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• 阿基米德的双重方法——用力学原理发现公式， 再用穷竭法加以证明
• 如图5.11抛物线有内接
• 三角形PQq，其中P与Qp
• 中点V的连线平行于抛
• 物线的轴。阿基米德从
•图5. 11 阿基米德的双 •重方法求面积
• 物理的方法发现：抛物线被Qp截得的抛物线弓形 的面积，与三角形QPq的面积之比是4：3。阿基米
轨迹是一曲线，它上面的任意三点都不在一条直线上。 在任一角内，至少存在这样一点，通过它不能做出一条同时与两
边相交的直线。 圆内接正六边形的边大于此圆半径
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5.7 几何学的统一性与现实性 5.7.1黎曼几何
德国数学家年提出另一种非欧几何学——黎
曼几何（黎曼。1854年）直接起源于微分几何
的研究黎曼几何的平行公理，是假设过 直线外一点不存在与已知直线平行的直线
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5.3.1 《原本》的公理化体系
《原本》的公理化体系：全书 先给出若干条定义和公理，再按由 简到繁的顺序编排出一系列的定理 (465个命题)。使整个几何知识形成 了一个演绎体系
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公设：（1） 从任一点到任一点 作直线是可能的。（2） 把有限直 线不断循直线延长是可能的。（注 意，这里所谓的直线，相当于今天 我们所说的线段。）（3） 以任一 点为中心和任一距离为半径作一圆 是可能的。（4） 所有直角彼此相 等。（5） 若一直线与两直线相交 ，且若同侧所交两内角之和小于两 直角，则两直线无限延长后必相交 于该侧的一点（现今称为平行公理 ）。
体的体积公式：
V = (1/3) h (a2 + ab +b2)
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5.2.2 求积方法
勾股术与图证 “析理以辞，解体
用图”—— “弦图”
•图5.5 伏羲手持规，女娲手持矩
大方 = 弦方 + 2矩形，
（1）
大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形，
（2）
比较（1）与（2），得
弦方 = 勾方 + 股方。
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公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念 . 但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的 例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” [插入图5.18]
∠B1AB= －a＞∠CAB= － ，（因为α＜
）。
于是，作得一个△ABB1,而直线AC经过其内部 ，所以AC必与底边BB1相交。这与AC与a不
相交的假设矛盾
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5.6.2 非欧几何学的先兆
从反面证明第五公设，意大利耶稣会教士、数学家萨凯 里（1667~1733）于1733年第一次发表了其极具 特色的成果。
罗巴切夫斯基非欧几何命题
三角形内角和都是小于π的，而且其和量因三角形而异，并非
一个常量。 同一直线的垂线及斜线，并不总是相交的。 不存在相似而不全等的两个三角形。 如果两个三角形的各内角对应相等，则它们必定是全等的。 存在着没有外接圆的三角形。 三角形三边的中垂线并非必定交于一点。
在平面上一条已知直线a的同一侧，与已知线a有给定距离的点的
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5.2.1 经验公式
古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积 的方法 三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示
圆面积的计算公式是A = (8d/9)2，其中d是
直径。这就等于取π为3.1605。
四边形的面积公式：（a + c）（b + d）/4 （其中a、b、c、d依次表示边长）。 高为h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截
找到它存在的“合理性”黎曼几何在相对论中的现 实应用。 爱因斯坦说：“我特别强调刚才所讲的这种几何学的 观点，因为要是没有它，我就不能建立相对论。 ”
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5.7.3 爱尔兰根纲领
19世纪初，运用欧几里得综合方法，创造出与解析几何 相媲美的射影几何学
爱尔兰根纲领（克莱因，1872年）：所谓几何学，就是 研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质 的学问，或者说任何一种几何只是研究与特定 的变换群有关的不变量。
克莱因以射影几何为基础、对几何学做了如下的分类：
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利用不变性研究图形的性质，为初等几何 的研究提供了新的方法。
例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成 圆，相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切 线变为圆的切线。我们不妨将原命题应用 仿射变换转化为相应的圆的命题：设
△ABC为圆内接三角形，以其顶点作切线 构成了切线三角形A1B1C1。如果 A1B1∥AB. B1C1∥BC。那么A1C1∥AC。一
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5.9 学校中欧氏几何的教育
一种情况，CP＜CQ。根据戴德金的公设
，在AB上存在一个点R，使得：所有位
于它之前的点属于第一类，并且所有位
于它之后的点属于第二类。于是OR不小于r，否则我们能 在R和B之间选AB上的点S，使得RS＜r－OR，但是，因为 OS＜OR+RS，这意味着谬论：OS＜r。类似地，能证明： OR不大于r。因此，我们必定有OR = r，于是定理得证
。在黎曼几何中，三角形的内角和大于两直角 ，圆周率小于π
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5.7.2非欧几何学的“现实性”
直到19世纪初，所有的数学家都认为欧氏几何是物 质空间和此空间内图形性质的正确描述。并且“空间
”也专指当时人们所唯一了解的欧几里得空间 罗巴切夫几何自诞生之日起，其命题的合理性就不断
引起人们的怀疑。非欧几何早期的发现者们为了验证它 的合理性，曾作过一些实际的测定。历史的事实却残酷 的告诉我们，罗氏几何迟至今日也没能在物理空间找到 应用，只有在逻辑的范畴内，利用公理化的思想与方法
旦我们证明了这个有关圆的命题，再利用 仿射变换下“平行”为不变性，便可知原 命题成立。
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5.8 几何基础与公理化方法
5.8.1 公理化方法
非欧几何、非交换代数（如四元数）的出现，使数学 家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限 性。分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了 科学的公理化方法。
公理集合的性质
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笛卡尔的工作
几何学》是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果
首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图
实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可 以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一
个未知长度x，经过代数运算知道x满足
x=
，
ห้องสมุดไป่ตู้
他画出x的方法如下：如图5.27作直角三角形NLM，其 中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x 就是OM 的长度。
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5.3.2 《原本》中的几何方法
《原本》在证明相关结论中使用了多种 几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式 的几何证法,等等。这些方法是人类早 期研究图形性质的数学方法，在现代基 础教育中仍发挥着积极的作用。
举例如下： 毕德哥拉斯定理，《原本》使用几何的证
法如下：
如图5.19，先证明△ABD△FBC，推得矩形 BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与 正方形AK等积。
德进而使用穷竭法证明
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5.2.3 多边形数
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最早的演绎几何学
《几何原本》（约公元前300年，古 希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学 理论体系——几何学。标志着人类科学研 究的公理化方法的初步形成，
《几何原本》共十三卷，其中第一 、三、四、六、十一和十二卷，是我们今 天熟知的平面几何和立体几何的知识，其 余各卷则是数论和（用几何方法论证的） 初等代数知识。全书证明了465个命题。
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一。个等价命题的证明：如果任意三角形内角和
都等于π，那么过线a外一点A只能引进 一条直线与a不交。
[证明] 过A引a的垂线AB，并过A引AB的垂线b ，则a与b必定不交。
假如另有一条直线AC
与a不交，记锐角∠BAC为
－ ，在直线a上取点B1，使
B1、C在AB同侧，且使
∠AB1B=α＜
。
按假设，直角△ABB1内角和等于π，所以
第五章几何学的发展
2020年7月26日星期日
图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形
从立体图形到平面图形 图腾崇拜和宗教礼仪
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5.2 测量与几何
在几何发展最早的古代埃及，几何 一词具有“土地测量”的含义。在古 希腊几何学传入中国之后，汉字用 几何一词来称谓这门学科，而汉语 中“几何”具有“多少”的意思。
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5.8.2 欧氏几何公理体系的严密化
希尔伯特几何公理体系被划分为五组，用五组 公理联结三种对象及其间的三种关系（ 六个原始概念）。如果在这个公理体系 中去掉第三种几何基本对象（“平面”） 以及与它有关的各条公理，余下来的公 理和五个原始概念就可以构成一个“平 面几何的公理系统”。
希尔伯特公理集可以排除欧氏几何证明中的直 观成分。
离开了求证第五公设的目标，朝向创造非欧几何的目标 靠拢但是，他们没有认识到欧几里得几何并不是 在经验可证实的范围内描述物质空间性质的唯一 几何
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5.6.3 奇异的罗巴切夫斯基几何学
罗巴切夫斯基非欧几何的平行公理：设a是任一直线，A是a外任一定点
。在a与A所决定的平面上，过点A而与a不相交的直线，至少有两 条
。
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5.8.3 公理集合的相容性
形式公理体系的相容性证明的模型方法 例如，平面几何公理系统的解析模型
罗巴切夫斯基几何学的模型相对相容性的解决方 法选用一个，大家都相信它具有逻辑相容性 的领域（比如上面这个代数领域），用这里 的材料来保证陌生公理体系的相容性。