9-1两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 解：在轴线上的磁场()()22003322222IR IR B x R x R xμμ=≈>>+32202xr IR BS πμφ==v xr IR dt dx x r IR dt d 422042202332πμπμφε=--=-=9-2如图所示，有一弯成θ 角的金属架COD 放在磁场中，磁感强度B ϖ的方向垂直于金属架COD 所在平面．一导体杆MN 垂直于OD 边，并在金属架上以恒定速度v ϖ向右滑动，v ϖ与MN 垂直．设t =0时，x = 0．求当磁场分布均匀，且B ϖ不随时间改变，框架内的感应电动势i ε．解：12m B S B xy Φ=⋅=⋅,θtg x y ⋅=,vt x =22212/()/i d dt d Bv t tg dt Bv t tg εϕθθ=-=-=⋅，电动势方向：由M 指向N9-3 真空中，一无限长直导线，通有电流I ，一个与之共面的直角三角形线圈ABC 放置在此长直导线右侧。

已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，如图所示。

若线圈以垂直于导线方向的速度v 向右平移，当B 点与直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势的大小和方向。

解：当线圈ABC 向右平移时，AB 和AC 边中会产生动生电动势。

当C 点与长直导线的距离为d 时，AC 边所在位置磁感应强度大小为：02()IB a d μπ=+AC 中产生的动生电动势大小为：xr IRx vC DOxMθBϖv ϖ02()AC AC IbvBl v a d μεπ==+，方向沿CA 方向如图所示，在AB 边上取微分元dl ，微分元dl 中的动生电动势为，()AB d v B dl ε=⨯⋅v v v其方向沿BA 方向。

v B ⨯vv 的方向向上，大小为vB 。

设BAC θ∠=，则()cos AB d v B dl vB dl εθ=⨯⋅=vv v02I B x μπ=，sin dx dl θ=，bctg aθ= 00cos 2sin 2AB I Iv dxb d vdx x x a μμεθπθπ== 00ln22d a ABd Iv Ivb b d a dx x a a aμμεππ++==⎰ 方向沿BA 方向 线圈ABC 内的感应电动势的大小为00ln 22()AC AB Ivb Ibvd a a a a d μμεεεππ+=+=-+ 方向：BACB9-4如图所示，一根长为l 的金属细杆ab 绕竖直轴12O O 以角速度ω在水平面内旋转。

12O O 在距离细杆a 端15l 处。

若已知地磁场在竖直方向的分量为B ，求ab 两端间的电势差a b U U -，并指出a 、b 两点哪点电势高？解：Ob 间的动生电动势：44225500148()()2525l l Ob v B dl lBdl B l Bl εωωω=⨯⋅===⎰⎰vv v b 点电势高于O 点。

Oa 间的动生电动势：2255011()()2550l lOa l v B dl lBdl B Bl εωωω=⨯⋅===⎰⎰v v va 点电势高于O 点。

222183502510a b Oa Ob U U Bl Bl Bl εεωωω-=-=-=- b 点电势高。

9-5在匀强磁场B 中，导线OM MN a ==，0120OMN ∠=，OMN 整体可绕O 点在垂直于磁场的平面内逆时针转动，如图所示，若转动角速度为ω。

（1）求OM 间电势差OM U （2）求ON 间电势差ON U（3）指出O 、M 、N 三点中哪点电势最高？解：(1)20012aaOM O M U U U Bvdl B ldl B a ωω=-===⎰⎰(2) 添加辅助线ON ，由于整个△OMN 内感应电动势为零，所以OMMN ON εεε+=，即可直接由辅助线上的电动势来代替OM 、MN 两段内的电动势．(3) O 点电势最高．9-6如图所示为水平面内的两天平行长直裸导线LM 与L M ''，其间距离为l ，其左端与电动势0ε的电源连接。

匀强磁场B 垂直于图面向里。

由于磁场力的作用，ab 将从静止开始向右运动起来。

求：（1）ab 能达到的最大速度v 。

（2）ab 达到的最大速度时，通过电源的电流I （不计电阻及任何运动阻力）分析：本题是包含电磁感应、磁场对电流的作用和全电路欧姆定律的综合性问题。

当接通电源后，ab 中产生电流。

该通电导线受安培力的作用而向右加速运动，由于ab 向右运动使穿过回路的磁通量逐渐增加，在回路中产生感应电流，从而使回路中电流减小，当回路中电流为零时，直导线ab 不受安培力作用，此时ab 达到最大速度。

解：（1）电路接通，由于磁场力的作用，ab 从静止开始向右运动起来。

设ab 运动的速度为v ，则此时直导线ab 所产生的动生电动势i Blv ε=，方向由b 指向a 。

由全电路欧姆定理可得此时电路中的电流为 00iBlvi RRεεε--==，R 为电源内阻。

a a ON 330cos 2=︒=2/3)3(2122B a a B U U U N O ON ωω==-=ab 达到的最大速度时，直导线ab 不受到磁场力的作用，此时0i =。

所以ab 达到的最大速度为 00Blv i R ε-==，000,Blv v Blεε-==（2）ab 达到的最大速度时，直导线ab 不受到磁场力的作用，此时通过电路的电流0i =。

所以通过电源的电流也等于零。

9-7 如图所示，真空中一根长直导线AB 中电流为i ，矩形线框abcd 与长直导线共面，且//ad AB ，dc 边固定，ab 边沿da 及cb’以速度v 无摩擦地匀速平动。

设线框的自感可以忽略不计。

（1） 如果0i I =，求ab 中的感应电动势，ab 两点哪点电势高？ （2） 如果0cos i I t ω=，求线框中的总感应电动势（0I 为一恒量）解：建立如图示的坐标系 （1） 在ab 上取一微元dxabi d Bvdx ε=，02iB xμπ=010100010ln 22l l l l abi l l i iv l lBvdx vdx x l μμεππ+++===⎰⎰0i I =，0001ln 2abi I v l l l μεπ+=，a 点电势高 （2）02m id BdS vtdx xμπΦ==0100010ln 22l l m l i ivt l lvtdx x x l μμππ++Φ==⎰00010ln (sin cos )2m i d vI l l t t t dt l μεωωωπΦ+==-9-9 边长为0.2l m =的正方形导体回路，位于圆形区域的均匀磁场中央，如图所示。

磁感应强度以10.1T s -⋅的变化率减小。

（1） 求正方形顶点处的感生电场。

（2） 证明：在回路上，感生电场沿回路的分量大小处处相等。

解：（1）作正方形外接圆，圆的半径20.12r l m == 取外接圆为积分路径：2i RR LEdl E r επ=⋅=⋅⎰Ñ2()0.1m i d d BS r dt dtεπΦ=-=-=⋅ 220.1R E r r ππ⋅=⋅ 37.0710/R E V m -=⨯（2）取任意半径为r 的圆周为积分路径L ，由R LSBE dl dS t∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰Ñ 22R B E r r tππ∂⋅=⋅∂ 0.052R r B E r t∂=⋅=∂，对于一定的积分回路r 为一定值。

所有感生电场沿回路的分量大小处处相等。

9-10 真空中一根无限长直导线通有电流0ctI I e -=（c 、0I 为恒量），一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，位置如图所示。

求：（1） 矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。

（2） 导线与线圈的互感。

解：（1）建立如图示的坐标系，x 处的磁感应强度为：02IB xμπ=02m Id B dS ldx xμπΦ=⋅=00ln 22b b m m a a I Il b d ldx x a μμππΦ=Φ==⎰⎰000ln ln 22ct m i d l clI b dI b e dt a dt aμμεππ-Φ=-=-=9-11 真空中一根长直导线和矩形导线框共面，如图所示，线框的短边与导线平行。

如果矩形线框中有电流0sin i I t ω=，则长直导线中就有感应电动势，试证明其值为00ln cos 2i cI bt aμωεωπ=-解：设直导线中通以电流I ，建立如图示的坐标系，x 处的磁感应强度为：02IB xμπ=02m Id B dS cdx xμπΦ=⋅=00ln22b b m m a a I Ic b d cdx x a μμππΦ=Φ==⎰⎰ 直导线和线框间的互感系数为：0ln 2m c b M I aμπΦ== 线框中的电流在长直导线中产生的互感电动势为：00ln cos 2i cI dib Mt dt a μωεωπ=-=-9-12 如图所示，一根长直导线与一等边三角形线圈ABC 共面放置，三角形高为h ，AB 边平行于直导线，且于直导线的距离为b ，三角形线圈中通有电流0sin I I t ω=，求直导线中的感生电动势。

解：设直导线中通以电流1I ，建立如图示的坐标系，x 处的磁感应强度为：012I B xμπ=取图中窄带作为微元dS 由几何知识可得：()3dS h b x dx =+- 01()3m d B dS h b x dx xπΦ=⋅=+- 01()3b hb hm m bbd h b x dx x π++Φ=Φ=+-⎰⎰01()ln 3b h b h h b π+⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦直导线和线圈间的互感系数为：1m M I Φ=0()ln 3b h b h h b π+⎤=+-⎢⎥⎣⎦三角形线圈中的电流在长直导线中产生的互感电动势为：i dIMdt ε=-0()ln 3b h dIb h h b dt π+⎡⎤=-+-⋅⎢⎥⎣⎦00()ln cos 3b h b h h t b ωπ+⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦9-13 如图所示，真空中一矩形线圈宽和长分别为a 和b ，通有电流2I ，其中心对称轴OO '。

与轴平行且相距为2ad +处有一固定不动得长直电流1I ，矩形线圈与长直电流在同一平面内，求：（1）1I 产生得磁场通过线圈平面得磁通量。

（2）线圈与载流直导线间得互感。

解：建立如图示的坐标系，直导线1I 在x 处的磁感应强度为：012I B xμπ= 取图中窄带作为微元dS012m I d B dS bdx xμπΦ=⋅= 0101ln22d a d a m m d d I bI d a d bdx x dμμππ+++Φ=Φ==⎰⎰ 01ln 2m b d a M I dμπΦ+==9-14真空中相距为a 的无限长平行直导线在无限远处相连，形成闭合回路。