围稳定。
线性系统的平衡状态—在无输入作用时，系统输 出的各阶导数为零；在输入作用下，系统处于某一 平衡的工作状态。
线性系统在平衡状态附近的运动—在外界扰动的 影响下，系统偏离平衡状态，产生偏差；外界扰动 消失时，为系统运动的初始时刻。系统在该初始偏 差的作用下的运动反映线性系统的稳定性。
动态过程—系统输出及其各阶导数在初始偏差作用 下的运动过程。
渐近稳定—系统稳定性能的一种定义。此外还有： Lyapunov稳定、BIBO稳定、一致稳定等等。
二、线性系统稳定的充分必要条件
稳定条件 稳定性是系统的固有特性，线性系统的 稳定性只取决于系统本身的结构和参数，而与外作用 及初始条件无关。
设n阶线性定常系统有q个实数极点、r对共轭复数